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1、考点二十：图形的变换 聚焦考点温习理解一、平移 1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2、性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。二、轴对称 1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，
2、如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。三、旋转 1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。四、中心对称 1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就
3、是它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P（-x，-y）2、关
4、于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P（x，-y）3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P（-x，y）名师点睛典例分类考点典例一、轴对称变换（含折叠）问题【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（ ）A6 B12 C D【答案】D【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口【
5、举一反三】1.（山东泰安，第20题）（3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿直线BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F若AB=6，BC=，则FD的长为（）A2 B4 C D【答案】B考点：1翻折变换（折叠问题）；2综合题2.（2015内江）如图，在四边形ABCD中，ADBC，C=90，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（D，C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处若AD=2，BC=3，则EF的长为 【答案】【解析】试题分析：分别以AE，BE为折痕将两个角（D，C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3
6、，DC=2EF，AB=5，作AHBC于H，ADBC，B=90，四边形ADCH为矩形，AH=DC=2EF，HB=BCCH=BCAD=1，在RtABH中，AH=，EF=故答案为：考点：1翻折变换（折叠问题）；2综合题考点典例二、点的对称【例2】已知点关于y轴对称，则= 【答案】0.【解析】点关于y轴对称，.考点：1.关于y轴对称的点的坐标特征；2.二元一次方程组的应用；3.求代数式的值.【点睛】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数.【举一反三】1. （2015眉山）点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_【答案】（3，2）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标2.（2015凉山州）
7、在平面直角坐标系中，点P（3，2）关于直线对称点的坐标是（）A（3，2） B（3，2） C（2，3） D（3，2）【答案】C【解析】试题分析：点P关于直线对称点为点Q，作APx轴交于A，是第一、三象限的角平分线，点A的坐标为（2，2），AP=AQ，点Q的坐标为（2，3）故选C考点：坐标与图形变化-对称考点典例三、平移【例3】如图，将ABC沿BC方向平移2cm得到DEF，若ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（ ）(A)16cm (B)18cm (C)20cm (D)22cm【答案】C【点睛】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线
8、段平行且相等，对应角相等；即可求出答案.【举一反三】1.（2015.山东济南，第9题,3分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到，那么点A的对应点的坐标为（） A（4，3）B（2，4）C（3，1）D（2，5）【答案】D考点：坐标与图形变化-平移2.（2015辽宁大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点的坐标为（）A.（1，2） B.（3，0） C.（3，4） D.(5，2)【答案】D【解析】试题分析：根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，可知横坐标应变为5，而纵坐标不变
9、，故选D.考点：坐标的平移.考点典例四、旋转变换（含中心对称）问题【例4】如图，将RtABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtADE，点B的对应点D恰好落在BC边上若AC=，B=60，则CD的长为（ ）A0.4 B1.5 C D1【答案】D考点：1.旋转的性质；2.含30度直角三角形的性质；3. 等边三角形的判定和性质【点睛】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BCBD计算【举一反三】1. (2015.天津市，第11题，3分)如图，已知在ABCD中，AEBC于点E，以点B为中
