小学四年级奥数讲义.pdf

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1、学习必备欢迎下载小学四年级奥数讲义需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律：a+b =b+a加法结合律： a+b+c=a+(b+c)减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。即a-b-c=a-(b+c)a-(b+c) =a-b-c（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家” 。如：a-b+c=a+c-b（3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“”号，那么括号里“”变“+” ， “+”变“-” ；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。如 a-

2、(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数” 。2、乘法中的巧算：乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc、(a-b)c=ac-bc3、除法中的巧算：（1）除法交换律：abc=acb（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。公式： 如果 ab=c则 (an)(bn)=c (an)(bn)=c n0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。公式：a(bc)= abc（4）根据“一个

3、数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”公式：a(bc)= abc（5）除法分配律：(a + b)c = ac + bc ac + bc=(a + b)c4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 25=10 425=100 8125=1000 16625=10000 337=111 71113=1001 370373=101015、 “头同尾合十” ：头（头+1）100+尾尾“尾同头合十” ： （头头+尾）100+尾尾6、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)7、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。公式：和= （首项+

4、末项）项数2项数= （末项-首项）公差+1首项=末项-公差（项数-1）末项（或者某一项）= 首项+公差（项学习必备欢迎下载数-1）公差= （末项-首项）（项数-1）奇数项的等差数列的和= 中间项项数奇数项的等差数列的中间项= 和项数 =（首项+末项）28、1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1= nn9、数字找规律的基本方法：1、首先观察数列是从小往大排还是从大往小排。2、后一项比前一项多几或者少几。3、后一项是前一项的倍数或者前一项是后一项的倍数。4、相邻两项的差依次是个等差数列。5、每一项都是项数乘以项数。6、前两项的和等于后一项或者前三项的和等于后一项。 （裴波拉契数列）7、

5、前两项的积或商等于后一项。8、把数列分组看。9、跳着看。 （奇数项与奇数项，偶数项与偶数项成规律）10、图形找规律的基本方法：1、从图形的数量变化上来考虑。2、从图形的对称来考虑。3、从图形的种类和位置变化上来考虑。4、把大、小图形分开考虑。11、图形计数的基本方法：1、数线段、数角、数三角形的总个数，往往就用基本图形的个数，依次加上比前一项少 1 的自然数， 直到 1。 或者用基本图形的个数 （个数+1） =n(n+1)2、遇到稍微复杂的图形，可先把图分类成几个部分，数出各部分包含图形的个数后，再求出图形的总和。3、数“金字塔”式的三角形不仅要考虑单个的小三角形，还要考虑由单个三角形组成的新

6、三角形。从边长 1，2，3去分类比较数，计数时先分层再平移计算就不会少数。4、长方形的个数可以这样算：长边的线段数宽边的线段数=长方形的个数5、正方形的个数可以这样算：11+22+33+(n-1)(n-1)+nn(n 为正方形各边的基本线段数)6、正方体的个数可以这样算：111+222+333+nnn(n 为正方体各边的基本线段数)7、由正方体组成的立体图形，可以从上往下一层一层的算，最后把每层的个数加起来。12、长方形的周长=（长+宽）2 =（a+b）2长=周长2-宽宽=周长2-长正方形的周长=边长4=a4正方形的边长=周长4学习必备欢迎下载13、自然数的个位数字是有规律的，an末位数字规律

7、是：当 a 的末位是 0 0、1 1、5 5、6 6 时，a an n的末位数字与的末位数字与 a a 相同相同，不随 n 的变化而变化。当 a 的末位是 2、3、7、8 时，an的末位数字都分别以 4 个不同的数循环出现，周期是 4。当 a 的末位是 2 2 时时，周期是 4 4，以，以 2 2、4 4、8 8、6 6 循环出现；当 a 的末位是 8 8 时时，周期是 4 4，以，以 8 8、4 4、2 2、6 6 循环出现；当 a 的末位是 3 3 时时，周期是 4 4，以，以 3 3、9 9、7 7、1 1 循环出现；当 a 的末位是 7 7 时时，周期是 4 4，以，以 7 7、9 9

