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1、 高中数学常用思想方法的“教学实践与研究”课题结题报告数学思想方法是数学知识的精华和灵魂所在，它是对数学知识的进一步浓缩与提炼、概括和整合，是数学知识的本质和核心，它能让学生真正感受数学的价值。重视数学思想方法的教学能把培养学生数学素养和智力发展很好的结合起来。因此，在数学教学实践研究中必须重视数学思想方法的作用和意义。一、课题的提出促进青年教师专业发展的需要近五今年，我校新进教师较多，新教师对教材的把握不是很准确，学校需采用有效地方法促进新进教师的专业发展，数学思想方法有助于教师正确的把握教材。高中数学教学体系包括两条主线：一是数学知识，这是明线；而是数学思想方法，这是隐含在数学知识中的暗线
2、。教师只有掌握数学的思想方法，才能明确领会教材编写的意图。才能从整体、本质上去理解和把握教材，才能科学、灵活地设计教学过程，选择适当的教学方法，提高教学效率。提高学生数学思维能力的需要我校的生源质量较低，学生的学习习惯较差，底子薄弱，加之高中数学课程的难度较大，使得我校学生对高中数学的学习陷入困境之中。数学思想方法有助于培养学生的能力，提高学生学习的效率。（1）完善知识结构。完整的数学知识结构不只是知识点的多少，更为重要的是建立知识间的联系，有效地将知识组织，将知识结构的排列层次化、有序化。数学思想方法能够优化这种组织形式，促进各部分数学知识的融合，成为数学知识结构的核心和灵魂。（2）指导学习
3、迁移。数学思想方法是对数学知识的提炼和概括，数学思想方法的形成，不仅对学生的数学思维活动起指导作用，而且对学生的学习方法产生深刻的影响，形成学习效果的有效迁移。二、课题研究的目的、意义及价值课题研究的目的 通过对数学思想方法的学习与探讨，并在课堂教学中注重数学思想方法的渗透，增强我校数学教师进行数学思想方法教学的意识。组织我校教师认真挖掘、研究教材中所蕴含的数学思想方法，以改善我校高中数学课堂教学，促进教师成长。培养学生整体思维能力，提高学生运用数学思想方法解决实际问题的能力。课题研究的意义数学思想方法是数学的灵魂，是层出不穷的数学发现的源泉。学生只有把数学知识上升到数学思想方法，才能有效地提
4、高数学素养，乃至学生的整体素质。本课题的研究者为高中数学一线教师，在实际教学和课堂观察中搜集典型教学案例，通过访谈、观察和文献阅读等方法，比较全面地总结出了高中数学思想方法教学中存在的问题以及解决方法，促进数学思想方法与课堂教学的融合，加强学生对基本数学思想的理解及在解题中的应用，进而对新课程下的课堂教学作出指导。在教学中落实数学思想方法的教学，是对新课程理念的体现，也是对新课程的总目标“进一步提高作为未来公民所必要的数学素养”的促进。课题的有效实施，有利于培养我校高中数学教师建立正确的数学观，有助于提高教师的教学水平和科研水平。课题的有效实施，能够改善学生的学习，提高学生的学业成绩，提高学生
5、的数学素养，对培养智能型、创新型人才起到了积极的推动作用。课题研究的价值理论价值对高中数学思想方法的研究，符合新的数学课程标准的要求。新的数学课程标准“前言”中指出：数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象了和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。数学思想方法是素质教育的重要内容。素质教育要求我们教育要面向全体学生，让每位学生得到全面发展。数学思想方法能够帮助实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学，不同人在数学上得到不同的发展”这一思想，数学思想方法比形式化的
6、数学知识更具有普遍性，在学生未来的工作和生活中有更加广泛的应用。实践价值（1）对数学思想方法的学习和研究有助于教师正确的把握教材，有效促进我校数学青年教师专业成长。高中数学教学体系包括两条主线：一是数学知识，这是写在教材上的明线；二是数学思想方法，是隐含在数学知识中的暗线。教师只有掌握了数学的思想方法，才能明确领会教材编写的意图，才能从整体上、本质上去理解把握教材，才能科学、灵活地设计教学过程，选择教学方法，提高教学效率。 （2）数学思想方法有助于培养学生的能力，有效改善我校学生数学学习现状。首先，数学思想方法能够帮助学生完善认知结构。良好的数学知识建构不只是取决于知识点的多少，更为重要的是知
