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1、42 反余弦函数 一、素质教育目标(一)知识教学点1反余弦函数的定义、图象和性质2反余弦函数的三角运算及余弦函数的反余弦运算(二)能力训练点1理解反余弦函数的定义，熟记图象和性质2掌握反余弦函数的三角运算以及余弦函数的反余弦运算，进一步培养学生综合运用知识的能力(三)德育渗透点1反余弦函数概念的建立与反正弦函数一样，同样要解决函数多值对应的问题，为了获得单值对立，仍然采取控制自变量的范围，所以教学过程要注意让学生再次体验“量变到质变”的辩证唯物主义观点2反余弦函数的研究与反正弦函数研究的方法是相似的，为此要注意引导学生通过类比来学习，使学生不断掌握辩证唯物主义科学的认知方法,二、教学重点、难点
2、、疑点及解决方法1教学重点：反余弦函数的定义、图象和性质2教学难点：反余弦函数的定义3教学疑点：要正确理解反余弦的概念，应当指出以下几点：1它是一个角，2角在0，内，3它的余弦值为x三、课时安排建议安排2个课时四、教与学过程设计第一课时 (一)复习引入(师生共同总结反正弦函数的有关知识，学生表述，教师板书)1反正弦函数的定义,作：y=arcsinx，其中x-1，12反正弦的意义3 sin(arcsinx)=x3基本关系式1 sin(arcsinx)=x，x-1，1(教师强调式子成立的条件)4反正弦函数的图象4-3：,5性质1是增函数，2是奇函数，而arcsin(-x)=-arcsinx师：以上
3、是有关反正弦函数的知识总结今天我们将要学习反余弦函数的有关知识，方法与反正弦相似，请同学们注意比较两个函数特点(二)新课师：请同学们注意观察函数y=cosx的图象(用投影机打在屏幕上)，然后思考以下问题：问题1函数y=cosx有没有反函数？为什么？生：没有，因为一个y的值会对应无数个x的值问题2通过什么办法可使y的值与x的值对应变为1对1？生：控制自变量x的取值范围问题3选取哪一区间来研究反余弦函数比较方便又合理生：0，师：很好，函数y=cosx在0，上是单调递减的，所以有反函数，下面请一位同学来叙述反余弦函数的定义(教师板书),生：函数y=cosx(x0，)的反函数叫做反余弦函数，记作y=a
4、rccosx师：大家还要注意反余弦函数的定义域是x-1，1，值域是y0，现在再请一位同学说说反余弦函数的意义生：1arccosx是一个角，2这个角在区间0， 内，3这角的余弦值是x师：根据反余弦函数的定义，我们可以得到基本关系式：cos(arccosx)=x，其中x-1，1，arccosx0，若x-1，1，例1 求下列各式的值：,例2 求下列各式的值：,师：从本题的解答我们得到，arccos(cosx)不一定等于x，只有当x0，时，才有arccos(cosx)=x，于是我们又得基本关系式：arccos(cosx)=x，x0，请同学们考虑arccoscos(-2)=？生：等于2，因为cos(-2
5、)=cos2，而20，所以，arccoscos(-2)=arccos(cos2)=2解： -A0，-+A即 0+A,学生练习：已知x是第三象限角且cosx=a，试用反余弦函数来表示x，(x=2k+arccos(-a)，KZ)师：在考虑用反余弦函数表示一个角时，大家要注意角所在的范围，如果角不在0，内，应先转化为0，内，然后再用反余弦来表示例4 求下列各式的值：由学生完成,师：由于arccosx0，使得sin(arccosx)0，这给我们解题带来很大的便利(三)练习课本P279-280中练习1、2、4、5、6(四)小结1反余弦函数的定义1arccosx表示一个角，2arccosx0，3cos(a
6、rccosx)=x2两个基本关系式1cos(arccosx)=x，x-1，12arccos(cosx)=x，x0，,五、作业课本P285中习题十九5、6、7六、板书设计,第二课时 一、教与学过程设计(一)复习引入师：上一节课我们学过反余弦函数的定义及其运算，那么反余弦函数的意义是什么呢？生：1arccosx表示一个角，2这个角在0，内，3这个角的余弦值是x师：关于反余弦函数有两个重要的基本关系式，是什么样的？(请一位同学到上面板演)生：1cos(arccosx)=x，x-1，1师：对这两个基本关系式，大家要特别注意它成立的条件，使用时一定要先判别条件是否满足，然后再用今天我们继续学习反余弦函数
7、的图象和性质,(二)新课师：我们知道函数y=cosx(x0，)与函数y=arccosx(x-1，1)是互为反函数，那么请同学们考虑这两个函数有什么关系？生：函数y=cosx(x0，)的值域-1，1是函数y=arccosx(x-1，1)的定义域，函数y=cosx(x0，)的定义域0，是函数y=arccosx(x-1，1)的值域，同时它们的图象关于直线y=x成对称师：根据刚才这位同学的回答，我们知道函数y=arccosx的定义域是-1，1，值域是0，并且易得反余弦函数的图象4-4，请同学们看屏幕(把事先画好的图象投影到屏幕上，从图象易得反余弦函数是减函数，那么它是否是奇式偶函数？为什么？),生：即
8、非奇函数也非偶函数，因为它的图象既不关于y轴对称也不关于原点对称师：虽然反余弦函数不具有奇偶性，但对于任意x-1，1，有arccos(-x)=-arccosx，下面我们就来证明这个命题证明：由于-1x1，得-1-x1，即-x-1，1根据诱导公式得：cos(-arccosx)=-cos(arccosx)=-x cosarccos(-x)=-x， cosarccos(-x)=cos(-arccosx)又 arccos(-x)0，arccosx0，即 0arccosx 得 0-arccosx arccos(-x)与-arccosx同属于0，且函数y=cosx在0，上是单调递减的故 arccos(-x
9、)=-arccosx,师：这个命题的证明过程可分为三步：(1)证明两个角的三多函数值相等，(2)证明两个角同在三角函数的某个单调区间内，(3)根据函数的单调性，得到两个角相等这种证明方法希望大家能很好地掌握根据以上讨论我们得到反余弦函数的两条性质(教师板书)1 反余弦函数y=arccosx在区间-1，1上是减函数2 对于任意的x-1，1有arccos(-x)=-arccosx(三)应用举例例1 解不等式arccos(1-x)arccosx解：要使不等式有意义，必须且只须-11-x1 且 -1x1又根据反余弦函数的单调性可得1-xx建立以上不等式得,小结：这道题主要利用了反余弦函数的定义域和单调性而定义域是大家最容易遗漏掉的，希望大家能充分地重视它例2 求函数y=arccos(x+x2)的定义域，值域单调区间解：1 求定义域要使函数有意义，必须且只须 -1x+x21,根据反余弦函数的单调性可得3 求函数的单调区间原函数y=arccos(x+x2)是由函数y=arccosu与u=x2+x复合而成,(四)练习1课本P279中练习32比较下列各组数的大小(五)总结1反余弦函数的图象2反余弦函数的性质1减函数，2arccos(-x)=-arccosx x-1，1,二、作业1课本P285中习题十九8三、板书设计,