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1、导数概念的物理背景(bijng)变速直线运动的即时速度 极限思想：令 t t0，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度即0000()()()limtS ttS tV tt 直观想法(xing f)：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。 如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时速度 呢？0( )V t 问题：设某质点做直线运动，运动方程为 S=S(t),我们可用一段时间内,质点所发生的位移 除以所花的时间t, 得到平均速度，即00()()S ttS tSVtt 00()( )SS ttS t第1页/共20页第一页，共21页
2、。导数概念的几何(j h)背景曲线的切线问题问题：如右图所示，已知曲线(qxin)及曲线(qxin)上的一点M , 如何确定曲线(qxin)在点 M 处的切线？ 过点 M 作曲线的割线 MN，当动点N 沿曲线向定点 M 靠拢时，割线 MN 则绕定点 M 旋转而趋于极限(jxin)位置 MT , 得到曲线在点 M 的切线。0,NMxxMNMT即当时，割线切线MNTMNxyo0 x( )yf xT0( )f x0()f xx0 xxxy0000lim()() limxxKKf xxf xx 切线割线（）切线：割线的极限位置。上述过程可用极限式表示如下：第2页/共20页第二页，共21页。导数(do
3、sh) Derivative的概念也可记作0 xxd yd x0()xxd fxd xox xy 若这个(zh ge)极限不存在，则称在点x0 处不可导。 设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( 点 x0 +x 仍在该邻域内）时， 相应地函数 y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 (derivable)，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数(deriva 记为 0()fx00000()()()limlimxxf
4、 xxf xyfxxx 即在引例(yn l)中有00( )( ),V tS t0()Kfx切第3页/共20页第三页，共21页。0000( )()()limxxfxfxfxxx0000()()()limhf xhf xfxh导数定义(dngy)的不同形式lim自变量之差0函数值之差导数 自变量之差导数是函数变化率的精确(jngqu)描述，从数量方面刻画了变化率的本质0000()()lim()hf xhf xfxh与有什么关系？000000()( )()( )limlimhhf xhf xf xhf xhh(-1)0( )f x=hx用代替差商解答(jid)第4页/共20页第四页，共21页。变化率
5、问题(wnt)设某个变量 Q 随时间 t 的变化(binhu)而变化(binhu)，时刻 t 取值 Q (t),0limtQt 0()( )limtQ ttQ tt 从时刻 t 经过(jnggu) t 时间， 量 Q 的改变量为()( )QQ ttQ t 量 Q 的平均变化率为()( )QQ ttQ ttt 0tQt 令， 则得到 在时刻 的（瞬时）变化率：(1)求增量(2)求增量比(3)取极限导数是平均变化率的极限导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度。第5页/共20页第五页，共21页。导数的几何意义(yy)Mxyo0 x( )yf xT0000( )()( )(,()yfxxfxyfx
6、Mxfx 函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。0tan()MTkfx法线是过切点(qidin)且与切线垂直的直线00( )(,()yf xM xf x曲线在点处000()()yyfxxx的切线方程为0001()()yyxxfx 法线方程为0()0)fx第6页/共20页第六页，共21页。求导数(do sh)步骤：00()();yf xxf x (1)求增量00()();f xxf xyxx(2)算比值00lim.x xxyyx (3)求极限例题 设 ，求 2yx2xy解222224yxxx 4yxx0lim4xyx 所以24xy如果将式中的定点x=2改为任意(rny)点x,则有如
7、下结果22000limlimlim 22xxxxxxyxxxxx 其结果表示(biosh)是x的函数，称之为导函数。第7页/共20页第七页，共21页。若函数 y=f (x) 在开区间 I 内的每点处都可导，就称函数 y=f (x) 在开区间 I 内可导。这时，对于任意 x I , 都对应着一个(y )确定的导数值，这样构成了一个(y )新的函数，这个函数称为原来函数 y=f (x) 的导函数（简称导数derivative），记作：( )fxd yd x()d fxd xy0()( )( )limhf xhf xfxh0()( )limxf xxf xyx 把 x0 换成 x , 可得或导函数(
8、hnsh)的概念00()( ) |xxfxfx点导数与导函数(hnsh)的关系如上例中22xx224xx第8页/共20页第八页，共21页。000()( )( )lim limlim00hhhf xhf xC Cf xhh 01lim2cos()sin22hhhxh 00sin2lim cos() lim22hhhhxhcosx利用(lyng)定义求导数举例( ) (f xCC为常数）例1 求常值函数 的导数。解所以常数的导数等于零，即0C ( ) sinf xx例2 求正弦函数 的导数。(sin )cosxx 所以(cos )sinxx 同理可求得00()( )( )limsin()sinli