7、识点的联系、组织方式，是结构排列的层次性和有序性。数学思想方法能够优化这种组织形式，促进各部分数学知识的融合，成为数学知识结构的核心和灵魂。其次，数学思想方法能够指导学生进行学习迁移。数学思想方法是对数学知识的提炼和概括，一旦形成，不仅对数学思维活动起指导作用，而且会对学生的世界观、方法论产生深刻的影响，形成学习效果的广泛迁移，包括数学领域向非数学领域的迁移。最后，数学思想方法能够促进学生思维的发展。数学思想方法的有效渗透对学生思维发展起着重要的作用，有利于培养学生解决问题的能力，有效的改善了我校高中生学习数学的现状。推广价值（1）数学思想方法是数学思维的主体，数学思想方法在课堂教学中的渗透能
8、够帮助健全学生的发展。 （2）高考命题中已充分体现数学思想方法的考察，因此数学思想方法需进入课堂。三、研究的理论依据1、奥苏泊尔的认知理论：有意义接受学习理论 施良方学习论，北京：人民教育出版社，2001,5.第220-249页美国心理学家奥苏泊尔(D.P.Ausubel)认为有意义学习的过程是新知识与个体认知结构中原有的适当观念相互作用，从而获得新的更高层次的分化的建构过程。个体获得新知识的内部认知过程有：下位学习、上位学习和并列学习等。由于认知结构中原有的观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便成为下位学习。当学生掌握了一些
9、数学思想方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了，下位学习所学知识具有足够的稳定性。这样可以使得新知识能够顺利的纳入学生已有的认知结构中去，学生通过已有的数学思想方法能够更好的理解和掌握教学内容。2、建构主义理论 曹才翰，章建跃数学教育心理学北京师范大学出版社，1999,12.第57页建构主义代表人物皮亚杰(Piager.J.)认为知识不是客观存在的，是个体与环境相互作用建构的结果。数学认知结构中包含数学基础知识，数学思想方法和心理成分三种主要因素，在数学知识学习的“同化”和“顺应”过程中，数学基础知识不具备主动“加工”的意识及能动性，而心理成分也只提供给主体去“加工”的动机，因而数学思
10、想方法在其中充当了“信息加工的作用”，它不仅提供思维策略，还提供实现目标的具体操作技能，要实现新旧知识的同化，离不开数学思想方法。因此，数学思想方法的教学，在培养学生认知结构方面，起着重要的作用。四、研究方法结合参与课题研究者的实际情况本课题采用以下研究方法。1、课堂观察法。该课题的参与者均为一线教师，课题的实施过程中，通过大量的听评课，做好相关的记录，获得大量的、详实的材料。2、问卷调查法。在课题的研究中，为了了解高中数学教师对数学思想方法的理解程度和教学现状以及学生对数学思想方法的掌握情况，课题的研究者发放了问卷调查表，收集到了大量的具体的资料供研究参考使用。3、文献研究法。在研究过程中，
11、课题组成员搜集了大量的国内外关于数学思想方法教学的文献，并对这些文献进行整理，为课题的研究提供了一定的理论依据。4、案例研究法。此研究在固原五中高中数学学组内实施，经过一年时间的课堂观摩，共听取60节，其中包括示范课、优质课大赛、推门进课堂听课，其中根据课堂教学的5个环节整理出教学片断10个，内容涉及高中数学课程实验教科书人教A版教科书的必修1到必修5以及选修21的内容。5、访谈法。该研究中，为了更深入了解高中数学教师对数学思想方法教学的看法，了解各个教师在实施数学思想方法教学中的做法，按照“高中数学思想方法教学访谈纲要”进行访谈。6、经验总结法。参与课题研究的教师中，大部分是优秀的、有经验的
12、教师，在听评课时，将他们的教学案例进行分析，以便能够探究出有效可行的数学思想方法教学策略。五、课题的研究过程本课题以固原五中高一、高二、高三全体学生为研究对象，以奥苏泊尔的认知理论和建构主义理论为理论基础，以高中生的心理心理发展特点为依据，在高中数学新课标为指导下展开研究。组织全体高中数学教师系统学习总结高中常用的数学思想方法教师要进行数学思想方法的教学，首先要将常用的数学思想方法透彻的理解、内化才能有效的组织教学。因此，课题组首先组织高中数学教师系统的学习常见的数学思想方法。总结出常用的数学思想方法有：函数与方程思想方法、数形结合思想方法、分类与整合思想方法、转化与化归思想方法、特属与一般思
