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1、(能利用等差、等比数列前能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和项和公式及其性质求一些特殊数列的和)5.3 5.3 数列求和数列求和1公式法：公式法：直接应用等差数列，等比数列的前直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和和公式、立方和公式等进行求和2倒序相加倒序相加(乘乘)法：法：如果一个数列满足与首末两项等距离的两项之和如果一个数列满足与首末两项等距离的两项之和(积积)为一定为一定值，可采用推导等差数列前值，可采用推导等差数列前n项和的方法进行求和项和的方法进行求和3错位相减法：错位相减法：若数列若数列
2、an为等差数列，数列为等差数列，数列bn为等比数列，则数列为等比数列，则数列anbn可可采用推导等比数列前采用推导等比数列前n项和的方法进行求和项和的方法进行求和4裂项相消法：裂项相消法：例如若数列例如若数列an为等差数列，为等差数列，d为等差数列的公差，为等差数列的公差，Sn + ，其中，其中 ，则则Sn采用裂项相消法进行计算采用裂项相消法进行计算5常见求和公式常见求和公式122232n2 n(n1)(2n1)；132333n3 n(n1)21在等比数列在等比数列an(nN*)中，若中，若a11，a4 ，则该数列的前，则该数列的前10项和为项和为 () 答案：答案：B2数列数列an的前的前n
3、项和为项和为Sn，若，若an ，则，则S5等于等于() 答案：答案：B3. 设设f(n)2242721023n10(nN)，则，则f(n)等于等于()A. (8n1) B. (8n11) C. (8n31) D. (8n41)解析：解析：f(n)2242721023n10 (8n41)答案：答案：D4若数列若数列an的通项公式为的通项公式为an4n1，bn ，则数列，则数列bn的前的前n项和是项和是()An2 Bn(n1) Cn(n2) Dn(2n1)解析解析：a1a2an 2n2n，则，则bn2n1，因此因此b1b2bn n22n.答案答案：C1. 若数列若数列anbn成等差或等比数列，则可
4、利用公式求数列成等差或等比数列，则可利用公式求数列anbn的前的前n项和项和对通项是类似于对通项是类似于an 类型的数列可利用裂项相消法求数列类型的数列可利用裂项相消法求数列 an的的前前n项和项和2. 3. 若数列若数列an成等差，成等差，bn成等比，可利用错位相差法求数列成等比，可利用错位相差法求数列anbn的前的前n项和项和【例【例1】 根据下列数列的通项公式，求数列根据下列数列的通项公式，求数列an的前的前n项和项和Sn. (1)an ； (2)ann(n1)； (3)an ； (4)ann2n； (5)anan(an1)(2)ann(n1)n2n，Sna1a2an(121)(222)
5、(n2n)(1222n2)(12n) n(n1)(n2)(4)ann2n，Sna1a2an2222n2n，2Sn22223(n1)2nn2n1.得：得：Sn222232nn2n12(2n1)n2n1，Sn(n1)2n12.(5)若若a0，则，则an0，Sn0.若若a1，则，则an0，Sn0.若若a1，则则an1an.Sna1a2an(1a)(1a2)(1an)n n若若a0，a1，则，则anan(an1)a2nan，Sn(a2a)(a4a2)(a2nan)(a2a4a2n)(aa2an) 等差数列的前等差数列的前n项和公式的推导利用了项和公式的推导利用了“倒序相加法倒序相加法”，实际上是推导梯
6、，实际上是推导梯形面积公式的方法形面积公式的方法“倒序相加法倒序相加法”适合于到两端等距离两项的和为定适合于到两端等距离两项的和为定值的数列求和问题，比如证明：值的数列求和问题，比如证明： 等等【例【例2】求在区间内分母是求在区间内分母是3的所有不可约分数之和，其中区间记为的所有不可约分数之和，其中区间记为a，b(a、b为为 自然数，且自然数，且ab)解答：解答：解法一解法一：因为数列因为数列a，a ，a ，a1，b ，b ，b是首是首项为项为a，公差为公差为 ，末项是末项是b的等差数列的等差数列，设它有设它有k k项项，则则ba(k k1) k k3(ba)1.其和其和S .而数列而数列a，
7、a1，a 2，b1，b是公差为是公差为1的等差数列的等差数列，设它有设它有m项项，则则ba(m1)，mba1.其和其和S . 综上所述综上所述，所求分数数列之和是所求分数数列之和是：两式相加，得两式相加，得2S(ab)(ab)(ab)， Sb2a2.变式变式2.函数函数f(x) (m0)，x1、x2R，当当x1x21时时，f(x1)f(x2) .(1)求求m的值的值；(2)已知数列已知数列an满足满足anf(0) ，求求an；(3)若若Sna1a2an，求求Sn.(1)若数列若数列an为等差数列，且为等差数列，且a10，d0，则，则Sn存在最大值存在最大值 (2)若数列若数列an为等差数列，且
