小学四年级奥数讲义.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date小学四年级奥数讲义小学四年级奥数讲义小学四年级奥数讲义需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律： a+b =b+a 加法结合律： a+b+c=a+(b+c) 减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。即 a-b-c=a-(b+c) a-(b+c) =a-b-c （2）在加、减

2、混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。如： a-b+c=a+c-b （3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“”号，那么括号里“”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。如 a-(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c 如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。2、乘法中的巧算：乘法交换律： ab=ba 乘法结合律： (ab)c=a(bc) 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc 、 (a-b)c=ac-bc 3、除法中的巧算：（1）除法交换律：abc=acb

3、（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。公式：如果 ab=c 则 (an)(bn)=c (an)(bn)=c n0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。公式：a(bc)= abc （4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”公式：a(bc)= abc （5）除法分配律：(a + b)c = ac + bc ac + bc=(a + b)c4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 25=10 425=100 8125=1000 16625=10000 337=111 71113=100

4、1 370373=10101 5、“头同尾合十”：头（头+1）100+尾尾“尾同头合十”：（头头+尾）100+尾尾6、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) 7、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。公式：和= （首项+末项）项数2 项数= （末项-首项）公差+1 首项=末项-公差（项数-1） 末项（或者某一项）= 首项+公差（项数-1）公差= （末项-首项）（项数-1） 奇数项的等差数列的和= 中间项项数 奇数项的等差数列的中间项= 和项数 = （首项+末项）28、1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1= nn 9、数字找规律

5、的基本方法：1、首先观察数列是从小往大排还是从大往小排。2、后一项比前一项多几或者少几。3、后一项是前一项的倍数或者前一项是后一项的倍数。4、相邻两项的差依次是个等差数列。5、每一项都是项数乘以项数。6、前两项的和等于后一项或者前三项的和等于后一项。（裴波拉契数列）7、前两项的积或商等于后一项。8、把数列分组看。9、跳着看。（奇数项与奇数项，偶数项与偶数项成规律）10、图形找规律的基本方法：1、 从图形的数量变化上来考虑。2、 从图形的对称来考虑。3、 从图形的种类和位置变化上来考虑。4、 把大、小图形分开考虑。11、图形计数的基本方法：1、 数线段、数角、数三角形的总个数，往往就用基本图形的

6、个数，依次加上比前一项少1的自然数，直到1。或者用基本图形的个数（个数+1）=n(n+1)2、 遇到稍微复杂的图形，可先把图分类成几个部分，数出各部分包含图形的个数后，再求出图形的总和。3、 数“金字塔”式的三角形不仅要考虑单个的小三角形，还要考虑由单个三角形组成的新三角形。从边长1，2，3去分类比较数，计数时先分层再平移计算就不会少数。4、 长方形的个数可以这样算：长边的线段数宽边的线段数=长方形的个数5、 正方形的个数可以这样算：11+22+33+(n-1)(n-1)+nn(n为正方形各边的基本线段数)6、 正方体的个数可以这样算：111+222+333+nnn(n为正方体各边的基本线段数

7、)7、 由正方体组成的立体图形，可以从上往下一层一层的算，最后把每层的个数加起来。12、长方形的周长=（长+宽）2 =（a+b）2 长=周长2-宽 宽=周长2-长正方形的周长=边长4=a4 正方形的边长=周长413、自然数的个位数字是有规律的，an 末位数字规律是：当a的末位是0、1、5、6时，an的末位数字与a相同，不随n 的变化而变化。当a的末位是2、3、7、8时，an的末位数字都分别以4个不同的数循环出现，周期是4。当a的末位是2时，周期是4，以2、4、8、6循环出现；当a的末位是8时，周期是4，以8、4、2、6循环出现；当a的末位是3时，周期是4，以3、9、7、1循环出现；当a的末位是