13、想方法、有限与无限思想方法、或然与必然的思想方法。(1)函数与方程思想函数思想，是指在构建函数的基础上，通过对函数的分析去分析问题、转化问题和解决问题。函数思想在研究方程、数列、解析几何等内容时有着重要的作用。方程思想，是针对问题，把问题的数量关系转化为数学模型，然后通过求解方程来使问题解决。是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。涉及变量问题时，需要学生学会用函数思想进行思考；而涉及等量问题时，要求学生具有方程思想。在实际应用过程中，函数与方程的互相转化有助于问题的解决。高考把函数与方程思想方法作为七种重要思想方法中的重点来考察。(2)数形结合思想方法数学研究的对象是数量关系和空间形
14、式，即数与形两个方面。数形结合的思想方法其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象结合，通过对图形的认识，使问题化难为易，化抽象为具体。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，有序实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系；在三维空间，有序实数对与空间坐标上的点建立一一对应关系。在解题时，对于选择、填空题突出考查数到形的转化；在解答题中，考虑到推理论证的严密性，突出形到数的转化。(3)分类与整合思想方法分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，从具体出发，选取适当的分类标准进行分类，先分后合是分类与整合思想方法的本质，含有字母参数的问题进行分类与整合的研
15、究，重点考出学生思维的严谨性。(4) 化归与转化思想方法化归与转化思想方法是将复杂问题划归为简单问题，将为解决问题划归为已解决问题，在转化过程中处理方法灵活、多样、无统一模式，高考重视常用的变化方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。(5) 特属与一般思想方法特属与一般思想方法是通过对个例认识与研究，形成对事物的认识，由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论，有特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。高考以新增内容为素材，突出考察特殊与一般思想成为命题改革的方向。(6) 有限与无限思想方法把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路，立体几何中
16、求球的表面积与体积，采用分割的方法解决，实际上是先进行分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想方法的应用。随着高中课程改革的推进，对新增内容考察的深入，必将加强对有限与无限的考查。(7) 或然与必然的思想方法随机现象具有两个最近本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。概率知识在现实生活中常常用到，概率所研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律解决“偶然”的问题，这其中所蕴含的数学思想方法就是或然与必然的思想方法。数学思想方法与高中数学教材相关内容分析通过对数学思想方法的系统学习，接下来课题组成员将每种数学思想方法与高中数学教材相关内容对应起来，下面以数形结合的思
17、想方法为例进行说明（具体如表-1）。高中教材相关内容渗透程度(1)用韦恩图法表示集合.(2)指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质.(3)等差数列通项公式与一次函数图象的关系；求和公式与二次函数图象的关系.引导学生感知和孕育数形结合的数学思想方法.(4)等比数列通项公式与二次函数图象关系.(5)三角函数的图象与性质.(6)向量加减法的平行四边形法则和三角形法则.(7)一元二次不等式的解法.(1)直线的斜率和倾斜角.(2)圆、椭圆、双曲线和抛物线方程与曲线的关系.教师进一步向学生介绍数形结合的数学思想方法，让学生初步学会如何进行数与形的转化.(1)空间直线与平面的位置关系.(2)空间平面与平面的
