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1、已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式一般式一般式y=ax2+bx+c (a0)顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k双根式双根式 y=a(x-x1)(x-x2) a0)已知抛物线与已知抛物线与x轴两个交点横坐标，选择双根式轴两个交点横坐标，选择双根式 求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是的解析式，关键是求出待定系数求出待定系数a，b，c的值。的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于坐标）列出关于a，b，c的方程组
2、，并求出的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。就可以写出二次函数的解析式。用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5例例1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1，10）、）、（1，4）、（）、（2，7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法
3、求二次函数的解析式解：解：设其解析式为设其解析式为解得解得已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5）（1, 01, 0）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？将点（将点（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）代入，得）代入，得c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=y=ax2+bx+c (a0)16a+4b=8a-b=34a+b=2 a-b=3-3解：解：设其解析式为设其解析式为解得解得y=x2-2x-3已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5）（1, 01,
4、0）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、回代四、回代将点（将点（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）代入，得）代入，得c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=1-2-3x=0=0时时, ,y=-3; x=4=4时时, ,y=5; x=-1=-1时时, ,y=0;y=ax2+bx+c (a0)解：因为抛物线的顶点为（解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），），所以，设所求的二次函数的解析式为所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x1)2-3 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与），与y轴的轴的交点为（
5、交点为（0，5），求抛物线的解析式。），求抛物线的解析式。因为点（因为点（0，-5 ）在这个抛物线上，）在这个抛物线上，所以所以a-3=-5， 解得解得a=-2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5。用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式顶点式顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数为常数a0). 1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 2. 特别地，当抛物线的顶点为原
6、点是，特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为可设函数的解析式为y=ax2. 3.当抛物线的对称轴为当抛物线的对称轴为y轴时，轴时，h=0,可设函可设函数的解析式为数的解析式为y=ax2+k. 4.当抛物线的顶点在当抛物线的顶点在x轴上时，轴上时，k=0，可设函，可设函数的解析式为数的解析式为y=a(x-h)2. 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，4 4），），且过点（且过点（0 0，3 3），）， 求抛物线的解析式？求抛物线的解析式？已知抛物线经过点（已知抛物线经过点（3 3，0 0），），且当且当x=2x=2时，时，y y有最小值是有最小值是-2.-
7、2.求这个二次函数的关系式。求这个二次函数的关系式。所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(x1)(x1)例例3 已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0），），并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？又又 点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上 a(0+1)(0-1)=1解得：解得： a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式解：因为抛物线与解：因为抛物线与x轴的交点为轴的交点为A(1，0)，B(1，0)
8、，交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数为常数a0） 当抛物线与当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，时，二次函数二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与因此当抛物线与x轴有两个交点为轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得可解得a，求出抛物线的解析式。，求出抛物线的解析式。 交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1
9、和和x2分别是抛物线分别是抛物线与与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线物线的对称轴对称，则直线 就是抛物就是抛物线的对称轴线的对称轴.221xxx 已知抛物线经过点已知抛物线经过点A(-2A(-2，0)0)， B(1B(1，0)0)和点和点C(2C(2，8).8).求其解求其解析式。析式。已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式轴的两交点坐标，选择交点式一般式一般式y
10、=ax2+bx+c (a0)顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a0)用待定系数法用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。的特点，恰当地选用一种函数表达式。 一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原2、根据、根据下列条件，求二次函数的下列条件，求二次函数的解析式。解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，2) 三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)， 且经过点且经过点(3，1) ；(4)、图象经过、图象经过
11、(1，0)， (6，0) ， (3，6)三点；三点；(3)、图象经过、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3 。解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为1 1、已知一个二次函数的图象过点（、已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5） 对称轴为直线对称轴为直线x=1=1，求这个函数的解析式？，求这个函数的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式思考：怎样设二次函数关系式 2，若抛物线，若抛物线yax2bxc关关于直线于直线x2对称，且经过点对称，且经过点(1,4)和点和点(5,0)，求此抛物线解析式，求此抛物线
12、解析式?3、如图，直角、如图，直角ABC的两条直角边的两条直角边OA、OB的长分别是的长分别是1和和3，将，将AOB绕绕O点按逆时点按逆时针方向旋转针方向旋转90，至，至DOC的位置，求过的位置，求过C、B、A三点的二次函数解析式。三点的二次函数解析式。CAOBDxy当抛物线上的当抛物线上的点点的坐标未知的坐标未知时，时， 应根据题目中的应根据题目中的隐含条件隐含条件求出点求出点的坐标的坐标(1，0)（0，3）（-3，0）4.抛物线抛物线 与与 的形状相同的形状相同.cbxaxy21422xxy(1)当当x=2时，时，y有最小值为有最小值为5，求抛物线解析式；，求抛物线解析式；(2)且过且过(
13、3,-3)，(-1,13)两点，求抛物线解析式。两点，求抛物线解析式。 5.已知抛物线的顶点在已知抛物线的顶点在(3,-2),且与且与x轴两交点的距离为轴两交点的距离为4,求求此二次函数的解析式此二次函数的解析式. 6.已知当已知当x1时，抛物线时，抛物线最高点的纵坐标为最高点的纵坐标为4，且与，且与x轴两交点之间的距离为轴两交点之间的距离为6，求，求此函数解析式此函数解析式在在x轴上所截线段为轴上所截线段为6 7.已知抛物线的顶点是已知抛物线的顶点是(2,1),且该抛物线与且该抛物线与y轴交点到原点轴交点到原点的距离为的距离为3，求此抛物线的解，求此抛物线的解析式析式.数学是来源于生活又服务
14、于生活的数学是来源于生活又服务于生活的. 米米米米3、小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为、小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高抛物线，有关数据如图所示。小燕身高米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？多少？MN8米3.22 . 3)4(512xy2 . 3512xy251xyABxyABC8米3.28米3.2ABOxyxyOO已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式轴的两交点坐标，选择交点式一般式一般式y=ax2+bx+c (a0)顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a0)用待定系数法用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。的特点，恰当地选用一种函数表达式。 一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：数学因规律而不再枯燥，数学因规律而不再枯燥， 数学因思维而耐人寻味。数学因思维而耐人寻味。让我们热爱数学吧！让我们热爱数学吧！