8、7时，周期是4，以7、9、3、1循环出现。当a的末位是4和9时，an的末位数字都分别以2个不同的数循环出现，周期是2。当a的末位是4时，周期是2，以4、6循环出现；当a的末位是9时，周期是2，以9、1循环出现。第一讲 速算与巧算1、 接近整十、整百、整千的数看成所接近的数进行简算。例题：2548+503 574+798根据“和”的变化规律，即一个加数增加多少，另一个加数反而减少同样的数，和不变。根据“被减数和减数同时增加或减少同一个数，差不变”的规律。例题：956-597 3475-3082、 两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千、整万等，就把其中的一个数叫做另一个数的补数，为计算简便，可

9、以先把两个互为补数的数先凑成整十或整百的数，然后再与别的加数相加求和。例题：783+25+175 2803+（2178+5497）+47223、 连续几个数相加，它们都接近同一个基准数，利用基准数计算。例题：93+95+98+96+88+89+87+91+93+91 =9010+（3+5+8+6-2-1-3+1+3+1） 995+996+997+998+999第一种：=10005-（5+4+3+2+1）第二种：=9975 （此种方法利用“移多补少”变成5个997）4、 几个数相加，每个数都接近不同的整十、整百、整千例：9999+999+99+9=10000+1000+100+10-45、 几个

10、数相加减，算式中含有括号，利用去括号。如算式中有两项互补，可加括号。例： 1654-（54+78） 2937-493-2076、 当数字特别巨大，而被减数和减数的前几位相同时，可去掉相同的这几位数。例题：657897-657323+297=897-323+2977、 用“移位凑整”来速算例：1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9=1000-(91+9)+(92+8)+(93+7)+(99+1)=1000-10098、“取中间数相乘”，当连续相加的个数为单数个时，我们可以取中间数乘以加数的个数来进行巧算，这个连续数必须是等差数列。例题：

11、1+3+5+7+9=55 2+6+10+14+18=10590+93+96+99+102+105+108=9、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。公式：和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1公差=（末项-首项）（项数-1） 首项=末项-公差（项数-1）末项=首项+公差（项数-1）例题： 2+4+6+100 1+3+5+5710、利用乘法公式凑整25=10 45=20 425=100 8125=1000 16625=100002564625 2581254 11、“头同尾合十” ：头（头+1）100+尾尾对于一个两位数乘以两位数，如

12、果十位数相同，个位数加起来等于十，就是“头同尾合十”。则结果为尾数相乘的积作后两位数，如果积不满十，十位上要补写0，把十位数乘以本身加1的积作为前两位数。例：6367=（67）（37）=4221 8585=（89）（55）=7225计算：4347 2822 3436 717912、“尾同头合十”：（头头+尾）100+尾尾对于两位数乘以两位数，如果个位相同，十位上的数加起来等于10，就是“尾同头合十”，则结果为：将十位上的数字相乘加上个位上的数后扩大100倍，再加上个位数乘以个位数的积。例：6343=（64+3）100+33=2709计算：2787 1393 4666 892913、添0折半法4

13、285=428210=2140 84825=8484100=21200计算：3245 8325 56425 3442514、两位数、三位数乘以11的方法：头做积的头，尾做积的尾，头尾相加（或三位数的前两位数与后两位数之和）做积的中间数，如果满10或满100要向前一位进“1”例：3811=3（3+8）8=418 33911=3（33+39）9=3729472611=4（4+7）(7+2)(2+6)6=51986计算：1311 2311 6711 5671115、某数乘以99或999有规律可循。规律为：二位数乘以99的几位（这两位数-1）放在千、百位上，十、个位数为这两位数的补数，如果是乘以999

14、，则在中间添加一个9，如果是9999，则添加二个9。4599=（45-1）（100-45）=445538999=（38-1）9（100-38）=37962计算：2399 6799 64999 2399916、用“平方差公式”解题 a2-b2=(a+b)(a-b) 642-362 752-252 582-422 832-172 17、1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1= nn 速算与巧算复习一、基本概念1、加法中的巧算：加法交换律： 加法结合律： 减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。即

