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1、不等关系与不等式一元二次不等式及其解法强化训练不等关系与不等式一元二次不等式及其解法强化训练一、选择题一、选择题1.1.若若f f( (x x) )3 3x xx x1 1，g g( (x x) )2 2x xx x1 1，则，则f f( (x x) )，g g( (x x) )的大小关系是的大小关系是( () )A.A.f f( (x x) )g g( (x x) )C.C.f f( (x x) )g g( (x x) )2 22 22 22 2B.B.f f( (x x) )g g( (x x) )D.D.随随x x的值变化而变化的值变化而变化解析解析f f( (x x) )g g( (x
2、 x) )x x2 2x x2 2( (x x1)1) 1 10 0f f( (x x) )g g( (x x).).答案答案B B1 11 12.2.已知下列四个条件：已知下列四个条件：b b0 0a a，0，0a ab b，a a0 0b b，a ab b0 0，能推出，能推出 成立成立a ab b的有的有( () )A.1A.1 个个C.3C.3 个个B.2B.2 个个D.4D.4 个个1 11 1解析解析运用倒数性质，由运用倒数性质，由a ab b，abab0 0 可得可得 ，、正确，、正确. .又正数大于负数，正确，又正数大于负数，正确，a ab b错误，故选错误，故选 C.C.答案
3、答案C C3.3.若集合若集合A A x x|3|32 2x xx x00，集合，集合B B x x|2|2 22，则，则A AB B等于等于( () )A.(1A.(1，3)3)C.(C.(1 1，1)1)B.(B.(，1)1)D.(D.(3 3，1)1)2 2x x解析解析依题意，可求得依题意，可求得A A( (1 1，3)3)，B B( (，1)1)，A AB B( (1 1，1).1).答案答案C C4.4.若集合若集合A A x x| |axaxaxax1 100 ，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )A.A.a a|0|0a a44C.C.a a|0|0a a4
4、4解析解析由题意知由题意知a a0 0 时，满足条件时，满足条件. . a a0 0，a a00 时，由时，由 得得 0 0a a4，所以4，所以 00a a4.4.2 2 a a4 4a a0，0， 2 2B.B.a a|0|0a a44D.D.a a|0|0a a44答案答案D D5.5.已知函数已知函数f f( (x x) )x xaxaxb bb b1(1(a aR，R，b bR)，对任意实数R)，对任意实数x x都有都有f f(1(1x x) )f f(1(12 22 2x x) )成立，若当成立，若当x x1 1，11时，时，f f( (x x) )0 0 恒成立，则恒成立，则b
5、b的取值范围是的取值范围是( () )A.(A.(1 1，0)0)C.(C.(，1)(2，)，1)(2，)B.(2B.(2，)，)D.D.不能确定不能确定解析解析由由f f(1(1x x) )f f(1(1x x) )知知f f( (x x) )的图象关于直线的图象关于直线x x1 1 对称，即对称，即 1 1，解得，解得a a2.2.2 2又因为又因为f f( (x x) )开口向下，开口向下，a a所以当所以当x x1 1，11时，时，f f( (x x) )为增函数，为增函数，所以所以f f( (x x) )minminf f( (1)1)1 12 2b bb b1 1b bb b2 2
6、，2 22 2f f( (x x) )0 0 恒成立，即恒成立，即b b2 2b b2 20 0 恒成立，恒成立，解得解得b b1 1 或或b b2.2.答案答案C C6.6.若实数若实数a a，b b，c c满足对任意实数满足对任意实数x x，y y有有 3 3x x4 4y y55axaxbybyc c33x x4 4y y5 5，则，则( () )A.A.a ab bc c的最小值为的最小值为 2 2B.B.a ab bc c的最小值为的最小值为4 4C.C.a ab bc c的最大值为的最大值为 4 4D.D.a ab bc c的最大值为的最大值为 6 6解析解析由题意可得5(由题意可
7、得5(a a3)3)x x( (b b4)4)y yc c55 恒成立，所以恒成立，所以a a3 3，b b4 4，55c c5，则5，则22a ab bc c12，即12，即a ab bc c的最小值是的最小值是 2 2，最大值是，最大值是1212，A A 正确，正确，C C 错误；错误；66a ab bc c4，则4，则a ab bc c的最小值是的最小值是6 6，最大值是，最大值是 4 4，B B 错误，错误，D D 错误，故选错误，故选 A.A.答案答案A A二、填空题二、填空题 x x2 2x x，x x0，0，7.7.已知函数已知函数f f( (x x) ) 则不等式则不等式f f
8、( (x x) )3 3 的解集为的解集为_._.2 2 x x2 2x x，x x0 0， x x0，0， x x0 0，解析解析由题意知由题意知 2 2或或 2 2解得解得x x1.1.故原不等式的解集为故原不等式的解集为 x x| |x x1.1. x x2 2x x3 3x x2 2x x3 3， 2 2答案答案 x x| |x x111 1 4 4 2 28.8.若关于若关于x x的不等式的不等式axaxb b的解集为的解集为 ， ， 则关于则关于x x的不等式的不等式axaxbxbxa a0 0 的解集的解集5 5 5 5 为为_._.1 1 b b1 14 4 2 2解析解析由已