10、心，取旋转角等于ABC，把BAE顺时针旋转，得到BAE，连接DA.若ADC=60，ADA=50，则DAE的大小为( )（A）130 （B）150 （C）160 （D）170【答案】C.【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得ADC=ABC=60,在RtABE中，可求得EAB=30；由旋转的性质可得EAB=BAE=30；在四边形AEAD中，根据四边形的内角和为360可求得DAB=130，所以DAE=DAB+BAE=130+30=160，故答案选C.考点：平行四边形的性质；旋转的性质；据四边形的内角和为360.2.（2015.山东德州第6题，3分）如图，在ABC中，CAB=65，将ABC在平面内
11、绕点A旋转到ABC的位置，使CCAB，则旋转角的度数为（）A35 B40 C50 D65【答案】C【解析】试题分析：CCAB，ACC=CAB=65，ABC绕点A旋转得到ABC，AC=AC，CAC=1802ACC=180265=50，CAC=BAB=50故选C考点：旋转的性质课时作业能力提升一、选择题1. (山东日照，第1题，3分)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：解：根据轴对称图形的概念可知：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误
12、；D、是轴对称图形，故本选项正确故选D考点：轴对称图形2.（2015甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（）A B C D【答案】B【解析】试题分析：A是轴对称图形，不是中心对称图形故A错误；B不是轴对称图形，是中心对称图形故B正确；C是轴对称图形，不是中心对称图形故C错误；D是轴对称图形，不是中心对称图形故D错误故选B考点：中心对称图形3. (2015黑龙江哈尔滨）如图，在RtABC中，BAC，将ABC绕点A顺时针旋转后得到A（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接C。若C，则B的大小是（ ）(A) 32(B) 64 (C) 77(D) 87【答案】C考点：旋转图形的性质、三角形内角和
13、定理.4. (2015湖北襄阳,12题)如图，矩形纸片ABCD中，AB4，BC8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（）AAFAE BABEAGF CEF DAFEF【答案】D由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D考点：翻折变换（折叠问题）5.(2015湖北孝感）在平面直角坐标系中，把点向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是 ( )A.BCD或【答案】D.【解析】试题分析：向右平移8个得（3，3），再旋转90，分顺时针和逆时针两种，顺时针旋转得时候得到答案为，逆时针旋转的时候答案为.故选：D.考点：坐标系.6.（2015.山东泰安，第20题）（3分
14、）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿直线BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F若AB=6，BC=，则FD的长为（）A2 B4 C D【答案】B考点：1翻折变换（折叠问题）；2综合题7.（山东菏泽第8题，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作ABx轴于点B，将ABO绕点B逆时针旋转60得到CBD若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A （1，） B（2，） C（，1） D（，2）【答案】A考点：1坐标与图形变化-旋转；2一次函数图象上点的坐标特征8.（2015湖北鄂州，8题，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将
15、ABE 沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sinECF = （ ）A B C D【答案】D.【解析】试题分析：由翻折易知BE=EF,因为点E是BC的中点，故BE=EC=6，所以FE=EC=6，EFC=ECF,再由四边形内角和可求出EFC+ECF=BEF，从而可得ECF=BEA，进而求得答案.试题解析：根据题意得：BE=EF=6，B=AFE, BEA=FEAE是BC的中点BE=EC=6FE=EC=6EFC=ECF又BAF+B+BEF+AFE=360BAF+BEF=180又FEC+BEF=180FEC+FCE+EFC=180ECF=BEA在RtABE中，由勾股定理得：AE=sinBEA=si
16、nECF=故选D.考点：翻折问题.二、填空题9.(2015.上海市，第18题，4分)已知在中，将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于_【答案】【解析】试题分析：如图，由旋转的性质知，过作交于，而，故.在中，易求得，故，为等腰直角三角形，所以.考点：1.旋转的性质；2.含的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.10.(2015.宁夏，第13题，3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,4），OAB沿x轴向右平移后得到OAB，点A的对应点A是直线上一点，则点B与其对应点B间的距离为 【答案】5.考点：平移的性质；正比例函数图象上点的特征
17、.11. （2015.山东莱芜第16题）在平面直角坐标系中，以点、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到（点分别为点的对应点），然后以点为中心将顺时针旋转，得到（点分别是点的对应点），则点的坐标是 .【答案】（11,7）考点：平移与旋转变换12. （2014梅州）如图，把ABC绕点C按顺时针方向旋转35，得到ABC，AB交AC于点D，若ADC=90，则A= .【答案】55.【解析】试题分析：把ABC绕点C按顺时针方向旋转35，得到ABC，ACA=35，A =A，.ADC=90，A =55. A=55.考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.13.(2015湖北荆门，16题，3分)在矩形