15、（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。如： （3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“”号，那么括号里“”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。如 如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。“基准数加累计差”法：几个相近的数相加，可以选择其中一个数，最好是 的数为“基准数”，再找出每个加数与“基准数”的 ，大于“基准数”的差做加数，小于“基准数”的差做减数，把这些差累计起来，再加上“基准数”与加数个数的乘积就可以得到结果。2、乘法中的巧算：乘法交换律：

16、乘法结合律： 乘法分配律： 、 3、除法中的巧算：（1）除法交换律：abc=acb（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。公式：如果 ab=c 则 (an)(bn)=c (an)(bn)=c n0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。公式：a(bc)= abc （4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”公式：a(bc)= abc （5）除法分配律：(a + b)c = ac + bc ac + bc=(a + b)c4、 乘以101，实际只要把这个两位数 即可； 乘1001，实际只要

17、把这个三位数 即可； 乘10001，实际只要把这个四位数 即可。这种巧算一定要分清是用几位数分别乘101，1001。确定是几位数一定要看相邻的1之间夹有几个0，0的个数如果是n，那么就是 位数；出现2个1则连写 遍，出现3个1则连写 遍，出现n个1则连写 遍。ab101 = abc1001= abcd10001= ab10101 = abc1001001= abcd100010001= ab1010101 = abc1001001001= abcd1000100010001= 5、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 6、“头同尾合十”： “尾同头合十”： 7、运用337= 平方差公式： 8

18、、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从乘法的意义来理解。公式：和= 项数= 公差= 首项= 末项（或者某一项）= 奇数项的等差数列的和= 奇数项的等差数列的中间项= 9、1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1= 二、用简便方法计算。2564625 5799 2581254 99999+9999+999+940425 46+89+54 236+78-36 9998+998+98+9 999999+1999 4285 8485 25444 1000-95-94-93-92-91-9-8-7-6-5 1000-5-15-25-35-45-55-65-75-8

19、5-9545101 23303 40425 254004 4231001 5121001 2561001 1023003999111+333667 99991111+33336667 999222+333334 33336666+99997778三、除法的巧算1、除法交换律：abc=acb18002518 1900419 56004072、根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。（两种做法）公式：如果 ab=c 则 (an)(bn)=c (an)(bn)=c n02105 3540025 250001253、根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数

20、”的规律，进行巧算。 公式：a(bc)= abc abc= a(bc) 28056 1125125 36072 1200254 4、根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数的商再乘以第二个因数”公式：a(bc)= abc 180（910） 250（52） 256（2564）5、除法分配律：ac + bc=(a + b)c注意：当除数相同被除数不相同时可以用，当被除数相同除数不同时，不可以用。9113+3913 30037+7037 9825+2725 6、常错题273-（49+73） 40425 38+41+43+37+39 2564625 99999+9999+999+94446

21、66+333112 0+2+4+6+100 1+3+5+101 1+2+3+9+10+9+3+2+1四、综合运用题1、 用“基准数加累计差”方法计算。28+31+29+33+30+27+33+35 98+102+99+103+101+98+97+102 2、 用“头同尾合十”的方法计算5258 3337 2822 77733、 用“尾同头合十”的方法计算2484 3676 1191 45654、 用“平方差公式”解题642-362 752-252 582-422 832-172 5、 求首项是5，公差是3的等差数列的前21项之和。6、已知等差数列5、10、15。求这数列的第25项是多少？7、在

22、等差数列中，首项为3，公差等于2，末项是201，这个等差数列共有多少项？8、在等差数列中，首项为5，公差等于3，末项是152，这个等差数列共有多少项？9、在等差数列中，公差等于2，项数等于100，它的末项是201，求首项是多少？10、在等差数列中，公差等于3，项数等于50，它的末项是152，求首项是多少？11、所有两位数的和是多少？12、在5和17之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。求出中间的一个数。四、应用题1、在一次同学聚会中，共有20人参加，如果每两人之间都握手1次，那么，这次聚会中一共握手多少次？2、时钟一点敲1下，两点敲2下，依次类推，十二点时敲12下，半点时敲1下。从1点到