8、、3 3、1 1 循环出现。当 a 的末位是 4 和 9 时，an的末位数字都分别以 2 个不同的数循环出现，周期是2。当 a 的末位是 4 4 时，时，周期是 2 2，以，以 4 4、6 6 循环出现；当 a 的末位是 9 9 时时，周期是 2 2，以，以 9 9、1 1 循环出现。第一讲第一讲速算与巧算速算与巧算1、接近整十、整百、整千的数看成所接近的数进行简算。例题：2548+503574+798根据“和”的变化规律，即一个加数增加多少，另一个加数反而减少同样的数，和不变。根据“被减数和减数同时增加或减少同一个数，差不变”的规律。例题：956-5973475-3082、两个数相加，如果恰

9、好凑成整十、整百、整千、整万等，就把其中的一个数叫做另一个数的补数， 为计算简便， 可以先把两个互为补数的数先凑成整十或整百的数，然后再与别的加数相加求和。例题：783+25+1752803+（2178+5497）+47223、连续几个数相加，它们都接近同一个基准数，利用基准数计算。例题：93+95+98+96+88+89+87+91+93+91=9010+（3+5+8+6-2-1-3+1+3+1）学习必备欢迎下载 995+996+997+998+999第一种：=10005-（5+4+3+2+1）第二种：=9975（此种方法利用“移多补少”变成5 个 997）4、几个数相加，每个数都接近不同的

10、整十、整百、整千例：9999+999+99+9=10000+1000+100+10-45、几个数相加减，算式中含有括号，利用去括号。如算式中有两项互补，可加括号。例： 1654-（54+78） 2937-493-2076、当数字特别巨大， 而被减数和减数的前几位相同时，可去掉相同的这几位数。例题：657897-657323+297=897-323+2977、用“移位凑整”来速算例：1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9=1000-(91+9)+(92+8)+(93+7)+(99+1)=1000-10098、 “取中间数相乘” ，当连续

11、相加的个数为单数个时，我们可以取中间数乘以加数的个数来进行巧算，这个连续数必须是等差数列。例题：1+3+5+7+9=55 2+6+10+14+18=10590+93+96+99+102+105+108=9、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。公式：和=（首项+末项）项数2项数=（末项-首项）公差+1公差=（末项-首项）（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）末项=首项+公差（项数-1）例题：2+4+6+100 1+3+5+57学习必备欢迎下载10、利用乘法公式凑整25=10 45=20 425=100 8125=1000 16625=100002

12、564625 258125411、 “头同尾合十” ：头（头+1）100+尾尾对于一个两位数乘以两位数，如果十位数相同，个位数加起来等于十，就是“头同尾合十” 。则结果为尾数相乘的积作后两位数，如果积不满十，十位上要补写0，把十位数乘以本身加 1 的积作为前两位数。例：6367=（67） （37）=4221 8585=（89） （55）=7225计算：4347 2822 3436 717912、 “尾同头合十” ： （头头+尾）100+尾尾对于两位数乘以两位数，如果个位相同，十位上的数加起来等于 10，就是“尾同头合十” ，则结果为：将十位上的数字相乘加上个位上的数后扩大 100 倍，再加上个

13、位数乘以个位数的积。例：6343=（64+3）100+33=2709计算：2787 1393 4666 892913、添 0 折半法4285=428210=2140 84825=8484100=21200计算：3245 8325 56425 3442514、两位数、三位数乘以 11 的方法：头做积的头，尾做积的尾，头尾相加（或三位数的前两位数与后两位数之和）做积的中间数，如果满 10 或满 100 要向前一位进“1”例：3811=3（3+8）8=418 33911=3（33+39）9=3729472611=4（4+7）(7+2)(2+6)6=51986计算：1311 2311 6711 567

14、11学习必备欢迎下载15、某数乘以99 或 999 有规律可循。规律为：二位数乘以99 的几位（这两位数-1）放在千、百位上，十、个位数为这两位数的补数，如果是乘以999，则在中间添加一个 9，如果是 9999，则添加二个 9。4599=（45-1） （100-45）=445538999=（38-1）9（100-38）=37962计算：2399 6799 64999 2399916、用“平方差公式”解题 a -b =(a+b)(a-b)642-362752-252582-422832-17217、1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1= nn22速算与巧算复习速算与巧算复习一、基本