18、位置关系.(3)复数的表示.强化应用数形结合思想方法解题的意识，广泛联想，上升为能力.表-1确定高中数学思想方法教学的教学原则首先课题组通过研究文献、全体学习，在经过经验总结，确定了高中数学思想方法教学需遵循的教学原则，具体原则如下。合理重建原则。高中数学教材是以概念、定理、法则、公式等为逻辑体系，但这种经过归纳概括的逻辑体系掩盖了数学思维的真实过程，因此教师在教学过程中必须展示数学知识的发生发展过程，使学生能切实体验到数学思想方法的意义和作用。循序渐进原则。数学思想方法的形成难于知识的理解与技能的掌握，它需要学生深刻理解知识之间的本质联系，因此学生对数学思想方法的理解不可能一步到位，教师在教
19、学中更不能一蹴而就。数学思想方法的渗透要有一个循序渐进、由浅入深的过程，即要按照“反复孕育、初步形成、应用发展”的顺序来完成某一数学思想方法。螺旋上升原则。根据学生的认知特点，学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，即从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。确定高中数学思想方法教学的实施步骤一、集体备课，确定单元计划数学思想方法是隐形的更本质的知识内容，教师需深入研究教材，从而挖掘有关思想方法，结合学生的实际情况设计合理的教学目标，进行有目的、有意识地渗透。因此，课题在实施的过程中，首先组织高中数学教师整理并学习高中常见的数学思想方法。在每单元教
20、学实施之前，组织教师集体备课，确定单元计划。单元计划步骤如图-1。分析单元知识，整理本单元所涉及到的数学思想方法分析教学内容分析学生情况确定本单元教学目标具体知识点的教学目标数学思想方法的教学目标教学设计实施教学总结与反思图-1二、确定每种数学思想方法的渗透过程对于每种数学思想方法，如何在一节课教学过程中渗透呢？课题组成员通过教学实践研究与总结，提出方法如图-2。在知识的生成过程中挖掘数学思想方法在例题教学中引导学生总结概括数学思想方法在习题的解决过程中尝试运用数学思想思想方法图-2高中数学思想方法教学的实施的案例单元教学计划案例以普通高中课程标准试验教科书人教A版必修一第二章基本初等函数为例
21、进行单元教学计划设计，具体如表-2。基本初等函数单元教学计划单元内容基本初等函数教学内容分析教材知识分析指数函数、对数函数和幂函数是高中新引进的函数，教科书先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图象的绘制、指数函数的基本性质与指数函数的初步应用，做了完整的介绍.教科书从具体问题引进对数概念，从对数概念的建立过程可以看出，教科书强调“对数源与指数”，以及指数运算与对数运算的互逆关系，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础展开的.对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样，目的是让学生对建立和研究一个具体函数的方法
22、有较完整的认识.对数函数是本章的另一个重点内容.在学习了指数函数和对数函数后，以两个底数相同的指数函数与对数函数介绍了反函数.对一般的反函数，教科书没有更多的介绍，这也是与传统教科书有区别的地方.幂函数是实际问题中常见的一类函数，这里只要求通过幂函数，的图象归纳出这五个幂函数的基本性质.数学思想方法分析在指数函数与对数函数概念的形成过程中要注意引导学生对分类讨论思想方法的挖掘，在指数函数、对数函数和幂函数的基本性质的教学时要引导学生用数形结合思想方法进行分析，在函数的初步应用教学时要注重函数与方程思想方法的应用.学情分析学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂
23、、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则，这为本章内容的学习奠定了基础.学生已经通过第一章内容的学习，掌握了研究函数的系统的方法，能够顺利的研究本章所涉及到的三类函数.同时，由于我校学生的基础薄弱，计算能力弱，在教学过程中教师要由浅入深，循序渐进，采用螺旋上升的方法进行知识探究以及数学思想方法的渗透.单元目标知识目标了解指数函数模型的实际背景.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型