23、10点共敲多少下？一昼夜共敲多少下？3、把一堆苹果分给10个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有多少个？4、小强学习英语单词，第一天记看10个单词，以后每一天都比以前多记3个，那么在一周中他总共记了多少个英语单词？5、7个连续的整数和为105，求这7个数中最中间的数是多少？最大的数是多少？6、小刚看一本书，第一天看了3页，以后每天比前一天多看2页，10天刚好看完，这本书总共多少页？五、提高题1、盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1只求拿出，变成4只球放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成4只球后放回盒子里，第十次从盒子

24、里拿出10只球，将每只球各变成4只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只球？2、某班25名学生的学号恰好是25个连续自然数，并且学号之和恰好是1000。求其中学号最小的学生是多少号？3、一个堆木头有7层，总共77根，每一层比它的下一层少2根。求最上面一层放了多少根？4、1+2+3+9+10+9+3+2+1 5、1+2+3+49+50+49+3+2+16、（1+3+5+99）（2+4+6+98） 7、3451001001第二讲 定义新运算1、 例：规定ab=(b+a)b，求(23)5。规定ab=(b+a)b，求(32)7。2、 例：定义新运算“”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小

25、公倍数的和记为ab。例如：46=（4,6）+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算，1812等于几？定义新运算“”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab。例如：23=（2,3）+2,3=1+6=7.根据上面定义的运算，2718等于几？3、 例：两个整数a和b，a除以b的余数记为ab。例如，135=3.根据这样定义的运算，（269）4等于几？两个整数a和b，a除以b的余数记为ab。例如，185=3.根据这样定义的运算，（3213）4等于几？4、 例：规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如，35=5，35=3。请计算下式：(

26、73) 55(37)规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如，25=5，26=2。请计算下式：(65) 88(56)5、例：对于数a、b、c、d，规定，a、b、c、d=2ab-c+d。已知1，3，5，x=7，求x的值。对于数a、b、c、d，规定，a、b、c、d=2ab-c+d。已知2，5，7，x=24，求x的值。6、 例：规定：62=6+66=72，23=2+22+222=246，14=1+11+111+1111=1234，求75。规定：52=5+55=60，43=4+44+444=492，14=1+11+111+1111=1234，求66。7、 例：如果

27、用（a）表示a的所有约数的个数，例如（4）=3，那么（18）等于几？如果用（a）表示a的所有约数的个数，例如（4）=3，那么（24）等于几？8、 例：如果 ab表示（a-2）b，例如34=(3-2)4=4，那么当(a2)3=12时，a等于几？如果 ab表示（a-2）b，例如34=(3-2)4=4，那么当(a3)6=42时，a等于几？9、 例：如果ab表示(3a-2b)，例如45=34-25=2，那么，当 x5比5x大5时，x等于几？如果ab表示(3a-2b)，例如45=34-25=2，那么，当 x5比5x大10时，x等于几？10、例： 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“”：ab=a+(a

28、+1)+(a+2)+(a+3)+(a+b-1)。如果x10=75，那么x等于几？对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“”：ab=a(a+1)(a+2)(a+3)(a+b-1)。如果(x3)2=3660，那么x等于几？规定ab,ab=a(a+1)(a+2)(a+b-1),已知:(x4)2=600,求x?11、例：Q、P0,且P#Q=（P+Q）/3 则 2#（17#10）=？Q、P0,且P#Q=（P+Q）/3 则 3#（25#11）=？12、例：有一运算符号，使下列算式成立，48=16，106=26，610=22，1814=50，求810？有一运算符合，使下列算式成立，24=2，104=26，6

29、10=8，1814=40，求810？13、a,b表示两个数,规定新运算:ab=3a-2b,已知:4b=2,求b？a,b表示两个数规定新运算:ab=3a-2b,已知:x(41)=7,求x？14、小明在一张神秘的纸上看到四个奇怪的算式:22=92,77=57,59=7,92=68爷爷告诉他,这四个算式所用的运算符号与我们的相同,进位也是十进制,只是每个数字与我们的写法不同,按照这个写法,2+7+9等于几?第三讲：周期问题基本概念：1、周期问题：一些数、图形和事物的变化往往是周而复始循环出现的，我们把具有这种规律的问题称为周期问题。例如每隔7天是一周，每隔12个月是一年，每隔24小时是一昼夜等。2、

