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1、数学思想方法在高中数学教学中的渗透数学思想方法在高中数学教学中的渗透研究以“方程的根与函数的零点”研究以“方程的根与函数的零点”为例为例现阶段高中生的数学学习普遍存在一种现象，即：学习思维僵化，只会老师讲过或做过的例题，依靠题海战术积累解题方法，不能够触类旁通、举一反三。其主要原因就是学生做题时缺乏数学思维能力，只靠机械训练与重复记忆解题，没有依托核心的数学思想方法解决问题。因此，要求学生灵活掌握数学思想方法是必要的。函数和方程是初高中数学学习的重点也是难点。而函数的零点则将函数与方程联系起来，从图形的角度它是函数图像与 轴的交点，从方程的角度它是对应方程的根。该内容理解起来没有什么难度，但其
2、中涉及到的函数的图形问题和代数的求解问题相互转化的思想很重要，这节课程体现了方程、函数、图形三者之间的交叉和印证关系，它们是统一融合的整体，这一点使得这节课在整个高中数学中有着独一无二的地位。基于以上原因，教学不能只停留在简单的知识层面。因此教学时，教师要把握住函数与方程的联系，向学生渗透函数与方程的思想。案例如下：方程的根与函数的零点课时安排40 分钟授课对象高一理科学生教人教 A 版必章节第四章第材版本修第一一册五节一、教学分析1、教材分析函数中零点至关重要，代数方程中的根和函数图形的零点相互联系，成为数与形相互转化的基础条件，在转化的过程中渗透了数形结合的思想。本节课主要是引导学生通过绘
3、图、观察、比较、推理、归纳等活动，利用函数图像和性质判断方程根的存在性和根的个数，掌握给定区间函数零点的确定方法。2、学生分析初中已经学习了一元二次方程的根与一元二次函数图像和x轴交点横坐标的关系；学生拥有将特殊情况下得出的结论通过探索、概括等方法归纳出一般性结论的能力。但缺乏超越函数的相关概念，对于一些问题不能很精确的用数学语言表达其实质。二、教学目标1.认识理解函数零点的定义，掌握方程的根和函数零点二者的关系，掌握好零点存在的判定定理。2.通过“类比、归纳、应用”，对具体的二次函数进行研究，探讨函数零点的确定方法。四、教学重点、难点重点：零点的概念；零点存在的判定方法。难点：方程的根与函数
4、零点二者的关系，掌握零点存在定理。五、教学过程环节教师活动预设学生活动设计意图一创设情境激发兴趣问题 1：方程观察、思考，判断一元二次方程的根的个数是否有实根？有几个？二回顾旧知引入概念探究：一元二次方程的根和它对应的函数图象之间的关系方程有两个实根，函数图象与x轴有 个交点，探究发现方程的根和函数图像与x轴交点的关系，为引入零点概念铺平道路方程有两个相等的实数根，函数图象与x轴有 1个交点方程没有实数根，函数图象与x轴有没有交点一般函数的图象与方程的根的关系学生类比，归纳得出：方程的根即函数的图象与x轴交点的横坐标从特殊到一般，感受零点产生的过程对于函数，我们把使的实数x方程解等价于函数是否
5、存在零点是否有观察归纳形成概念叫做函数的零点。方程有实数根辨析讨论，深化关系函数的图象与x轴有交点经过课程教学，让学生习得三个等价关系；体会到函数零点有其中的类比转化、数形结合、数学抽象问题 2：观察以下图像，可以得出函数共有几个零点？通过图像可以得出结论：函数图象与轴有多少交点，此函数就会有多少个零点和数学建模等重要的数学思想方法。三探究判定问题 3：请找出函数的零点在哪个区间内？并讨论含有找到零点，利用情景模式让学生能所在的区间，不断扩大区间长度，发现端点对应的函数值的符号由异号变成同号够自主探究数学思想方法，运用数学思想方法。提零点的区间，左炼方法右端点对应的函数值的符号关系如图，接着分
6、析，思考以上得出的规律是否具有一般性？上有零点上有零点上有零点，从特殊到一般，学生很容易找到问题，讨论的出发点：即用端点，函数值的符号进行分类，使问题的探究更，上无零点加自然。问题 4：若函数上满，则在内一定在通过观察不同图像，更深刻的理解定理中所说的“图像连续”有零点吗？探究发现零点存在的判定方法零点存在的判定方法：归纳总结条件：函数的图象在在上连续；结论：内存在零点判定定理，揭示本质四应用判定掌握方法问题 5：零点存在性定理可以逆用吗？即是否可以以结论推导条件？即若在反例强化内存在着零点，是否一定会判定解析零点存在的判定方法主要是确定函数在一定区间上是否有零点，且该定理是不可逆的。强化对零
7、点存在的判定方法的理解求函数的零点的个数用掌握的知识解决实际问题，从而锻炼学生解决问题的能力几何画板画出函数的图象数存在性探究：函是否该问题的探索探究为下节课“二分法”的学习做了基础性的铺垫存在零点，若存在请说明个数及所在区间。唯一性探究：判定函数的单调性用定义法证明在定义域上单调复合函数法图象法逻辑推理的数学思想方法具有严谨性，要让学生在具体解题中逐步培养、形成良好的思维习惯。函数的图象是否与x轴有且只有从图像的角度加深对函数零点的理解一个交点？几何画板作图证实。本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？知识：零点的定义，掌握方程的根与函数零点两者之间的内在联系。连续函数的零
8、点存在性定理。方法：数形结合、等价转化、归纳法。思想：化归转化思想、函数与方程思想五分层作业作业布置必做题：第 88 页第 1（1）第 2 题（4）；选做题：第 2 题（2）（3）；因材施教，让每个学生都有自己的数学节奏和成长空间。教学反思：基于学生对方程有一定的认识，熟悉从特殊到一般的归纳方法，本课先通过案例，搭建起一元二次方程的根与对应的二次函数零点之间的关系，然后将这种关系推广到了一般的方程与函数，从而引导学生自我归纳出三个重要的等价关系，体现了函数与方程、数形结合的重要思想。在探索零点的确定方法时，适当运用信息技术，给出不同的图像引导，让学生运用数形结合的思维方法进行分析、理解和总结，从而得出零点的判定定理。在这一过程中，教师也在不断渗透数学思维方法，不断培养学生的思维能力和数形结合能力，使学生在课堂学习中体会到数学思维方法的重要性。