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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶线性微分方程解的结构 第五节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 一、一、二二 阶线性微分方程的一般形式阶线性微分方程的一般形式 及函数组的线性相关性及函数组的线性相关性 第七章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n阶线性微分方程阶线性微分方程时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面考虑二阶线性微分方程的解下面考虑二阶线性微分方程的解时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通
2、解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕二阶线性齐次方程解的解的结构二阶线性齐次方程解的解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,对于二阶齐次微分线性方程是它的一个的解,也是它的一个解 并不是通解但是因为是它的另一个的解,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关
3、线性相关;又如，若在某区间 I 上必需全为 0,则在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0,则必线性相关相关机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为结论一：二阶齐次线性微分方程的求解问题转化为求两个线性无关的特解的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、非齐次线性微分方程解的结构三、
4、非齐次线性微分方程解的结构.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 3的特解,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)推论1：非齐次线性微分方程的解与其对应的齐次微分方程的解之和仍然是非齐次线性微分方程的解机动 目录 上页 下页 返回 结束 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 4.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论二
5、：二阶非齐次线性微分方程的求解问题转化为求对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的一个特解的问题*一般求解方法：1：通过变量替换降阶降阶法2：通过对齐次方程的同解进行常数变易求 非齐次方程的通解常数变易法上述关于二阶线性微分方程可推广至n阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 作业作业 P 312 1（口头）；2；3；4第八节 目录 上页 下页 返回 结束