15、概念1、加法中的巧算：加法交换律：加法结合律：减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。即（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家” 。如：（3）加、减混合运算中去括号 （或添括号）时，如果括号前面是“”号，那么括号里“”变“+” ， “+”变“-” ；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。如如果两个数的和恰好可以凑成整十、 整百、整千的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数” 。“基准数加累计差” 法： 几个相近的数相加， 可以选择其中一个数， 最好是的数为

16、“基准数” ，再找出每个加数与“基准数”的，大于“基准数”的差做加数，小于“基准数”的差做减数，把这些差累计起来，再加上“基准数”与加数个数的乘积就可以得到结果。2、乘法中的巧算：乘法交换律：乘法结合律：乘法分配律：、3、除法中的巧算：学习必备欢迎下载（1）除法交换律：abc=acb（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。公式： 如果ab=c则 (an)(bn)=c (an)(bn)=c n0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数” 的规律，进行巧算。公式：a(bc)= abc（4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数

17、乘以第二个因数”公式：a(bc)= abc（5）除法分配律：(a + b)c = ac + bc ac + bc=(a + b)c4、乘以 101，实际只要把这个两位数即可；乘 1001，实际只要把这个三位数即可；乘 10001，实际只要把这个四位数即可。这种巧算一定要分清是用几位数分别乘101，1001。确定是几位数一定要看相邻的1 之间夹有几个 0，0 的个数如果是 n，那么就是位数；出现 2 个 1 则连写遍，出现 3个 1 则连写遍，出现 n 个 1 则连写遍。ab101 =abc1001=abcd10001=ab10101 =abc1001001=abcd100010001=ab10

18、10101 =abc1001001001=abcd1000100010001=5、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来：6、 “头同尾合十” ：“尾同头合十” ：7、运用 337=平方差公式：8、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。公式：和=项数=公差=首项=末项（或者某一项）=奇数项的等差数列的和=奇数项的等差数列的中间项=9、1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1=二、用简便方法计算。25 64 62557 9925 8 125 499999+9999+999+940425 46+89+54 236+78-36 9998+998+

19、98+9学习必备欢迎下载999999+1999 4285 8485 254441000-95-94-93-92-91-9-8-7-6-5 1000-5-15-25-35-45-55-65-75-85-9545101 23303 40425 2540044231001 5121001 2561001 1023003999111+333667 99991111+33336667999222+333334 33336666+99997778三、除法的巧算1、除法交换律：abc=acb18002518 1900419 56004072、根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧

20、算。（两种做法）公式：如果ab=c则 (an)(bn)=c (an)(bn)=c n0学习必备欢迎下载2105 3540025 250001253、根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。公式：a(bc)= abc abc= a(bc)28056 1125125 36072 12002544、根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数的商再乘以第二个因数”公式：a(bc)= abc180（910） 250（52） 256（2564）5、除法分配律：ac + bc=(a + b)c注意：当除数相同被除数不相同时可以用，当被除数相同除数不同时，不可以用

21、。9113+3913 30037+7037 9825+27256、常错题273- （ 49+73 ）404 2538+41+43+37+3925 64 62599999+9999+999+9444666+3331120+2+4+6+1001+3+5+1011+2+3+9+10+9+3+2+1四、综合运用题1、 用“基准数加累计差”方法计算。28+31+29+33+30+27+33+3598+102+99+103+101+98+97+102学习必备欢迎下载2、 用“头同尾合十”的方法计算5258 3337 2822 77733、 用“尾同头合十”的方法计算2484 3676 1191 45654

