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1、高中数学常用的数学思想函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想， 是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、 或方程与不等式的混合组） ，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时， 还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界，充斥 着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程； 求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函 数和多元方程
2、没有什么本质的区别，如函数 yf(x)，就可以看作关于 x、y 的二元方程 f(x)y0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是 应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数 关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函 数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖 掘题目中的
3、隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对 所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造 出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数 问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以 是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解 题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多 个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻 译成数学语言，建立
4、数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、 等比数列中，通项公式、前 n 项和的公式，都可以看成 n 的函数，数列问题也可以用函数 方法解决。 、再现性题组：、再现性题组： 1.方程 lgxx3 的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函数 f(x)x2bxc 对于任意实数 t，都有 f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)0） ，则2 12x x1 122 x x1 5，解出 x2，再用万能公式，选A；5 小题：利用S nn是关于 n 的一次函数，设 SpSqm，Spqp q x，则（m p,p） 、(m q,q
5、)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得 x0，则答案：0；6 小题：设 cosxt，t-1,1，则 at2t15 4,1，所以答案：5 4,1；7 小题：设高 h，由体积解出 h23，答案：246；8 小题：设长 x，则宽4 x，造价 y41204x8016 x801760，答案：1760。、示范性题组：、示范性题组：例 1. 设 a0，a1，试求方程 loga(xak)loga2(x2a2)有实数解的 k 的范围。(89 年全国高考) 【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分 析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。【解】 将原方程
6、化为：loga(xak)logaxa22， 等价于 xakxakxa 022（a0,a1） kx a( )x a21 ( |x a|1 ）, 设x acsc， ( 2,0)(0, 2)，则 kf()csc|ctg|当 ( 2,0)时，f()cscctgctg 20)，设曲线 C1：yxak，曲线C2：yxa22 (y0)，如图所示。由图可知，当aka 或aak，即k k21 2k0，通分得k k21 2m(x21)对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取值范围。 【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，若变换一个角度以 m 为变量，即关于
7、m 的一次不等式(x21)m(2x1)m(x21)的解集是-2,2时求 m 的值、关于 x 的不等式 2x1m(x21)在-2,2上恒成立时求 m 的范围。一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数 关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函 数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。例 3. 设等差数列an的前 n 项的和为 Sn，已知 a312，S120，S130，S1313a178d13(122d)78d15652d0、an1a2a13，由S1313a70 得 a60。所以，在 S1、S2、S12中，S6的值最大。例 4
8、. 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在平面，C 是圆周上任一点，设 BAC，PAAB=2r，求异面直线 PB 和 AC 的距离。 【分析】 异面直线 PB 和 AC 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小值， 从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 【解】 在 PB 上任取一点 M，作 MDAC 于 D，MHAB 于 H， 设 MHx，则 MH平面 ABC，ACHD 。MD2x2(2rx)sin2(sin21)x24rsin2x4r2sin2(sin21)x2 122rsin sin 24 1222r sin sin 即当 x2 122rsin si
9、n 时，MD 取最小值212rsinsin为两异面直线的距离。【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离 的最小值” ，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题” 。一般地，对于求最大值、 最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然 后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第 8 题就是典型的例 子。例 5. 已知ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列，且 tgAtgC23，又知顶点 C 的对边 c 上的高等于 43,求ABC 的三边 a、b、c 及三内角。 【分析】已知了一个积式，考虑能否由其
10、它已知得到一个和式，再用方程思想求解。 【解】 由 A、B、C 成等差数列，可得 B60； 由ABC 中 tgAtgBtgCtgAtgBtgC，得tgAtgCtgB(tgAtgC1)3 (13)设 tgA、tgC 是方程 x2(33)x230 的两根，解得 x11，x223设 A0 在 x(-,1上恒成立的不等式问题。 【解】 由题设可知，不等式 12x4xa0 在 x(-,1上恒成立，即：(1 2)2x(1 2)xa0 在 x(-,1上恒成立。设 t(1 2)x, 则 t1 2， 又设 g(t)t2ta，其对称轴为 t1 2 t2ta0 在1 2,+)上无实根， 即 g(1 2)(1 2)2
11、1 2a0，得 a3 4所以 a 的取值范围是 a3 4。【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的 图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一 般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系， 将问题进行相互转化。在解决不等式(1 2)2x(1 2)xa0 在 x(-,1上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设 t(1 2)x, t1 2，则有 at2t(,3 4，所以 a 的取值范围是 a3 4。其中最后得到 a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想” 。
12、 、巩固性题组：、巩固性题组： 1.方程 sin2xsinx 在区间(0,2)内解的个数是_。A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知函数 f(x)|2x1|，af(c)f(b)，则_。 A. a0 B. a0,c0 C. 2a0，S100)与椭圆1 4(x2p 2)2y21 有四个交点。(88 年全国高考)13.已知关于 x 的实系数二次方程 x2axb0 有两个实数根 、。证明：. 如果|2，|2，那么 2|a|4b 且|b|4； . 如果 2|a|4b 且|b|4，那么|2，|2 。 （93 年全国理）14.设 f(x)是定义在区间(-,+)上以 2 为周期的函数，对 kZ，用 Ik表示区间(2k-1,2k+1，已知当 xI0时，f(x)x2。 .求 f(x)在 I k上的解析表达式； .对自然数 k，求集合 Mka|使方程 f(x)ax 在 Ik上有两个不相等的实根。 （89 年全国理）