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1、2.2.2事件的相互独立性事件的相互独立性(1).条件概率的概念条件概率的概念(2).条件概率计算公式条件概率计算公式:()()(|)( )( )n ABP ABP B An AP A复习回顾复习回顾设事件设事件A和事件和事件B，且，且P(A)0,在已知事件在已知事件A发生的条发生的条件下事件件下事件B发生的概率，叫做发生的概率，叫做条件概率条件概率.记作记作P(B |A).三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？同学中奖”.同学中奖”.B表示事件“最后一名B表示事件“最后一名设A为事件“第一位同学没有中奖”。答:
2、事件事件A的发生会影响事件的发生会影响事件B发生的概率发生的概率21)()()()(APABPAnABn)(ABP三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？同学中奖”.同学中奖”.B表示事件“最后一名B表示事件“最后一名设A为事件“第一位同学没有中奖”。答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。)()|(BPABP)|()()(ABPAPABP又)()()(BPAPABP设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果)()()(BPAPABP则称事件则称事件A与事件与事件B相互独立。相互独立。1.定义法定义法:P(AB)
3、=P(A)P(B)2.经验判断经验判断:A发生与否不影响发生与否不影响B发生的概率发生的概率 B发生与否不影响发生与否不影响A发生的概率发生的概率判断两个事件相互独立的方法判断两个事件相互独立的方法注意注意:(1)互斥事件互斥事件:两个事件不可能同时发生两个事件不可能同时发生(2)相互独立事件相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响两个事件的发生彼此互不影响(1)必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.；与与 BAAB与与 ；.BA 与与(2)若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立:相互独立事件的性质：
4、 练习练习1.1.判断下列事件是否为相互独立事件判断下列事件是否为相互独立事件. . 篮球比赛的篮球比赛的“罚球两次罚球两次”中，中， 事件事件A A：第一次罚球，球进了：第一次罚球，球进了. . 事件事件B B：第二次罚球，球进了：第二次罚球，球进了. .袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. .事件事件A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球. .事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. .袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. . 事件事件
5、A A：第一次从中任取一个球是白球：第一次从中任取一个球是白球. . 事件事件B B：第二次从中任取一个球是白球：第二次从中任取一个球是白球. .练练2 2、判断下列各对事件的关系判断下列各对事件的关系（1 1）运动员甲射击一次，射中）运动员甲射击一次，射中9 9环与射中环与射中8 8环；环；（2 2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9 9环与乙环与乙射中射中8 8环；环；互斥互斥相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立（4 4）在一次地理会考中，）在一次地理会考中，“甲的成绩合甲的成绩合格格”与与“乙的成绩优秀乙的成绩优秀”24. 0)(, 6 . 0)
6、(, 6 . 0)()3(ABPBPAP已知即两个相互独立事件同时发生的概率，即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。等于每个事件发生的概率的积。2.2.推广：如果事件推广：如果事件A A1 1，A A2 2，A An n相互独立相互独立，那，那么这么这n n个事件同时发生的概率个事件同时发生的概率P(AP(A1 1A A2 2A An n)= P(A)= P(A1 1) )P(AP(A2 2) )P(AP(An n) )1.1.若若A A、B B是相互是相互独立独立事件，则有事件，则有P(AP(AB)= P(A)B)= P(A)P(B)P(B)应用公式的前提：1.事件
7、之间相互独立事件之间相互独立 2.这些事件同时发生这些事件同时发生. 相互独立事件同时发生的概率公式相互独立事件同时发生的概率公式等于每个事件发生的概率的积等于每个事件发生的概率的积. .即即：例例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）“都抽到某一指
8、定号码都抽到某一指定号码”；（2）“恰有一次抽到某一指定号码恰有一次抽到某一指定号码”；（3）“至少有一次抽到某一指定号码至少有一次抽到某一指定号码”。解解: (1)记记“第一次抽奖抽到某一指定号码第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件B，则，则“两次抽奖都抽到某一指定号两次抽奖都抽到某一指定号码码”就是事件就是事件AB。（1）“都抽到某一指定号码都抽到某一指定号码”；由于两次的抽奖结果是互不影响的由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此因此A和和B相互独立相互独立.于是由独立性可得于是由独立性可得,两次抽奖都抽两次抽奖都
