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1、七年级数学竞赛七年级数学竞赛 第五讲第五讲 方程组的解法方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解， 主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决所以，解方程组的基本思想是消元， 主要的消元方法有代入消元和加减消元两种， 下面结合例题予以介绍例例 1 1 解方程组解解 将原方程组改写为由方程得 x=6+4y，代入化简得11y-4z=-19 由得2y+3z=4 3+4 得33y+8y=-57+16，所以 y=-1将 y=-1 代入，得 z=2将 y=-1 代入，得 x=2所以1为原方程组的解说明说明 本题解法中，由，消 x 时，采用了代入消元法；解，组成的方程组时，若用代入法
2、消元，无论消 y，还是消 z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中 z 的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快例例 2 2 解方程组解法解法 1 1 由，消 x 得由，消元，得解之得将 y=2 代入得 x=1将 z=3 代入得 u=4所以2解法解法 2 2 由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即 x=-15+16x，解之得 x=1将 x=1 代入得
3、u=4将 u=4 代入得z=3将 z=3 代入得 y=2所以为原方程组的解解法解法 3 3 +得x+y+z+u=10， 由-(+)得y+u=6， 由2-得4y-u=4， +得 y=2以下略说明说明 解法解法 2 2 很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅例例 3 3 解方程组3分析与解分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：+得x+u=3， +得y+v=5， +得z+x=7， +得u+y=9 又+得x+y+z+u+v=15-得 z=7，把 z=7 代入得 x=0，把 x=0 代入得 u=3，把 u=3代入得 y=6，把 y=6 代入得 v=-1所以为原方
4、程组的解例例 4 4 解方程组4解法解法 1 1 2+得由得代入得为原方程组的解5为原方程组的解说明说明 解法 1 称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程例例 5 5 已知分析与解分析与解 一般想法是利用方程组求出 x，y，z 的值之后，代入所求的代数式计算 但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出 x，y，z 的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形-消去 x 得63+消去 y 得5+3 消去 z 得例例 6 6 已知关于 x，y 的方程组分别求出当 a 为何值时，
5、方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解分析分析 与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程 ax=b 的形式进行讨论但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零解解 由得2y=(1+a)-ax， 将代入得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2) (1)当(a-2)(a+1)0，即 a2 且 a-1 时，方程有因而原方程组有唯一一组解7(2)当(a-2)(a+1)=0 且(a-2)(a+2)0 时，即 a=-1 时，方程无解，因此原方程组无解(3)当(a-2)(a+1)=0
6、 且(a-2)(a+2)=0 时，即 a=2 时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解例例 7 7 已知关于 x，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当 a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解解法解法 1 1 根据题意，可分别令 a=1，a=-2 代入原方程得到一个方程组将 x=3，y=-1 代入原方程得(a-1)3+(a+2)(-1)+5-2a=0所以对任何 a 值都是原方程的解说明说明 取 a=1 为的是使方程中(a-1)x=0，方程无 x 项，可直接求出 y值；取 a=-2 的道理类似解法解法 2 2 可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0由于公共解与 a 无关，故有8例例 8 8 甲、乙两人解方程组原方程的解分析与解分析与解 因为甲只看错了方程中的 a，所以甲所得到的解4(-3)-b(-1)=-2 a5+54=13 解由，联立的方程组得所以原方程组应为练习五练习五1解方程组92若 x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定 3x4+2x5的值3将式子 3x2+2x-5 写成 a(x+1)2+b(x+1)+c 的形式，试求4k 为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5若方程组的解满足 x+y=0，试求 m 的值10