22、、 用“平方差公式”解题642-362752-252582-422832-1725、 求首项是 5，公差是 3 的等差数列的前 21 项之和。6、已知等差数列 5、10、15。求这数列的第 25 项是多少？7、在等差数列中，首项为3，公差等于 2，末项是 201，这个等差数列共有多少项？8、在等差数列中，首项为5，公差等于 3，末项是 152，这个等差数列共有多少项？9、在等差数列中，公差等于2，项数等于 100，它的末项是 201，求首项是多少？学习必备欢迎下载10、在等差数列中，公差等于3，项数等于 50，它的末项是 152，求首项是多少？11、所有两位数的和是多少？12、在 5 和 17

23、 之间插入 5 个数，使这 7 个数构成一个等差数列。求出中间的一个数。四、应用题1、在一次同学聚会中，共有20 人参加，如果每两人之间都握手1 次，那么，这次聚会中一共握手多少次？2、时钟一点敲1 下，两点敲2 下，依次类推，十二点时敲12 下，半点时敲1 下。从1 点到10 点共敲多少下？一昼夜共敲多少下？3、把一堆苹果分给 10 个小朋友，要使每个人都能拿到苹果， 而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有多少个？4、小强学习英语单词，第一天记看10 个单词，以后每一天都比以前多记3 个，那么在一周中他总共记了多少个英语单词？学习必备欢迎下载5、7 个连续的整数和为 105，求

24、这 7 个数中最中间的数是多少？最大的数是多少？6、小刚看一本书，第一天看了3 页，以后每天比前一天多看2 页，10 天刚好看完，这本书总共多少页？五、提高题1、盒子里放有 1 只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1 只求拿出，变成 4 只球放回盒子里；第二次又从盒子里拿出 2 只球，将每只球各变成 4 只球后放回盒子里， 第十次从盒子里拿出 10 只球，将每只球各变成4 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只球？2、某班25 名学生的学号恰好是 25 个连续自然数，并且学号之和恰好是1000。求其中学号最小的学生是多少号？3、 一个堆木头有 7 层， 总共 77 根， 每一层比它的下一层少2

25、 根。 求最上面一层放了多少根？4、1+2+3+9+10+9+3+2+15、1+2+3+49+50+49+3+2+1学习必备欢迎下载6、 （1+3+5+99）（2+4+6+98）7、3451001001第二讲第二讲定义新运算定义新运算1、 例：规定 ab=(b+a)b，求(23)5。规定 ab=(b+a)b，求(32)7。2、 例：定义新运算“”如下：对于两个自然数a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 ab。 例如： 46= （4,6） +4,6=2+12=14.根据上面定义的运算， 1812 等于几？定义新运算“”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的和

26、记为 ab。例如：23=（2,3）+2,3=1+6=7.根据上面定义的运算，2718 等于几？3、 例：两个整数 a 和 b，a 除以 b 的余数记为 ab。例如，135=3.根据这样定义的运算，（269）4 等于几？两个整数 a 和 b，a 除以 b 的余数记为 ab。例如，185=3.根据这样定义的运算，（3213）4 等于几？4、 例：规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算， “”为选择两数中较小的数的运算，例如，35=5，35=3。请计算下式：(73) 55(37)规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如，25=5，26=2。请计算下式：(65)

27、 88(56)5、例：对于数a、b、c、d，规定，a、b、c、d=2ab-c+d。已知1，3，5，x=7，求x 的值。学习必备欢迎下载对于数 a、b、c、d，规定，a、b、c、d=2ab-c+d。已知2，5，7，x=24，求x 的值。6、 例：规定：62=6+66=72，23=2+22+222=246，14=1+11+111+1111=1234，求 75。规定：52=5+55=60，43=4+44+444=492，14=1+11+111+1111=1234，求 66。7、 例：如果用（a）表示 a 的所有约数的个数，例如（4）=3，那么（18） ）等于几？如果用（a）表示a 的所有约数的个数，

28、例如（4）=3，那么（24） ）等于几？8、 例：如果 ab 表示（a-2）b，例如 34=(3-2)4=4，那么当(a2)3=12 时，a等于几？如果 ab 表示（a-2）b，例如 34=(3-2)4=4，那么当(a3)6=42 时，a 等于几？9、 例：如果ab 表示(3a-2b)，例如45=34-25=2，那么，当 x5 比 5x 大 5 时，x 等于几？学习必备欢迎下载如果 ab 表示(3a-2b)，例如 45=34-25=2，那么，当 x5 比 5x 大 10 时，x等于几？10、例： 对于任意的两个自然数a 和 b，规定新运算“” ：ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(