24、.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发展历史以及对简化运算的作用.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.知道指数函数与对数函数互为反函数(，且).通过实例，了解幂函数的概念；结合函数，的图象，了解它们的变化情况.能力目标培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力.培养学生数形结合、辩证思维好动手实践的能力.培养学生用分类讨论的数学思想方法和函数与方程的思想方法解决实际问题的
25、能力.情感态度与价值观培养学生积极学习、刻苦钻研的良好品质.培养学生观察分析、抽象概括的能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力.学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、函数与方程思想方法和分类讨论的思想方法，了解数学的应用价值.教学重点、难点教学重点指数函数和对数函数的性质.教学难点无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.地位和作用本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后，系统的研究指数函数、对数函数、幂函数，是高中函数学习的第二阶段.基本初等函数是高中数学到的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，如GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂等，体现了数学的应用价值
26、.因此，本章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学号高中数学起着重要的作用.课时安排3.1指数与指数函数分两节（3.11-3.12），共4课时.3.2对数与对数函数分三节（3.2.1-3.2.3），共5课时.3.3幂函数1课时.3.4函数的应用1课时.表-2数学思想方法的教学实践案例概念课堂中进行数学思想方法教学的案例数学概念是数学学习的起点，是推导数学定理、法则的逻辑基础，也是形成数学思想方法的出发点。因此，只有正确的形成概念，才能掌握和运用数学知识。章建跃博士也大力倡导在核心概念教学上要做到“不惜时、不惜力”，在概念教学时，引导学生发现概念中
27、蕴含的数学思想方法，为后续的正确运用数学思想方法解决问题打下良好的基础。从数学概念的形成过程来看，概念教学是获取研究对象、认识数学新对象、追溯本源的过程。而在此教学过程中，引导学生用相对应的数学思想方法挖掘研究对象、认识分析对象、从而达到理解所研究的对象。从数学的发展来看，数学概念凝聚着人类认识事物的思想精华。在概念教学中顺其自然的渗透数学思想方法的教学，会对整个数学教学起到“润物细无声”的效果。下面以普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-1第二章第三节双曲线及其标准方程为例进行说明，具体如表-3。课题：双曲线及其标准方程普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-1第二章第三节教学目标：知
28、识目标：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.能力目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法.情感目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法.教学重点与难点教学重点：了解双曲线的定义.教学难点：双曲线标准方程推导过程中的化简.回忆椭圆的定义，与已有的知识联系提出类似的问题，引入双曲线的定义根据条件，建立双曲线的标准方程小结与作业布置教学流程：教学过程：问题师生活动数学思想方法(1)我们已经学习过椭圆.椭圆是平面上一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，当然这个定长要大于这两个定点间的距
