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1、高中数学常用的数学思想数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组） 、不 等式（组） 、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数 形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用 大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为 手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确 性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过：“
2、数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。 ”数形结合就是 根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使 数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合， 寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。 “数”与“形”是一对矛盾， 宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形 少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问 题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合 思想分析
3、和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲 线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是 恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定 参数的取值范围。 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助 于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 、再现性题组：、再现性题组： 1.设命题甲：0b1 D. ba13.如果|x| 4,那么函数 f(x)cos2xsinx 的最小值是_。 (89 年全国文)A. 21 2B. 21 2C. 1 D.
4、 12 24.如果奇函数 f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是 5，那么 f(x)的-7,-3上是 _。(91 年全国) A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5 C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5 5.设全集 I(x,y)|x,yR，集合 M(x,y)| y x 3 21，N(x,y)|yx1，那么MN等于_。 (90 年全国)A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 6.如果 是第二象限的角，且满足 cos 2sin 21sin ,那么 2是_。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D. 第二象限角 7.已知
5、集合 E|cos乙，选 A; 2 小题：由已知画出对数曲线，选 B； 3 小题：设 sinxt 后借助二次函数的图像求 f(x)的最小值，选 D； 4 小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选 B； 5 小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选 B； 6 小题：利用单位圆确定符号及象限；选 B； 7 小题：利用单位圆，选 A； 8 小题：将复数表示在复平面上，选 B； 9 小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选 D；10 小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案3 23 2。【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题， 即借助数
6、轴（题） 、图像（、题） 、单位圆（、题） 、复平面（、题） 、方程曲线（题） 。 、示范性题组：、示范性题组：y4 y=1-m1O 2 3 x例 1. 若方程 lg(x23xm)lg(3x)在 x(0,3)内有唯一解，求实数 m 的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题， 再利用二次函数的图像进行解决。【解】 原方程变形为 30332 xxxmx即：30212 xxm()设曲线 y1(x2)2 , x(0,3)和直线 y 21m，图像如图所示。由图可知： 当 1m0 时，有唯一解，m1; 当 11m0),椭圆中心 D(2p 2,0)，焦点在 x
7、 轴上，长半轴为 2，短半轴为 1，它的左顶点为 A。问 p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点， 它们中每一个点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距离？ 【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以 A 为焦点、L 为准线的抛 物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况） 。【解】 由已知得：a2，b1, A(p 2,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：ypxxpy222222 41 ()，消 y 得：x2(47p)x(2pp2 4)0所以1664p48p20,即 6p28p20，解得：p1。结合范围(p 2,4+p 2)内两根，设 f(x)x2(
8、47p)x(2pp2 4)，所以p 20、f(4+p 2)0 即 p432。结合以上，所以4320,故式不可能有实数解。所以不存在 a、b，使得 AB 与(a,b)C 同时成立 、巩固性题组：、巩固性题组：1. 已知 5x12y60，则xy22的最小值是_。A. 60 13B. 13 5C. 13 12D. 12. 已知集合 P(x,y)|y92 x、Q(x,y)|yxb，若 PQ，则 b 的取 值范围是_。A. |b|x1|x1|的解集是非空数集，那么实数 m 的取值范围是 _。6. 设 zcos1 2且|z|1,那么 argz 的取值范围是_。7. 若方程 x23ax2a20 的一个根小于 1，而另一根大于 1，则实数 a 的取值范围是_。8. sin220cos2803sin20cos80_。9. 解不等式： xx22bx10.设 Ax|1x3，又设 B 是关于 x 的不等式组xxaxbx2220250 的解集，试确定 a、b的取值范围，使得 AB。 （90 年高考副题） 11. 定义域内不等式2 xxa 恒成立，求实数 a 的取值范围。12. 已知函数 y()x 112()x 592，求函数的最小值及此时 x 的值。13. 已知 zC，且|z|1，求|(z1)(z)|的最大值。 14. 若方程 lg(kx)2lg(x1)只有一个实数解，求常数 k 的取值范围。