29、a+b-1)。如果 x10=75，那么 x 等于几？对于任意的两个自然数 a 和 b，规定新运算“” ：ab=a(a+1)(a+2)(a+3)(a+b-1)。如果(x3)2=3660，那么 x 等于几？规定ab,ab=a(a+1)(a+2)(a+b-1),已知:(x4)2=600,求x?11、例：Q、P0,且 P#Q=（P+Q）/3则 2#（17#10）=？Q、P0,且 P#Q=（P+Q）/3则 3#（25#11）=？12、例：有一运算符号，使下列算式成立，48=16，106=26，610=22，1814=50，求 810？有一运算符合，使下列算式成立，24=2，104=26，610=8，18

30、14=40，求学习必备欢迎下载810？13、a,b表示两个数,规定新运算:ab=3a-2b,已知:4b=2,求b？a,b表示两个数规定新运算:ab=3a-2b,已知:x(41)=7,求x？14、小明在一张神秘的纸上看到四个奇怪的算式:22=92,77=57,59=7,92=68爷爷告诉他,这四个算式所用的运算符号与我们的相同,进位也是十进制,只是每个数字与我们的写法不同,按照这个写法,2+7+9等于几?第三讲：周期问题第三讲：周期问题基本概念：1、周期问题：一些数、图形和事物的变化往往是周而复始循环出现的，我们把具有这种规律的问题称为周期问题。例如每隔 7 天是一周， 每隔 12 个月是一年，

31、每隔 24 小时是一昼夜等。2、周期问题中的周期：周期是一个数。如每个星期是 7 天，即时间是 7 天一循环，则说周期是 7；每年有 12 个月，即时间是 12 个月一循环，则说周期是 12。在循环小数中，循环节数字的位数，即为循环的周期。3、解决周期问题的方法：首先要发现问题的周期性和确定周期，然后用画图、列举、计算等方法解决有关问题。4、解决周期问题的基本方法：利用余数建立一个周期内序号与研究对象的对应关系表。如有一串珠子按 2 粒白珠、3 粒黑珠依次用线串出来，第 48 粒珠是什么颜色的。可知周期是 5，一个数除以 5 所得于是可能是 1、2、3、4、0（正好能整除也可看作余数是 0）

32、，可以建立这样一个对应关系表：余数12340对应珠子颜色白白黑黑黑用 485=93，由此表可知余数 3 对应的是黑珠，即第 48 粒珠子是黑色。5、周期是1 的有：1 、5 、6 、10 ,周期是 2 的有：4 、9 。周期是 4 的有：2 、3n、7、8。2n的末尾数字是以2 2、4 4、8 8、6 6 这四个数字循环出现；8 的末尾数字是以 8 8、4 4、2 2、6 6 这四个数字循环出现；3 的末尾数字是以 3 3、9 9、7 7、1 1 这四个数字循环出现；7 的末尾数字是以 7 7、9 9、3 3、1 1 这四个数字循环出现；nnnnnnnnnnnn学习必备欢迎下载4 的末尾数字是

33、以 4 4、 6 6 这二个数字循环出现； 9 的末尾数字是以 9 9、 1 1 这二个数字循环出现。nn一、一、仔细读题，认真填空。仔细读题，认真填空。1、在括号里填上适当的素数。16（）（）（）（）36（）（）（）（）（）（）（）（）2、按规律填数。2、3、5、7、11、13、17、 （） 、231、4、9、16、25、 （） 、491、2、6、24、 （） 、7203、按照规律在括号里画出每组的第63 个图形。（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）4、按照规律填空。（1）前30 个图形中，有（）个，有（）个。（2）前28 个图形中，有（）个，有（）个。（3）前 73 个图形中

