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1、角角本节内容4.34.3.1 角与角的大小比较角与角的大小比较观察观察 如图，钟面上的时针与分针如图，钟面上的时针与分针、圆规的两只脚之圆规的两只脚之间间、折扇的扇骨与扇骨之间都给我们以什么样的形折扇的扇骨与扇骨之间都给我们以什么样的形象象？这里有许多角这里有许多角角是由具有公共端点的角是由具有公共端点的两条射线组成的图形两条射线组成的图形. 如图，将射线如图，将射线OA绕点绕点O旋转到旋转到OB位置时，就出位置时，就出现了角的形象现了角的形象. 因此，我们把一条射线绕着它的端点从一个位因此，我们把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做置旋转到另一位置时所成的图形叫做角角
2、.其中，射线的端点其中，射线的端点O叫做角的顶点叫做角的顶点.始边始边终边终边角的内部角的内部BOA 射线原来所射线原来所在的位置在的位置OA叫做角的叫做角的始边始边， 旋转后的位置旋转后的位置OB叫做角叫做角的的终边终边， 角的始边和终边统称为角的角的始边和终边统称为角的边边. 从始边旋转从始边旋转到终边所扫过的区域到终边所扫过的区域，叫做叫做角的内部角的内部. 角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转的量的大小决定的量的大小决定. 当射线绕端点旋转到与原来的位置在同一直线当射线绕端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫做上但方向相反
3、时，所成的角叫做平角平角. 如图如图. 当射线绕端点旋转一周，又重新回到原来的位当射线绕端点旋转一周，又重新回到原来的位置时，所成的角叫做置时，所成的角叫做周角周角. 如图如图. 角的始边可以绕顶点沿顺时针或逆时针方向旋角的始边可以绕顶点沿顺时针或逆时针方向旋转，本书只研究角的大小，不计方向转，本书只研究角的大小，不计方向. .注意注意 如果没有特别说明，本书所讲的角只限于不大如果没有特别说明，本书所讲的角只限于不大于平角的角于平角的角. .角通常可用如图所示的方法来表示角通常可用如图所示的方法来表示.OAB1AOB， BOA 或或O 1 怎样比较图中的怎样比较图中的ABC 和和DEF的大小的
4、大小？探究探究BCAEFD可用量角器量可用量角器量与线段长短的比较类与线段长短的比较类似，可以把它们叠合似，可以把它们叠合在一起比较大小在一起比较大小 先将先将DEF移动，使它的顶点移动，使它的顶点E与与ABC的顶点的顶点B重合，并且使重合，并且使DEF的一条边的一条边EF与与ABC的一的一条边条边BC重合，边重合，边ED，BA都在都在BC的同侧的同侧. .这时可能出现的情形如下表这时可能出现的情形如下表：情形情形图形图形ABC与与DEF的关系的关系ED与与BA重合重合ABC =DEFED落在落在ABC内部内部ABC DEFED落在落在ABC外部外部ABC ”、“” 或或“=” 填填空：空：A
5、OB AOC，DOB BOC，BOC AOD， AOD BOD.图图3-253. 在一张纸片上画一个角，在一张纸片上画一个角， 通过折纸折出这个角通过折纸折出这个角的平分线的平分线. .4.3.2 角的度量与计算角的度量与计算 我们用角的始边绕顶点旋转到终边位置的旋转量我们用角的始边绕顶点旋转到终边位置的旋转量来度量角的大小，旋转量用来度量角的大小，旋转量用“度度”来表示来表示. 把一个周角把一个周角（即它的旋转量即它的旋转量）分为分为360等份，每等份，每一等份叫做一等份叫做1度，记做度，记做1，如图，如图.因此，一个周角等于因此，一个周角等于360，一个平角等于一个平角等于180. 平角的
6、一半平角的一半（即即90的角的角）叫做叫做直角直角. 小于直角小于直角（即小于即小于90）的角叫做的角叫做锐角锐角. 大于直角但小于平角大于直角但小于平角（即大于即大于90但小于但小于180）的角叫做的角叫做钝角钝角. 我们可以用量角器来测量一个角的大小，但有我们可以用量角器来测量一个角的大小，但有时一个角的度数并不一定是整数，这时与长度单位时一个角的度数并不一定是整数，这时与长度单位一样，一样， 需要考虑用更小的单位来度量需要考虑用更小的单位来度量. . 把把1的角分成的角分成60等份，每一等份叫做等份，每一等份叫做1分，记分，记做做1； 再把再把1的角分成的角分成60等份，等份， 每一等份
7、叫做每一等份叫做1秒，秒， 记做记做1.即即111 =601 =601 =1 =6060, , , ., , , . 度、分、秒是角的基本度量单位度、分、秒是角的基本度量单位. 度、分、度、分、秒之间的换算是秒之间的换算是60进制，这与时间的时、分、秒进制，这与时间的时、分、秒之间的换算是一样的之间的换算是一样的.举举例例例例1 用度、分、秒表示用度、分、秒表示54.26.解解 54.26= 54+ 0.26. 又又 0.26= 0.26 60 = 15.6= 15+0.6， 而而 0.6= 0.6 60= 36，因此，因此，54.26= 541536.举举例例例例2 用度表示用度表示 482