9、抽到某一指定号码的概率为到某一指定号码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025（2）“恰有一次抽到某一指定号码恰有一次抽到某一指定号码”；解解: “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用可以用 表示。由于事件表示。由于事件 与与 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：定义，所求的概率为：B B) )A A( () )B B( (A A B BA AB BA A0 0. .0 09 95 5 0 0. .0 05 50 0. .0 05 5) )( (1 10 0. .0 0
10、5 5) )( (1 10 0. .0 05 5 ) )P P( (B B) )A AP P( () )B B P P( (A A) )P P( (B B) )A AP P( () )B BP P( (A A（3）“至少有一次抽到某一指定号码至少有一次抽到某一指定号码”；0 0. .0 09 97 75 5 0 0. .0 09 95 50 0. .0 00 02 25 5B B) )A AP P( () )B BP P( (A AP P( (A AB B) )解解: “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用可以用 表示。由于事件表示。由于事件 与与 两两
11、互斥，根据概率加法公式和相互独立两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：事件的定义，所求的概率为：) )B B( (A AB B) )A A( ( (A AB B) )B BA AB BA AA AB B, ,0.09750.09750.05)0.05)(1(10.05)0.05)(1(11 1) )B BA AP(P(1 1另解：另解：(逆向思考逆向思考)至少有一次抽中的概率为至少有一次抽中的概率为例例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号
12、码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中，求两次抽奖中以下事件的概率：以下事件的概率：变式变式:“至多有一次抽到中奖号码至多有一次抽到中奖号码”。练一练练一练:已知已知A、B、C相互独立，试用数相互独立，试用数学符号语言表示下列关系学符号语言表示下列关系 A、B、C同时发生概率；同时发生概率； A、B、C都不发生的概率；都不发生的概率； A、B、C中恰有一个发生的概率；中恰有一个发生的概率； A、B、C中恰有两个发生的概率；中恰有两个发生的概率；A、B 、C中至少有一个
13、发生的概率；中至少有一个发生的概率；)(CBAP)(CBAP(1) A发生且发生且B发生且发生且C发生发生(2) A不发生且不发生且B不发生且不发生且C不发生不发生)()()()3(CBAPCBAPCBAP练一练练一练:已知已知A、B、C相互独立，试用数相互独立，试用数学符号语言表示下列关系学符号语言表示下列关系 A、B、C同时发生概率；同时发生概率； A、B、C都不发生的概率；都不发生的概率； A、B、C中恰有一个发生的概率；中恰有一个发生的概率； A、B、C中恰有两个发生的概率；中恰有两个发生的概率；A、B 、C中至少有一个发生的概率；中至少有一个发生的概率；)()()()4(CBAPCB
14、APCBAP)(1 )5(CBAP例例2.2.甲甲, , 乙两人同时向敌人炮击乙两人同时向敌人炮击, ,已知甲击中敌已知甲击中敌机的概率为机的概率为0.6, 0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 0.5, 求敌求敌机被击中的概率机被击中的概率. .解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 ,B= 乙击中敌机乙击中敌机 ,C=敌机被击中敌机被击中 .BAC 则则依题设依题设,5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP由于由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以敌机的可能性，所以 A与与B独立独立, ,进而进而.独独立立
15、与与 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.8练习练习1、若甲以、若甲以10发发8中，乙以中，乙以10发发7中的命中率打靶，中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( )(A)(B)(D)(C)5 53 34 43 32 25 51 12 22 25 51 14 4练习练习2.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不影。假设三道工序互不影响，则制作出来的
16、产品是正品的概率响，则制作出来的产品是正品的概率是是 。D(1P1) (1P2) (1P3)练习练习3.甲、乙两人独立地解同一问题甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个甲解决这个问题的概率是问题的概率是P1, ，乙解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有那么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？人解决这个问题的概率是多少？P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2=P1 + P2 P1P2练习练习4:4: 已知诸葛亮解出问题的概率为已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,0.8,臭皮匠臭皮匠老大解出问题的概率为老大解出问题的概率为0.5,0.5,老二为老二为0.45,0.
