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1、22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式回顾：用待定系数法求函数的解析式回顾：用待定系数法求函数的解析式已知一次函数经过点（已知一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），求），求这个一次函数的解析式。这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点因为一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3x-6.解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知
2、得：由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5例例1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1，10）、）、（1，4）、（）、（2，7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是的解析式，关键是求出待定系数求出待定系数a，b，c的值。的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于坐
3、标）列出关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。就可以写出二次函数的解析式。用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式解：设所求的二次函数的解析式为解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c例例2 已知抛物线与已知抛物线与x轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式），求抛物线的解析式.故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=x2+1用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式a-b+c=0a+b+c=0c=1解得解得 a=-1, b=0, c=1课堂
4、练习课堂练习数的解析式。）三点，求这个二次函，（），），（，经过（、一个二次函数的图象式。求这个二次函数的解析时，与当，时，函数值变量、一个二次函数，当自9111002. 0212101yxyx应应 用用例例3 3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(
5、40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 评价评价设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点点和过原点选用顶点式求解，式求解，方法比较灵活方法比较灵活 评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 例例3 3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个
6、桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 应应 用用课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式。通常选择一般式。已知图象的顶点坐标和图像上任意一点，已知图象的顶点坐标和图像上任意一点， 通常选择顶点式。通常选择顶点式。yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达
7、式， 一般式：cbxaxy2例例1求经过有三点求经过有三点A（-2，-3），），B（1，0），C（2，5）的）的二次函数的解析式二次函数的解析式.xyo-321 1 2ABC5-3 分析分析 ：已知一般三点，用：已知一般三点，用待定系数法设为一般式求待定系数法设为一般式求其解析式其解析式. .顶点式：khxay2)(例例2 已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点，又经过点C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。xyo-321 1 2ABC5-3-4分析：设分析：设抛物线的解析式为抛物线的解析式为 ，再根据再根据C点坐标求出点坐标求出a的值。的值。顶点式：4)1(2xay
8、交点式交点式：)(21xxxxay例例3 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两个交轴的两个交点为点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过，又经过点点C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。xyo-321 1 2BC5-3A分析：设抛物线的解析式为分析：设抛物线的解析式为 ，再根据再根据C点坐标求出点坐标求出a的值。的值。交点式：)1)(3(xxay充分利用条件 合理选用以上三式例例4 已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与，又知它与x 轴轴的两个交点的两个交点B、C间的距离间的距离为为4，求其解析式。，求其解析式。yxo-321 1 2ABC5-3-4分析：先求出B、C两点
9、的坐标，然后选用顶点式或交点式求解。 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。245-3ABCxy如图，在直角坐标系中，以点 为圆心，以为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E 若抛物线 经过C、B两点，求抛物线的解析式，并判断点D是否在该抛物线上( 3,0)A2 3213yxbx cOABDEyxC桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过、三点的抛物线，以桥面的水平线为轴，经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱）米，米1.求经过、三点的抛物线的解析式。2.求柱子的高度。 如图，现有一横截面是抛物线的水渠一次，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的点，另一端露出水面并靠在水渠内侧的点，发现标杆有1m浸没在水中，露出水面部分的标杆与水面成30的夹角（标杆与水渠的横截面在同一平面内） 以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式xyOAB