9、知由已知axaxb b的解集为的解集为 ， ，可知，可知a a0 0，且，且 ，将不等式，将不等式axaxbxbxa a0 05 5 a a5 55 5 b b4 41 14 44 44 42 22 22 2两边同除以两边同除以a a，得，得x xx x 0 0，即，即x xx x 0 0，解得，解得1 1x x ，故不等式，故不等式axaxbxbxa aa a5 55 55 55 55 54 4 0 0 的解集为的解集为 1 1， . .5 5 4 4 答案答案 1 1， 5 5 9.9.不等式不等式a a8 8b b b b( (a ab b) )对于任意的对于任意的a a，b bRR恒成
10、立，恒成立， 则实数则实数 的取值范围为的取值范围为_._.解析解析因为因为a a8 8b b b b( (a ab b) )对于任意的对于任意的a a，b bRR 恒成立，所以恒成立，所以a a8 8b b b b( (a ab b)0)0对于任意的对于任意的a a，b bRR 恒成立，即恒成立，即a a baba(8(8 ) )b b00 恒成立，恒成立，由二次不等式的性质可得，由二次不等式的性质可得， b b4(4( 8)8)b bb b( ( 4 4 32)0，32)0，2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2所以所以( ( 8)(8)( 4)0，
11、4)0，解得8解得8 4.4.答案答案 8 8，4410.(2019杭州高级中学测试10.(2019杭州高级中学测试) )若关于若关于x x的不等式的不等式( (x xa a)(2)(2x xb b)0)0 在在( (a a，b b) )上恒成立，上恒成立，则则 2 2a ab b的最小值为的最小值为_._.解析解析要使要使 2 2a ab b取得最小值，取得最小值，尽量考虑尽量考虑a a，b b取负值的情况取负值的情况. .因此当因此当a a 00，与，与b b00矛盾；当矛盾；当a a00b b时，不等式时，不等式( (x xa a)(2)(2x xb b)0)0 等价于等价于 2 2x
12、xb b0，即0，即b b2 2x x在在( (a a，b b) )上恒上恒成立，则成立，则b b2 2a a，即，即 2 2a ab b0，此时0，此时 2 2a ab b的最小值为的最小值为 0 0；当；当 00a a 0.0.综上可知综上可知 2 2a ab b的最小值为的最小值为 0.0.答案答案0 0三、解答题三、解答题11.11.已知已知f f( (x x) )3 3x xa a(6(6a a) )x x6.6.(1)(1)解关于解关于a a的不等式的不等式f f(1)(1)0 0；(2)(2)若不等式若不等式f f( (x x) )b b的解集为的解集为( (1 1，3)3)，求
13、实数，求实数a a，b b的值的值. .解解(1)(1)由题意知由题意知f f(1)(1)3 3a a(6(6a a) )6 6a a6 6a a3 30 0， 即即a a6 6a a3 30 0， 解得解得3 32 2 3 3a a3 32 2 3.3.所以不等式的解集为所以不等式的解集为 a a|3|32 2 3 3a a3 32 2 3.3.(2)(2)f f( (x x) )b b的解集为的解集为( (1 1，3)3)，方程方程3 3x xa a(6(6a a) )x x6 6b b0 0 的两根为的两根为1 1，3 3，2 22 22 22 22 2a a（6 6a a）（1 1）3
14、 3， 3 3 a a33 3 3， 解得解得 6 6b bb b3.3. （1 1）3）3， 3 3 即即a a的值为的值为 33 3 3，b b的值为的值为3.3.12.12.已知已知11x xy y44 且且 22x xy y33，求，求z z2 2x x3 3y y的取值范围的取值范围. .解解设设z z2 2x x3 3y ym m( (x xy y) )n n( (x xy y) )，即即 2 2x x3 3y y( (m mn n) )x x( (m mn n) )y y，1 1m m ， 2 2 m mn n2 2，所以所以 所以所以 m mn n3 3，5 5 n n2 2，
15、1 11 1由由11x xy y44 知知22 ( (x xy y) ，2 22 25 51515由由 22x xy y33 知知 55 ( (x xy y)，2 22 21 15 5得得 33 ( (x xy y) ) ( (x xy y)8)8，即，即 33z z8. b b成立的充分而不必要的条件是成立的充分而不必要的条件是( () )A.A.a a b b1 1C.C.a a b b2 22 2B.B.a a b b1 1D.D.a a b b3 33 3解析解析A A 项：若项：若a a b b1 1，则必有，则必有a a b b，反之，当，反之，当a a2 2，b b1 1 时，满