29、离.那么，平面上到两个定点的距离只差是一个定长的点的轨迹是什么呢？下面我们用实验来探究这个问题.老师提出问题，学生动手实验。取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各取一个点，分别固定在点，上，到的长为.把鼻尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，鼻尖所经过的点就画出一条曲线(参照课本图2.3-1中右边的曲线).类比推理的思想，培养学生归纳总结和类比推理的能力.(2)在运动过程中，这条曲线上的点所满足的几何条件是什么？教师引导学生分析实验中的“变”与“不变”的条件.在拉链为拉开时，；拉开后，是定长，都在变化，但是它们的差数形结合的思想方法.不变。(3)能否说，这条曲线是平面上一个动点到两个定
30、点距离之差等于定长的点的轨迹呢？教师通过问题引导学生进行实验的迁移。学生调换固定在，处的图钉位置再进行试验，出现双曲线的另一只.数形结合的思想方法.(4)应该如何描述动点M所满足的几何条件呢？学生整理实验，抽象归纳成数学问题.数形结合的思想方法.(5)还有其他约束条件吗？师生共同讨论，平面上一个动点到两个定点距离之差的绝对值等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？数形结合的思想方法写出动点M所满足的几何条件的点的集合：.明确双曲线的定义：平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，量焦点的距离叫做双曲线的焦距.(6)我们是怎样建立坐标系求
31、椭圆标准方程的？怎样建立适当的坐标系，求双曲线的方程呢？教师引导学生根据双曲线的定义的特征建立适当的坐标系.类比推理完成“建系”.设点M(x,y)是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，.又设点M与，的距离的差的绝对值等于常数.由定义可知，双曲线就是集合.所以，.(7)怎样化简方程？请2名学生板书演示化简过程，教师在教室中走动观察其他同学的化简过程.通过同桌两个同学的互学，相互检查对方的化简过程，是否能得到正确的结果，出现过什么问题？教师引导学生评价板书过程，对好的方面进行评价，对表述有问题的地方进行修改.(8)椭圆有两个标准方程，双曲线也有两个吗？另一个是如何得到的？
32、教师引导学生与椭圆类比，既加强与已有知识联系，又找出与旧知识的不同之处（“同化”与“顺应”）.另一个方程是.例题展示请2名学生板书演示.小结： 学生小结双曲线的定义和标准方程.布置作业：教科书习题2.3A组第1、2题.表-3点评：(1)教师首先引导学生从实例入手，培养学生的观察能力和动手操作能力。(2)教师首先未交代双曲线的定义，而是让学生类比椭圆自己概括，然后将文字文字转化为数学语言，强调了符号化思想。培养学生的抽象、概括能力。(3)应用数形结合的数学思想方法得到双曲线标准方程，学生板书演示，培养学生的计算能力。(4)在例题的解决时，培养学生应用数学知识的能力。公式、定理课堂中进行数学思想方
33、法教学的案例在数学公式、定理的推导证明过程中，渗透着大量的数学思想方法，在教学过程中，不能只强调结果，不能简单的要求学生记住结论，更重要的是要分析在推导或证明过程中所蕴含的数学思想方法，具体如表-4。课题：两角差的余弦公式普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4第三章第一节教学目标：知识目标：掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习题.能力目标：通过探究两角差的余弦公式体会以退求进、割补思想、分类讨论观察联想等数学思想方法和思维方法，体会数学思维的合理性与条理性.情感目标：培养学生乐于思考和主动探究的思想.教学重点与难点教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式.教学难点：探