17、45,老三为老三为0.4,0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？较，谁大？ 1()10.5 0.55 0.60.835P A B C 0.8()P D 略解略解: : 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以所以，合三个臭皮匠之力把握就大过，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮诸葛亮. .例例3 3、假使在即将到来的、假使在即将到来的20082008年北京奥年北京奥运会上，我国乒乓球健儿克服规则上的运会上，我国乒乓球健儿克服规则上的种
18、种困难，技术上不断开拓创新，在乒种种困难，技术上不断开拓创新，在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女队乓球团体比赛项目中，我们的中国女队夺冠的概率是夺冠的概率是0.9,0.9,中国男队夺冠的概率中国男队夺冠的概率是是0.7,0.7,那么男女两队双双夺冠的概率是那么男女两队双双夺冠的概率是多少多少? ?解：设事件解：设事件A A：中国女队夺冠：中国女队夺冠; ; 事件事件B B：中国男队夺冠：中国男队夺冠由于男队（或女队）是否夺冠，对女队（或男队）由于男队（或女队）是否夺冠，对女队（或男队）夺冠的概率是没有影响的，因此夺冠的概率是没有影响的，因此A A与与B B是相互独立是相互独立事件事件. .又
19、又“男女两队双双夺冠男女两队双双夺冠”就是事件就是事件ABAB发生，发生，根据独立性可得，男女两队双双夺冠的概率为根据独立性可得，男女两队双双夺冠的概率为 答：男女两队双双夺冠的概率为答：男女两队双双夺冠的概率为0.63.0.63.63. 07 . 09 . 0)()()(BPAPABP变式一变式一 只有女队夺冠的概率有多大？只有女队夺冠的概率有多大？变式二变式二 恰有一队夺冠的概率有多大？恰有一队夺冠的概率有多大？变式三变式三 至少有一队夺冠的概率有多大？至少有一队夺冠的概率有多大？略解略解:(1):(1)只有女队夺冠的概率为只有女队夺冠的概率为 27. 03 . 09 . 0)()()(B
20、PAPBAP0.340.340.70.70.10.10.30.30.90.9 )P(B)P(B)A AP(P() )B B P(A)P(P(A)P(B)B)A AP(P() )B BP(AP(A(2)(2)只有一队夺冠的概率为只有一队夺冠的概率为 (3)(3)解解1 1：( (正向思考正向思考) )至少有一至少有一队夺冠队夺冠的概率为的概率为解解2 2：( (逆向思考逆向思考) )至少有一队夺冠的概率为至少有一队夺冠的概率为 0.970.970.340.340.630.63B)B)A AP(P() )B BP(AP(AP(AB)P(AB)0.970.970.30.30.10.11 1) )B
21、BA AP(P(1 1 一个元件能正常工作的概率一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。称为该元件的可靠性。由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今设所用元件的可靠性都为靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0(0r1)1)，且各元件能，且各元件能否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。(1)12(2)12(3)1212(4)2211P1=r2P2=1(1r)2P3=1(1r2)2P4=1(1r)22 J C J B J A2.2. 如图如图, ,在一段线路中并联着在一段线路中并联
22、着3 3个自动控制的常开开关，个自动控制的常开开关，只要其中有只要其中有1 1个开关能够闭合，线路就能正常工作个开关能够闭合，线路就能正常工作. .假定假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.70.7，计算，计算在这段时间内线路正常工作的概率在这段时间内线路正常工作的概率. . 解：解：分别记这段时间内开关分别记这段时间内开关J JA A,J,JB B,J,JC C能够能够闭合为事件闭合为事件A A，B B，C.C.由题意，这段时间内由题意，这段时间内3 3个开关是否能够闭合相互之间没有影响个开关是否能够闭合相互之间没有影响, ,根据相互独立事件的概
23、率乘法公式，这段根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内时间内3 3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是 ()( )( )( )1( )( )( )(10.7) (10.7) (10.7)0.02711A B CABCABCPPPPPPP 这段时间内至少有这段时间内至少有1 1个开关能够闭合，从而使线路能个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是正常工作的概率是 1()1 0.0270.973PP A B C .)(,)2(.)(,) 1 (, 7 . 0)(, 4 . 0)(的值求互为相互独立事件时当的值求互斥时当则设BPBABPBABAPAP辨一辨互斥事件互斥事件相互独立事件相互独立事件 不可能同时发生的不可能同时发生的两个事件叫做互斥两个事件叫做互斥事件事件.如果事件如果事件A A（或（或B B）是否发生对事）是否发生对事件件B B（或（或A A）发生的概率没有影响，）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事这样的两个事件叫做相互独立事件件P(AB)=P(A)+P(B)P（AB）= P(A)P(B) 互斥事件互斥事件A A、B B中中有一个发生，有一个发生，相互独立事件相互独立事件A A、B B同时同时发生发生, ,计算计算公式公式 符符号号概念概念记作记作:AB(:AB(或或A+B)A+B)记作记作:AB