8、548.解解 148 =48 =0.8 60, , 125.8 =25.8 =0.4360 , , 因此，因此，482548= 48.43举举例例例例3 计算：计算： （1） 3728+ 2435； （2） 8320- 453820解解 （1） 3728+ 2435 = 6163 = 623；（2） 8320- 453820 = 827960- - 453820 = 374140.练习练习1. 填空：填空：（1）0.65= ；（2）32.43= ；（3）1203654= ；（4）1084236 = .39322548120.615108.713. 计算：计算：（1） 7212+ 504030；
9、 （2） 1135040- -574842.1225230561583. 10 时整，钟表的时针与分针之间所成的角的度数是时整，钟表的时针与分针之间所成的角的度数是 多少多少？15时整呢时整呢？答：答：10点整，钟表的时针与分针之间所成的点整，钟表的时针与分针之间所成的角度数为角度数为60度，度，15点整所成的角是点整所成的角是90度度.做一做做一做 如图，量一量，算一算，如图，量一量，算一算，1+2，3+4 的度数分别是多少的度数分别是多少？12341=30, ,2=601+2=90.3=120, ,4=603+4=180. 如果两个角的和等于一个平角如果两个角的和等于一个平角，那么说这，那
10、么说这两两个角个角互为补角互为补角( (简称简称互补互补) )，也，也说其中一个说其中一个角角是另是另一个一个角角的的补角补角. 如果两个角的和等于一个直角如果两个角的和等于一个直角，那么说这那么说这两两个角个角互为余角互为余角( (简称简称互余互余) )，也，也说其中一个说其中一个角角是另是另一个一个角角的的余角余角. 例如例如，34的角与的角与56的角互为的角互为余余角角， 图图( (a) )中的中的1与与2互为互为余余角角； 48的角与的角与132的角互的角互为为补补角角，图图( (b) )中中3与与4互互为补为补角角.12（a）34（b）（1）如图如图（a），），1与与2互补，互补，1
11、与与3互补，互补， 那么那么2与与3的大小有什么关系的大小有什么关系？动脑筋动脑筋相等相等（a）由于由于 1 +2 = 180，1 +3 = 180，所以所以 2 = 180- -1，3 = 180- -1.因此因此 2 =3（等量代换等量代换）. .（a）结论结论同角同角( (或等角或等角) )的补角相等的补角相等.（2）如图如图（b），），4与与5互互余余，4与与6互互余余， 那么那么5与与6的大小有什么关系的大小有什么关系？相等相等（b）类似地，我们可以得到类似地，我们可以得到 5 = 6.（b）结论结论同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等.举举例例例例4 如图，如图，AOB与与BO
12、D互为余角，互为余角，OC是是 BOD的平分线，的平分线，AOB=29.66，求，求 COD的度数的度数. .解解 因为因为AOB与与BOD互为余角，互为余角，所以所以BOD = 90-AOB = 90- -29.66= 60.34. 又因为又因为OC是是BOD的平分线，的平分线，因此，因此，COD 的度数为的度数为 30.17. 29.6660.34所以所以11=60.34 =30.17 .22CODBOD30.17举举例例例例5 已知一个角的余角是这个角的补角的已知一个角的余角是这个角的补角的 ， 求这个角的度数求这个角的度数13解解 设这个角为设这个角为x， 则这个角的余角为则这个角的余
13、角为（90- -x）， 补角为补角为（180- -x）. 根据题意，得根据题意，得 ， 解得解得 x = 45 . 因此，这个角的度数为因此，这个角的度数为45.190 = 180 3xx-()()练习练习1. 填空：填空：（1） 10526的补角等于的补角等于 ；（2） 282532的余角等于的余角等于 .74346134282. 如图如图，BOD = 118，COD 是直角是直角， OC 平分平分AOB， 求求AOB的度数的度数.答：答：AOB的度数为的度数为56度度.小结与复习小结与复习1. 直线、射线、线段有什么区别与联系直线、射线、线段有什么区别与联系？ 怎样比较线段的长短怎样比较线
14、段的长短？2. 什么样的图形是角什么样的图形是角？3. 角的大小用什么单位表示角的大小用什么单位表示？怎样比较两个角的怎样比较两个角的 大小大小？4. 同角或等角的余角有什么关系同角或等角的余角有什么关系？同角或等角的同角或等角的 补角有什么关系补角有什么关系？本章知识结构本章知识结构几何图形立体图形平面图形直线射线线段角两点确定一条直线长短比较两点之间线段最短度量与计算大小比较余角与补角角平分线同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等1. 为了区分有公共顶点的几个角，一般用三个大写字为了区分有公共顶点的几个角，一般用三个大写字 母表示角母表示角.注意注意2. 角的大小由始边绕顶点旋
15、转到终边位置的旋转量确角的大小由始边绕顶点旋转到终边位置的旋转量确 定，与所画角的边的长短无关定，与所画角的边的长短无关（角的边是两条射线角的边是两条射线）. .3. 角的度、分、秒之间的换算是角的度、分、秒之间的换算是60进制进制. .4. 如果没有特别说明，本书中所讲的角只限于不大于平如果没有特别说明，本书中所讲的角只限于不大于平 角的角角的角. .中考中考 试题试题例例1如图所示，图中小于平角的角的（如图所示，图中小于平角的角的（ ）. A.4个个 B.5个个 C.6个个 D.7个个解析解析图中小于平角的角有：图中小于平角的角有：B，BAD，BAC， BDA，ADC，C，DAC共共7 7个个. .故，应选择故，应选择D. .D结结 束束