34、，有（）个，有（）个，有（）个。（4）前 54 个图形中，有（）个，有（）个，有（）个。（5）这一组图形中一共画了24 个“” ，那么“”可能有（）个。二、自主探索，解决问题。二、自主探索，解决问题。1、字母 ABCDEFABCDEF按照这样排下去，第47 个字母是什么？2、算式 99999 是 98 个 9 相乘，请问积的个位数字是几？学习必备欢迎下载3、有一些汉字和字母组成如下排列：香江花城小学香江花城小学ABCDABCDABCD请问第 35 列的汉字和字母各是什么？第74 列呢？4、我国民间通常用 12 种动物（十二生肖）来表示不同的年份。它们排列顺序如下：鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪198

35、2 年是狗年，请问 2002 年是什么年？5、2006 年 5 月 1 日是星期一，请问 2006 年的儿童节是星期几？教师节呢？6、199219921992 共 2010 个 1992 连写成一串数，用它去除以7，余数是多少？7、紧接着 1998 后面写一串数字，要求是：写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。等到一串数字： 199826224。这串数字从1 开始往右数，第 2010 个数字是几？前100 项之和是多少？第四讲：第四讲：数码问题数码问题页码问题和周期问题有点相似， 每个数字代表一个页码， 一位数是 1 个页码，两位数是 2 个页码，同理三位数 3 个页码。19 共有

36、 9 个页码，1099 共有290=180 个页码，100999 共有 3900=2700 个页码，同理 10009999 共有 49000=36000 个页码1、 有一串数字,任何相邻的4个数码之和都是20,从左往右起第105,1043,128个数码分别是4,3,9,求第2个数码。2、 有一串数字9213从第3个数码起每一个数码都是前面2个数码的和的个位数。问:第100个数码是几?前100个数码之和是多少?3、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了4253个数码,问:n是什么数?学习必备欢迎下载4、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了5293个数码,问:n是什么数?5、 按自然数的顺序从1写到

37、n,总共用了6093个数码,问:n是什么数?6、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了6293个数码,问:n是什么数?7、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了7293个数码,问:n是什么数?8、 将自然数从小到大无间隔地排列起来,得到一串数码123456789101112131415这串数码中从左起第4001个数码是几?9、 排印一本 1665 页的书的页码,共需要多少个数码?10、排印一本 2200 页的书的页码,共需要多少个数码?11、一本书的页码由5541个数码组成,这本书共有多少页?12、从1开始将自然数写出来：12345678910111213从左向右数，数到第12个数字起将开始第一次

38、出现三个连续的1，数到第（）个数字起将开始第一次出现五个连续的6第五讲第五讲和差问题和差问题一、基本概念和差问题的基本模式是：已知两个数的和与差，已知两个数的和与差，求这两个数求这两个数。对于一般的和差问题应用题，直接根据公式求解；复杂的和差问题，可以根据题目的条件通过画线段图画线段图的方法找出隐藏的“和”与“差” ，再用公式求解。公式： （和（和+ +差）差）2=2=大数大数（和（和- -差）差）2=2=小数小数实际上，求出其中一个数后，另一个数也可以这样求得：大数大数= =小数小数+ +差，差，小数小数= =大数大数- -差差大数大数= =和和- -小数，小数，小数小数= =和和- -大数

39、大数二、基本题型学习必备欢迎下载1、甲、乙两人共有图书106 本，甲比乙多 24 本， 问甲乙各有图书多少本？2、教师和学生共有 176 人，学生比教师多 24 人。那么教师有多少人？学生有多少人？3、 果园里有桃树和梨树共178 棵， 桃树比梨树多 70 棵。 那么果园中桃树、 梨树各有多少棵？4、甲与乙的年龄和是 38 岁，甲比乙大 4 岁，求甲与乙今年各多少岁？5、两个连续的自然数的和是51，它们的积是多少？6、 从小到大的连续 8 个自然数， 如果最小的数与最大的数之和是77， 那么最小的数是多少？7、小明比小红多 65 本书，小明要给小红多少本书，才能使小明的书比小红多3 本？8、在

