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1、,物理学专业必修课程,数学物理方法,Mathematical Method in Physics,西北师范大学物理与电子工程学院,第四章 Laplace方程的 Dirichlat问题,极坐标系下分离变量法,前面讨论的热传导方程现象和扩散现象，都是随着时间的变化的，有一种特殊情况，而它们已经处于稳定状态，或者变化相当小，以致可以看成与时间无关，这时，,引 言,对于稳定的二维或三维热传导方程或扩散方程有,或,4.1 Laplace方程及其边值问题,称为Laplace方程或调和方程.,或,（二维）,（三维）,一、Laplace方程用来描述稳定场过程,调和函数：如果一个函数u在某个区域D内 连续，且满
2、足Laplace方程，则称该函数是D内的调和函数，或该函数u在D内调和。,1.稳恒温度（浓度）分布,2.无源无旋的静电场,或,3.无源无旋的稳定流场（稳恒流场）,平衡的均匀薄膜的微小横振动(均匀 薄膜的微小横振动),平衡时,Laplace方程以及边值问题在物理学中具有重要的地位，如在电动力学中。,二、Laplace方程（ ）在不同的坐 标系下的形式,1.直角坐标系下, 关于z轴对称（柱对称）,（平面情况）,2.平面极坐标系下的Laplace方程,(方法一：顺推法 ),(方法二：逆推法见P98),说明：圆对称坐标下,（u关于圆点对称，即u不依赖于 ),或,3.球坐标系下,4.柱坐标系下,5.其它
3、正交曲线坐标系,三、Laplace方程的基本解,Laplace方程在特殊的对称情况下的解称为Laplace方程的基本解。在求解任意情形下Laplace方程解其具有重要意义，主要根据圆对称解和球对称解。,或,1.圆对称解,平面情况下：,在极坐标系下的方程为：,圆对称，说明u与 无关，仅由r 确定, 故方程变为：,即:,2.球对称解,球坐标系下Laplace方程,的解为:,球对称，u仅对r有关，与 无关。,物理意义：故在坐标原点点电荷所产生 电场的电势,得到：,1.第一类边值问题 Dirichlat问题 2. 第二类边值问题（Newmann问题）,（区域D内，S为D的边界）,(S为D的边界),(区
4、域D内),(S为D的边界),(区域D内),3.第三类边值问题（Rnkin问题）,内问题：定解问题要求在区域D内部求 解.外问题：定解问题要求在区域D外 部求解.求解方法：分离变量法、Green函数法.,4.2 Laplace方程圆的Dirichlet问题 -极坐标系下的分离变量法,一.定解问题,其中: 为已知函数，且有,对应物理模型：,一半径为的无限长圆柱，对称轴为z轴，假设在柱的表面上温度不随时间而改变，则过一段时间后，在圆柱的每一点处，温度边界稳定下来而与t无关。再没热的传导与z坐标无关，这时间内的温度函数 满足 .,可看作圆柱的任一叠面上的温度分布，圆形区域-用极坐标方便，圆盘内的Lap
5、lace方程：半径为 的薄圆盘（只有恒定热性质无热源圆盘在边界上有指定的温度）,二.求解（分离变量法）,1.分离变量法,设原方程有如下形式分离变量解,带入方程有,即,其中,为常数，,2.求解本征值问题,从而得到两个常微分方程,3.特解，一般解,4.确定系数,三. 分析解答 1.适定性; 2.解的物理意义;,例1.求解下列问题:,(其中A为已知常数),4.3 Poisson方程第一边值问题的解法 -观察法（试探法）,例：求解,解：1. 观察特解,2. 代为Laplace方程第一边值问题,令,则振动方程为：,经检验,就是,的解，,得,4.4,函数,一.函数的引入,1.物理背景,（1）金属线段,总质量为1，集中 在 处，则密度：,在物理上不少，如点电荷、点热源等，以及物理上集中的量，再如单位电荷：,满足以上关系的量,物理上的抽象模型：质点、点电荷、瞬时量等.,2.定义:,函数,二、函数的性质,对一个连续函数 有:,1.,或,令,则,其中,2.,为偶函数.,3.,其中 称为亥维赛函数，阶跃函数,例：,