9、mhhf xhf xfxhxhxh解第9页/共20页第九页，共21页。0()limnnhxhxh122110 lim()nnnnnhnxC xhhnx1() ()xxR 对一般的幂函数有12220 l imnnnnhnxhCxhhh1()nnin iiniabC ab( ) nf xxn（ 为正整数）例3 求幂函数 的导数。0()( )( )limhfxhfxfxh解所以1()nnxn x 第10页/共20页第十页，共21页。10(1) x541(2) x(4) x1(3) x例如(lr)2(5) x910 x59445()4xx 121()xx 11221122xxx212x第11页/共20
10、页第十一页，共21页。0log ()loglim aahxhxh01 lilog mahxhhx10lim log (1 ) hahhx10lim log (1) xhxahhx1log aex 1 l n xa( )log0,0af xx aa（）例4 求对数函数 的导数。0()( )( )limhfxhfxfxh解1(log)lnaxxa 所以(ln)x 特别(tbi)(lg)x 1x1ln10 x第12页/共20页第十二页，共21页。解 根据导数的几何意义(yy)，所求切线的斜率为11122214xxkyx 所以，所求切线方程为124()2yx 所求法线的斜率为21114kk 所求法线方
11、程为112()42yx例5 求双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出曲 线在该点处的切线方程和法线方程。1yx1,22440 xy即28150 xy即第13页/共20页第十三页，共21页。单侧导数(do sh) 0000()()()limhf xhf xfxh 0000()()()limhf xhf xfxh 左导数(do sh) （derivative on the left） 右导数 （derivative on the right）函数在点x0处可导 左导数和右导数都存在，并且相等。000( )()limxxf xf xxx000( )()limxxf xf xxx第14页/共20页第十四
12、页，共21页。0( )(0)(0)lim0 xf xffx0sinsin0lim0 xxx0sinlim1xxx0tan0lim0 xxx0tanlim1xxxsin(0)2( ),(0).tan( 0)2xxf xfxx求 例6 已知0( )(0)(0)lim0 xf xffx解 因为(0)(0)1ff所以(0)1f ，从而第15页/共20页第十五页，共21页。函数(hnsh)的可导性与连续性的关系 函数(hnsh) f (x) 在某点可导，则在该点连续。证明 设函数 在点 可导( )f x0 x0)(limlim000 xxxfyxx .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)(lim00
13、xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)0(0 x 注意(zh y): 该定理的逆定理不成立.第16页/共20页第十六页，共21页。例7 讨论(toln)函数 f (x)= |x| 在点 x=0 的连续性和可导性。xyOyx00lim( )lim()0 xxf xx(0)0f故函数(hnsh) f (x)= |x| 在点 x=0 连续00lim( )lim( )(0)xxf xf xf即 0( )(0)lim0 xf xfx0lim1xxx0( )(0)lim0 xf xfx0lim1xxx(0)f(0)f故函数(hnsh) f (x)= |x| 在点 x=0 不可导 连续是可导的必要
14、非充分条件00lim( )lim0 xxf xx解 函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。第17页/共20页第十七页，共21页。解, ,是有界函数是有界函数x1sin01sinlim0 xxx处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin. .不不存存在在1 1和和1 1之之间间振振荡荡而而极极限限在在时时, ,当当 xyx0.0)(处连续处连续在在 xxf0)(lim)0(0 xffx.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例8)(xf在x=0处不可(bk)导第18页/共20页第十八页，共21页。例9
15、 求曲线 的通过点（0，4）的切线方程23xy 解 设切点为 ，则切线(qixin)的斜率为 002323)(0 xxxfxx ),(00yx于是所求切线(qixin)方程可设为)(23000 xxxyy ),(00yx切点(qidin) 在曲线 上，故有23xy 2300 xy 切线通过点（0，4），故有)0(234000 xxy 解由上述两个方程组成的方程组得8, 400 yx即得所求切线方程为3x-y-4=0第19页/共20页第十九页，共21页。谢谢您的观看(gunkn)！第20页/共20页第二十页，共21页。NoImage内容(nirng)总结导数概念的物理背景变速直线运动的即时速度。导数概念的物理背景变速直线运动的即时速度。导数概念的几何背景曲线的切线问题。导数是函数(hnsh)变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率的本质。导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度。如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果。其结果表示是x的函数(hnsh)，称之为导函数(hnsh)。函数(hnsh)的可导性与连续性的关系。切线通过点（0，4），故有。3x-y-4=0。谢谢您的观看第二十一页，共21页。