34、索过程的组织和适当引导.创设情景，以实例引入课题明确探索目标及途径组织学生自主探索小结与作业布置通过例题、练习，加强对公式的理解教学流程：教学过程：问题师生活动数学思想方法(1)教材中由章头图给出的问题.使学生经历把实际问题转化成数学问题的过程；引导学生用函数与方程的思想方法分析求解过程；师生共同得出本节课题.运用图片和动画展示从实际问题转化成数学问题并运用函数与方程的思想方法分析求解过程.(2)你认为公式会是吗？让学生动手验证，从而认识要探索的公式在“恒等”方面要求的意义. (3)怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式？让学生亲身经历探索过程：怎样作出角的终边；怎样作出角的余弦线以及角的正弦
35、线，余弦线；怎样利用几何直观寻求的表示式.动画展示探索过程，体现“形”的过程.(4)怎样联系向量的数量积去探索公式？让学生经历怎样用向量知识作出探索的过程：结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么表示？怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果.对探索过程进一步严格化的思考和处理.数形结合的思想方法.(5)例1.求解过程由学生独立完成；通过本例学生对三角变换有了一般地认识，教师适时的点评.公式的应用.(6)例2.学生板书演示，教师对表述的规范作了点评和要求分类讨论的思想方法的应用小结： 学生围绕对公式的探索过程和两角差的余弦公式两方面进行总结.布置作业：教科书P151,1-5.表-4点评：
36、(1)教师没有直接把课题交给学生，而是从实例入手，激发学生的求知欲望，引导学生猜想两角差的余弦公式，促进学生发现问题的能力，然后用向量和三角函数线的知识进行推导，证明过程中渗透着数形结合的思想，培养学生分析问题和解决问题的能力。(2)两角差的余弦公式是三角计算的基础，要给与足够重视。习题课中进行数学思想方法教学的案例课本上的典型例题具有示范作用，在解题过程中不断的出现数学思想方法，在教学过程中，要引导、帮助学生归类总结。如函数与方程的思想方法在怎样的题目中出现过，这些题目有什么样的共同特点，有无规律等。帮助学生按数学思想方法重新归类所学知识，这是一个帮助学生建立联系、升华理解的再学习过程。数学
37、能力的提升要在解题中来实现。在数学习题的解决过程中，帮助学生在数学思想方法的指导下探究性解题，从而避免机械性训练和没有思路的乱撞。如以二次函数为载体的函数大题，这类题目考查的内容丰富，有时需用函数与方程的思想方法去解决，有时需用数形结合的思想方法来解决，有时会用到分类讨论思想方法。学生要分清情况，对症下药，方可使问题迎刃而解。章建跃博士指出：“高水平的教学设计要建立在如下三个基本点上：理解数学、理解学生、理解教学”。其中，“理解数学”就指的是对数学思想方法及其精神的理解，可见数学思想方法在整个高中数学教学中的重要性，具体如表-5。课题：正弦定理和余弦定理的综合应用教学目标：教学过程：探究任务1
38、 正弦定理的应用思考1 正弦定理指出，比值是多少？如图, 的外接圆半径为,过点作圆的直径,在中，探究与的关系.你有几种证明方法？教师引导学生用数形结合的方法探究三角形的边长a与外接圆的直径2R的关系.ABCO例1 在中,已知,试判断的形状.例2 在中,求证:. 探究任务2余弦定理的应用例1 在中, 若,则 .例2 在中, 若,求.引导学生引用正弦定理解决问题.引导学生用余弦公式解决问题.引导学生选择适当的公式解决问题，在利用正余弦解决问题时，引导学生做出相应的三角形，培养学生数形结合的意识.表-5点评：(1)思考1的提出，鼓励学生用数形结合的思想方法进行一题多解，用数学思想方法指导解题，起到了
39、解题与思想方法相互作用的目的，从而认识了事物发展、变化的规律。(2)四道例题的解决，让学生在解题中领悟数学思想方法、数学文化和数学精神，优化学生点的认知结构，更大限度的提高了学生思考问题和解决问题的能力。六、课题实施的效果评估根据课题的实施，现根据调查问卷等方面对本课题的实施进行效果评估。教师数学思想方法教学问卷调查表分析数学思想方法教学问卷调查表(课题实施前)是在本课题实施前对我校高中数学教师做的第一次问卷调查，本问卷共有8个小问题，其中第1题和第8题是填空，前三个问题是对我校高中数学教师基本情况的了解，后五个问题是对我校高中数学教师在教学中进行数学思想方法渗透的调查。第2到第7题的调查情况