16、足时，满足a a b b，但不能推出，但不能推出a a b b1 1，故，故a a b b1 1 是是a a b b成立的充分而不必要条件；成立的充分而不必要条件；B B 项：当项：当a ab b1 1 时，满足时，满足a a b b1 1，反，反之，由之，由a a b b1 1 不能推出不能推出a a b b；C C 项：当项：当a a2 2，b b1 1 时，满足时，满足a a b b，但，但a a b b不成立；不成立；D D 项：项：2 22 2a a b b是是a a3 3 b b3 3的充要条件，综上所述答案选的充要条件，综上所述答案选 A.A.答案答案A A14.(14.(一一题
17、题多多解解) )已已知知函函数数f f( (x x) )axaxbxbxc c( (a a0)0)，若若不不等等式式f f( (x x)0)0 的的解解集集为为 1 1 x x| |x x 33 ，则，则f f(e(ex x)0(e)0(e 是自然对数的底数是自然对数的底数) )的解集是的解集是( () )2 2 2 2A.A.x x| |x x ln 3ln 3B.B.x x|ln 2|ln 2x xln 3ln 3C.C.x x| |x xln 3ln 3D.D.x x| |ln 2ln 2x xln 3ln 3 1 1 x x1 1 x xx x解析解析法一法一依题意可得依题意可得f f
18、( (x x) )a a x x ( (x x3)(3)(a a0)0)，则，则f f(e(e ) )a a e e (e(e 3)(3)(a a0)03)0，可得，可得 ee 33，解得，解得ln 2ln 2x xln 3ln 3，故选，故选 D.D.2 2 2 2 1 1 1 1 ，令，令 eex x33，得，得ln 2ln 2x xln 3ln 3，故选，故选 D.D.x x| | x x30)0 的解集为的解集为2 2 2 2 答案答案D D15.15.若不等式若不等式x xaxax2 20 0 在在 R R 上有解，上有解，则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_；若在区间若在区
19、间11，55上有解，则实数上有解，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析设设f f( (x x) )x xaxax2 2，f f( (x x) )的图象开口向上，的图象开口向上，对任意对任意a aR，R，f f( (x x)0)0 在在 R R 上有解；由于上有解；由于 a a8 80 0 恒成立，恒成立，所以方程所以方程x xaxax2 20 0 恒有一正一负两根，恒有一正一负两根，2 22 22 22 2 2323 2 2于是不等式于是不等式x xaxax2 20 0 在区间在区间11， 55上有解的充要条件是上有解的充要条件是f f(5)(5)0 0， 即即a a ， .
20、. 5 5 2323 答案答案R R ， 5 5 3 32 216.16.若关于若关于x x的不等式的不等式a ax x3 3x x44b b的解集恰好是的解集恰好是 a a，b b ，则，则a a_，b b4 4_._.3 32 23 32 2解析解析令令f f( (x x) )x x3 3x x4 4 ( (x x2)2) 1 1，其图象对称轴为其图象对称轴为x x2.2.若若a a2，2，则则a a，b b是方程是方程4 44 4f f( (x x) )x x的两个实根，解得的两个实根，解得a a ，b b4 4，矛盾；，矛盾；8 84 4若若b b2，则2，则f f( (a a) )b
21、 b，f f( (b b) )a a，两式相减得，两式相减得a ab b ，代入可得，代入可得a ab b ，矛盾；，矛盾；3 33 3若若a a2222 f f（a a）4 4，解得解得b b4 4，由，由 解得解得a a0.0. a a2)2 2x x的解集为的解集为(1(1，3).3).(1)(1)若方程若方程f f( (x x) )6 6a a0 0 有两个相等的根，求有两个相等的根，求f f( (x x) )的解析式；的解析式；(2)(2)若若f f( (x x) )的最大值为正数，求实数的最大值为正数，求实数a a的取值范围的取值范围. .解解(1)(1)f f( (x x) )2
22、 2x x00 的解集为的解集为(1(1，3)3)，f f( (x x) )2 2x xa a( (x x1)(1)(x x3)3)，且，且a a00，因而因而f f( (x x) )a a( (x x1)(1)(x x3)3)2 2x xaxax(2(24 4a a) )x x3 3a a.由方程由方程f f( (x x) )6 6a a0 0，得得axax(2(24 4a a) )x x9 9a a0.0.因为方程有两个相等的实根，因为方程有两个相等的实根，所以所以 (2(24 4a a) 4 4a a99a a0 0，1 12 2即即 5 5a a4 4a a1 10 0，解得，解得a a1 1 或或a a . .5 51 1由于由于a a00，舍去，舍去a a1 1，将，将a a 代入，代入，5 51 12 26 63 3得得f f( (x x) )x xx x . .5 55 55 52 22 22 2 1 12 2a a a a4 4a a1 1及及a a000，a a由由 a a00，解得解得a a 2 2 3 3或或2 2 33a a0.0.故当故当f f( (x x) )的最大值为正数时，实数的最大值为正数时，实数a a的取值范围是的取值范围是( (，2 2 3 3)()(2 2 3 3，0).0).2 2