18、ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD沿直线l向右翻滚两次至如图所示位置，则点B所经过的路线长是 （结果不取近似值）【答案】12.5【解析】试题分析：连接BD在直角ABD中，BD=13，则顶点B所经过的路线长：=12.5故答案为：12.5考点：1轨迹；2弧长的计算；3旋转的性质14.（2015绵阳）如图，在等边ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则CDE的正切值为 【答案】【解析】试题分析：ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=60，ABD绕A点逆时针旋转得ACE，AD=AE=5，DAE=BNAC=60，CE=
19、BD=6，ADE为等边三角形，DE=AD=5，过E点作EHCD于H，如图，设DH=x，则CH=4x，在RtDHE中，在RtDHE中，解得x=，EH=，在RtEDH中，tanHDE=，即CDE的正切值为故答案为：考点：1旋转的性质；2等边三角形的性质；3解直角三角形；4综合题15.（2015辽宁沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K若正方形ABCD边长为，则AK= 【答案】【解析】考点：旋转的性质16. （2015湖南常德）已知A点的坐标为（1,3），将A点绕坐标原点顺时针90，则点A的对应点的坐标为【答案】（3,1）【解析
20、】试题分析：根据题意可知此题是旋转变换题，可根据题意作出草图如下：由图可知BCOEDO，故可知BCOE，OCDE答案为：（3,1）考点：坐标点的变换规律三、解答题17.(2015湖北衡阳，23题，分)（本小题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）（1）在平面直角坐标系中画出ABC关于轴对称的A1B1C1；（2）把ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的AB2C2，点C2在AB上旋转角为多少度？写出点B2的坐标【答案】（1）ABC关于轴对称的A1B1C1如图所示； （2）由图可知，旋转角为90；点B2的坐标为（6，2）【解析】试题
21、分析： （1）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；（2）AC2 与AC的夹角为90，所以旋转角为90；观察旋转可知B2 的横坐标是：A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标.试题解析： （1）ABC关于轴对称的A1B1C1如图所示； （2）由图可知，旋转角CAC2 =90，即旋转了90；A（3，2）、B（3，5）AB=5-2=3=AB2 ，B2 的横坐标是3+3=6，B2 的纵坐标是2，B2的坐标为（6，2）考点： 点的坐标；图形的变换旋转；作图图形变化类18.(2015.安徽省，第17题，8分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了ABC(顶点是
22、网格线的交点)(1)请画出ABC关于直线l对称的A1B1C1；(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点A2B2C2，使A2B2C3B2ABCl第17题图 【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据轴对称作图作出即可；（2）根据平移的性质作出A2C2,在作出A2B2C2,使A2C2=C2B2 (答案不唯一).试题解析：(1)A1B1C1如图所示；（2）线段A2C2和A2B2C2如图所示（符合条件的A2B2C2不唯一）考点：轴对称作图；平移的性质.19.（8分）（2015聊城，第19题）在如图所示的直角坐标系中，
23、每个小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（3，1）（1）将ABC沿y轴正方向平移3个单位得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点B1坐标；（2）画出A1B1C1关于y轴对称的A2B2C2，并写出点C2的坐标【答案】（1）点坐标为：（2，1）；（2）点的坐标为：（1，1）【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案试题解析：解：（1）如图所示：，即为所求；点坐标为：（2，1）；（2）如图所示：，即为所求，点的坐标为：（1，1）考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换20.（2015南
24、充）（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，ADP沿点A旋转至ABP，连结PP，并延长AP与BC相交于点Q（1）求证：APP是等腰直角三角形；（2）求BPQ的大小；（3）求CQ的长【答案】（1）证明见试题解析；（2）45；（3）试题解析：（1）ADP沿点A旋转至ABP，根据旋转的性质可知，APDAPB，AP=AP，PAD=PAB，PAD+PAB=90，PAB+PAB=90，即PAP=90，APP是等腰直角三角形； （2）由（1）知PAP=90，AP=AP=1，PP=，PB=PD=，PB=，PPB=90，APP是等腰直角三角形，APP=45，BPQ=1809045=45；（3）作BEAQ，垂足为E，BPQ=45，PB=，PE=BE=2，AE=2+1=3，AB=，BE=2，EBQ=EAB，cosEAB=，cosEBQ=，BQ=，CQ=考点：1几何变换综合题；2四边形综合题；3压轴题