40、如下表-6。题号人数234567选项A6814584B5154510C810505D03560E8F1表-6从表-6可以看出，我校新进青年教师占到31.6%，占到了一大部分，而从调查中可以看出我校教师在教学中都有渗透数学思想方法的意识，但作为青年教师在渗透过程中，方法不是很妥当，渗透的比较浅，过于注重课本知识的应用，而忽视了学生学习方法的培养。数学思想方法教学问卷调查表(课题实施中)是在本课题实施一年后对我校高中数学教师做的第二次问卷调查，本问卷共有15个小问题，其中第1题填空，前三个问题是对我校高中数学教师基本情况的了解，第4到第12题是对我校高中数学教师在教学中进行数学思想方法渗透的调查，
41、第13和第14题是数学思想方法教学实践对学生的影响，第15题是数学思想方法教学实践对教师专业发展的影响，具体调查情况如表-7。 题号人数23456789101112131415选项A68510999999919916B516999999991993C818011111111910D03000000001900E8000000000F1表-7从表-7可以看出我校教师在教学中不仅有渗透数学思想方法的意识，而且有一定的方法，促进了教师的专业发展。数学思想方法的渗透能够提高学生学习的兴趣，加深学生对数学知识的理解与掌握，能够更好的发展学生的科学素养和精神，从而提高学生的数学成绩，提高了学生学习能力。学
42、生测试卷分析学生测试卷（前）是课题实施前对学生的一次测试，对函数概念和性质的考查，第1题是对分段函数的考查，第2题是对函数性质的考查。分段函数是难点，特别是对高一新生，大部分学生不能完整的画出这个分段函数的图象。据课堂调查，大部分对分段函数不理解，特别是与常函数有关的分段函数，学生感觉无从下手。第2题是对函数性质性质的考查，函数不是学生初中所学的函数类型，以学生目前所掌握的知识无法作出此函数的图象，只能根据函数的奇偶性、对称性、增减性的定义来分析此函数的性质，而根据定义来分析性质对学生来说就有些抽象，学生不易掌握，只有3%的学生完全能够解答此题，有24%的学生只能分析一个性质，剩余的学生没有解
43、答此题。学生对函数的概念和性质掌握的不好。学生测试卷（中）是课题实施了一段时间对学生的一次测试，是必修一第二章基本初等函数完成后的一次调查，此题是结合基本初等函数对函数性质的考查。第1题有80%的学生能够完成，第2题有41%的学生能够写出完整的解答过程，大部分学生能够解答疑问，完成的比较好。学生已经掌握了一部分常用的数学思想方法，能够尝试着用数学思想方法来解决问题。对于这两道题学生能够结合函数的图象来分析函数的性质，有了函数的图象，学生能够直观的得到函数的相关性质，从“形”的分析上升到“数”的证明。七、研究成果 1组织我校高中数学教师对数学思想方法进行系统学习，加深了我校教师对数学思想方法内涵
44、和外延的理解，促进了我校数学教师的专业发展。2分析常见数学思想方法的特点，并进行有效的教学实践，提高了我校高中数学教师教学和教研水平。3按照我国数学教学的传统和教育理念的要求，研制出了高中数学思想方法教学的思路和案例，为广大教师提供了案例，有助于教师的教学理念向教学实践的切实转化。参考文献1徐利治.数学方法论选讲M.武汉:华中工学院出版社，19932沈文选.中学数学思想方法M.湖南:湖南师大出版社，1999,53欧阳维诚，张垚，肖果能.初等数学思想方法选讲M.湖南:湖南教育出版社，2000,84朱成杰.数学思想方法教学研究导论M.上海:文汇出版社，2001,65施良方.学习论M.北京:人民教育
45、出版社,2001,56曹才翰，章建跃数学教育心理学北京师范大学出版社，1999,12.第57页7陈扬.关于数学思想方法教学的探讨J.数学通报,2003,38蒋世信.浅谈如何进行数学思想方法的教学J.数学通报,2003,99时丽霞.波利亚教育思想对中学数学教学实践的指导作用J.中学数学杂志,2004,210陈汉君.波利亚数学教育思想研究综述J.数学通讯,2004,911沈文选.进行数学思想方法教学应注意的问题J.中学数学,2000,412杨凌华.数形结合思想在中学教学中的应用仁J.当代教育论坛,2005,413武子顺.转化与化归在解题中的应用J.中学生数理化,2004,314章建跃.数学思想在立体几何的渗透J.数学教学研,2004,115刘坤.数学教学应把学科分支的基本思想提到教与学的指导