40、一个减法算式里，被减数、减数与差三个数的和为296，减数比差大 30，则减数是多少？9、在一个减法算式里， 被减数、 减数与差三个数的和 388， 减数比差大 16，则减数是多少？学习必备欢迎下载三、复杂题型1、两筐橘子共重80 千克，如果从第一筐中取出5 千克放入第二筐后，两筐的重量相等，两筐橘子原来各多少千克？2、两筐橘子共重 80 千克，如果从第一筐中取出 5 千克放入第二筐后，第一筐比第二筐还重2 千克，两筐橘子原来各多少千克？3、甲、乙两辆汽车共载客83 人，若甲车增加 6 人，乙车减少 7 人，这时两车乘客同样多，求两辆汽车原来分别有乘客多少人？4、 无线电一厂、 二厂共有工人 4

41、32 人， 为了照顾工人就近上班， 从一厂调入二厂 16 名工人，这样一厂工人还比二厂多24 人，一厂、二厂原来各有工人多少人？5、小李用272 元买了一件上衣、一顶帽子和一双鞋子。上衣比鞋子贵60 元，鞋子比帽子贵70 元。求上衣、鞋子和帽子各多少钱？第六讲：第六讲： 倍数问题倍数问题一、基本概念：倍数问题分为和倍问题和倍问题和差倍问题差倍问题， 和倍问题是指已知两数的和以及两数的倍数，求这两个数。差倍问题是指已知两数的差以及两数的倍数，求这两个数。此题关键点是一定要正确找出和、差所对应的份数，并且一定要画图。一定要正确找出和、差所对应的份数，并且一定要画图。公式：和（倍数和（倍数+1+1）

42、=1=1 份量份量差（倍数差（倍数1 1）=1=1 份量份量（一）和倍问题和倍问题应用题中有两个主人翁，一个是大数，一个是小数。要求这大小2学习必备欢迎下载个数分别是多少。一定要找出和、倍数。利用公式求得最小数公式：和（倍数+1）=1 份量（小数） 1 份量（小数）倍数=大数和-小数=大数直接告诉和，以及和所对应的倍数，求大小数。直接告诉和，以及和所对应的倍数，求大小数。1、哥哥和弟弟共有图书 120 本，哥哥的图书本数是弟弟的3 倍，哥哥、弟弟分别有多少本图书？2、甲、乙二人共有 126 张邮票，甲的邮票数量是乙的两倍，那么甲有邮票多少张，乙有邮票多少张？不告诉倍数，但告诉你“被除数个位的不

43、告诉倍数，但告诉你“被除数个位的 0 0 去掉与除数相等”去掉与除数相等” ，实际上就告诉你，实际上就告诉你被除数是除数的被除数是除数的 1010 倍。倍。例：被除数与除数的和是 121，被除数个位的 0 去掉后与除数相等，求被除数是多少？不告诉和，要你先求出和，告诉大数是小数的几倍，多几只或少几只，那么不告诉和，要你先求出和，告诉大数是小数的几倍，多几只或少几只，那么就用公式：就用公式：（和（和- -多数）（倍数多数）（倍数+1+1）= =小数小数（和（和+ +少数）（倍数少数）（倍数+1+1）= =小数小数虽然告诉和，但并不是倍数所对应的和，故要求出真正的和。虽然告诉和，但并不是倍数所对应

44、的和，故要求出真正的和。1、一个长方形，周长是30cm，长是宽的 2 倍，求长、宽？2、甲、乙从相距90 千米的两地相向而行，3 小时相遇，甲速度是乙速度的2 倍，求甲、乙速度？3、两个数相除，商 3 余 10，被除数、除数、商、余数的和是163，你知道被除数和除数分学习必备欢迎下载别是多少吗？4、高一（3）班买了4 个足球和 2 个篮球，共用去162 元。每个足球比每个篮球贵3 元，问每个足球和每个篮球的价格分别多少钱？5、两个粮仓共存粮2200 千克，由乙仓运出210 千克。甲仓库的粮食是乙仓库的2 倍少 380千克，甲仓库原来存粮食多少千克，乙仓库原来存粮食多少千克？6、 甲、 乙共有图