8、为等差数列，且a10，d0，则，则Sn存在最小值存在最小值【例【例3】 在等差数列在等差数列an中中，a16a17a18a936，其前其前n项的和为项的和为Sn.(1)求求Sn的最小值的最小值，并求出并求出Sn取最小值时取最小值时n的值的值；(2)求求Tn|a1|a2|an|.解答：解答：a16a17a183a1736a1712.又又a936，公差公差d 3.首项首项a1a98d60，an3n63.(1)解法一：设前解法一：设前n项的和项的和Sn最小，则最小，则 n20或或21.这表明：当这表明：当n20或或21时，时，Sn取最小值，最小值为取最小值，最小值为S20S21630.解法二：解法二
9、：Sn60n nN*，当当n20或或21时，时，Sn取最小值取最小值 (2024120)630.(2)由由an3n630n21，当当n21时，时，TnSn (41nn2)；当当n21时，时，Tna1a2a21a22anSn2S21 (n241n)1 260.变式变式3. 等差数列等差数列an中中，a312，S120，S130. (1)求公差求公差d的取值范围的取值范围；(2)指出指出S1，S2，S12中中，哪个值最大哪个值最大，并说明理由并说明理由【方法规律方法规律】一、数列求和需掌握以下解法一、数列求和需掌握以下解法1直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比数列的公比直接由等差、等比数列
10、的求和公式求和，注意等比数列的公比q与与1的讨论的讨论2错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广3分组转化法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再分组转化法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和求和4裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项5 倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加倒序相
11、加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过即等差数列求和公式的推导过 程的推广程的推广)二、数列求和应注意二、数列求和应注意1 直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程2 重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础 上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基 本数列求和求和过程中同时要对项数作出准确判断本数列求和求和过程中同时要对项数作出准确判断3 含
12、有字母的数列求和，常伴随着分类讨论含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.(2010(2010上海春上海春)()(本题满分本题满分4 4分分) )设设n阶方阵阶方阵任取任取An中的一个元素，记为中的一个元素，记为x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成系组成n-1阶方阵阶方阵An-1，任去，任去An-1中的一个元素，记为中的一个元素，记为x2所在的行和列，所在的行和列，；将最后剩下的一个元素记为将最后剩下的一个元素记为xn，记，记Sn=x1+x2+xn,则则 . 【考卷实录考卷实录】【答题模板答题模板】解析解析：根据题意：根据题意Sn用用n的表达
13、式是确定的，不妨将的表达式是确定的，不妨将x1，x2，xn分别取分别取An中主中主对角线上的值对角线上的值1,2n3,4n5，2n21，则，则Snx1x2xn1(2n3)(4n5)(2n21)n (2n2)n3.答案答案： n3【分析点评分析点评】1本题的立意新颖背景设置独具斧心，巧夺天工，很难一眼看出问题的庐山真本题的立意新颖背景设置独具斧心，巧夺天工，很难一眼看出问题的庐山真面目面目2本题的关键是数列求和，标准答案是利用题目要求的一种特殊情况找出了本题的关键是数列求和，标准答案是利用题目要求的一种特殊情况找出了Sn.体现了从具体到抽象的数学思想，也可考虑从体现了从具体到抽象的数学思想，也可考虑从A2，A3，A4，入手归纳入手归纳Sn的的表达式表达式3而考卷实录中提供答案产生错误的原因，由于对而考卷实录中提供答案产生错误的原因，由于对xn2n21观察的不够准确观察的不够准确采用了错误的求和方法，实质上采用了错误的求和方法，实质上1(2n3)(4n5)(2n21)是等差数是等差数列的前列的前n项和项和.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册