30、周期问题中的周期：周期是一个数。如每个星期是7天，即时间是7天一循环，则说周期是7；每年有12个月，即时间是12个月一循环，则说周期是12。在循环小数中，循环节数字的位数，即为循环的周期。3、解决周期问题的方法：首先要发现问题的周期性和确定周期，然后用画图、列举、计算等方法解决有关问题。4、解决周期问题的基本方法：利用余数建立一个周期内序号与研究对象的对应关系表。如有一串珠子按2粒白珠、3粒黑珠依次用线串出来，第48粒珠是什么颜色的。可知周期是5，一个数除以5所得于是可能是1、2、3、4、0（正好能整除也可看作余数是0），可以建立这样一个对应关系表：余数12340对应珠子颜色白白黑黑黑用485

31、=93，由此表可知余数3对应的是黑珠，即第48粒珠子是黑色。5、周期是1的有：1n、5n、6n、10n,周期是2的有：4n、9n。周期是4的有：2n 、3n 、7n、8n。2n的末尾数字是以2、4、8、6这四个数字循环出现；8n的末尾数字是以8、4、2、6这四个数字循环出现；3n的末尾数字是以3、9、7、1这四个数字循环出现；7n的末尾数字是以7、9、3、1这四个数字循环出现；4n的末尾数字是以4、6这二个数字循环出现；9n的末尾数字是以9、1这二个数字循环出现。一、 仔细读题，认真填空。1、在括号里填上适当的素数。16（ ）（ ）（ ）（ ）36（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（

32、）2、按规律填数。2、3、5、7、11、13、17、（）、231、4、9、16、25、（）、491、2、6、24、（）、7203、按照规律在括号里画出每组的第63个图形。（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）4、按照规律填空。（1）前30个图形中，有（）个，有（）个。（2）前28个图形中，有（）个，有（）个。（3）前73个图形中，有（）个，有（）个，有（）个。（4）前54个图形中，有（）个，有（）个，有（）个。（5）这一组图形中一共画了24个“”，那么“”可能有（ ）个。 二、自主探索，解决问题。1、字母ABCDEFABCDEF按照这样排下去，第47个字母是什么？2、算式99999

33、是98个9相乘，请问积的个位数字是几？3、有一些汉字和字母组成如下排列：香江花城小学香江花城小学ABCDABCDABCD请问第35列的汉字和字母各是什么？第74列呢？4、我国民间通常用12种动物（十二生肖）来表示不同的年份。它们排列顺序如下：鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪1982年是狗年，请问2002年是什么年？5、2006年5月1日是星期一，请问2006年的儿童节是星期几？教师节呢？6、199219921992共2010个1992连写成一串数，用它去除以7，余数是多少？7、紧接着1998后面写一串数字，要求是：写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。等到一串数字：199826224。这串

34、数字从1开始往右数，第2010个数字是几？前100项之和是多少？第四讲： 数码问题页码问题和周期问题有点相似，每个数字代表一个页码，一位数是1个页码，两位数是2个页码，同理三位数3个页码。19共有9个页码，1099共有290=180个页码，100999共有3900=2700个页码，同理10009999共有49000=36000个页码1、有一串数字,任何相邻的4个数码之和都是20,从左往右起第105,1043,128个数码分别是4,3,9,求第2个数码。2、 有一串数字9213从第3个数码起每一个数码都是前面2个数码的和的个位数。问:第100个数码是几?前100个数码之和是多少? 3、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了4253个数码,问:n是什么数?4、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了5293个数码,问:n是什么数?5、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了6093个数码,问:n是什么数?6、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了6293个数码,问:n是什么数?7、 按自然数的顺序从1写到n,总共用了7293个数码,问:n是什么数?8、 将自然数从