45、书 200 本， 甲的图书数量比乙的图书数量的2 倍还多 20 本， 则甲有多少本？7、师徒俩人共生产零件 175 个，师傅生产的个数比徒弟的3 倍少 5 个，师徒俩人各生产多少个零件？有一种类型题，不管大数给小数多少，还是小数给大数多少，和都不变。有一种类型题，不管大数给小数多少，还是小数给大数多少，和都不变。1、 弟弟有图书 30 本， 哥哥有图书 90 本， 哥哥给弟弟多少本后， 哥哥的图书是弟弟的 2 倍？2、过年拿压岁钱，姐姐拿了320 元，弟弟拿了 180 元，弟弟如果给姐姐多少钱，姐姐的钱就比弟弟的钱多 3 倍？学习必备欢迎下载主人翁有三个，大中小三个数，只告诉三个数的和。主人翁

46、有三个，大中小三个数，只告诉三个数的和。和（大倍数和（大倍数+ +中倍数中倍数+1+1）= =小数小数1、小区修缮三条道路，三条路共长220 米，第二条路是第一条路的3 倍，第三条路是第二条路长的 2 倍，求第一条路长多少米？2、三个植树队共植树 1800 棵，甲队植树的棵树是乙队的 2 倍，乙队植树的棵树比丙队少200 棵，三队各植树多少棵？3、甲乙丙三个数的和是 120，其中甲、乙两个数的和是丙的3 倍，甲比乙多 10。三个数各是多少？（二）差倍问题（二）差倍问题差倍应用题中也有两个主人翁，大数和小数，它只告诉大数和小数的差和差倍应用题中也有两个主人翁，大数和小数，它只告诉大数和小数的差和

47、倍数，求大数和小数。关键找出差所对应的倍数和倍数所对应的差。倍数，求大数和小数。关键找出差所对应的倍数和倍数所对应的差。公式：差（倍数差（倍数-1-1）= =小数小数小数小数+ +差差= =大数大数小数倍数小数倍数= =大数大数 告诉差及差所对应的倍数，利用公式求解。告诉差及差所对应的倍数，利用公式求解。1、一些同学参加课外合唱小组， 女生比男生多 18 人，并且女生人数是男生的3 倍，合唱小组中有男生多少人，女生多少人？学习必备欢迎下载2、甲、 乙两个兴趣小组各有成员若干，甲小组比乙小组少40 人，乙小组人数是甲小组人数的 3 倍，那么甲小组有成员多少人，乙小组有成员多少人？不告诉差，需要找

48、出倍数所对应的差不告诉差，需要找出倍数所对应的差公式：公式： （差（差- -多数）（倍数多数）（倍数-1-1）= =小数小数（差（差+ +少数）（倍数少数）（倍数-1-1）= =小数小数1、暑假里，哥哥做的数学题比弟弟多180 道，哥哥做的数学题是弟弟的4 倍多 9 道。两人各做多少道数学题？2、参加学校课外舞蹈小组的同学，女生比男生多45 人，女生比男生的 4 倍少 15 人，男、女生各有多少人？3、水果店有重量相等的苹果和梨子各一筐，苹果卖出60 千克，梨子又放入 40 千克，结果梨子的重量是苹果的 3 倍。原来苹果、梨子各有多少千克？4、小明有书和光碟若干， 光碟的数量比书的数量的3 倍少 5 盘，比书的数量的 2 倍多 3 盘，那么小明有光碟多少盘？5、有两个容器，一个容器中的水是另一个容器中水的2 倍，如果从每个容器中都倒出9 升水， 那么一个容器中的水是另一个容器中水的3 倍。 有较少水的容器原有水多少升？有较多水的容器原有水多少升？学习必备欢迎下载主人翁是三位，有大数、中数、小数。主人翁是三位，有大数、中数、小数。1、有三堆棋子，第二堆比第一堆的2 倍还多 6 个，第三堆比第一堆的 3 倍少 2 个。第二、三堆棋子数相等，那么第一堆有多少个棋子？2、一天，甲、乙、丙三人去郊外钓鱼，甲比乙多钓6 条，丙钓的鱼是甲的 2 倍，比乙多钓22 条。他们三人一共钓了多少条鱼？