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1、,物理学专业必修课程,数学物理方法,Mathematical Method in Physics,西北师范大学物理与电子工程学院,第九章 Bessel函数-柱坐标系中的分离变量法及其应用,通过柱坐标系中对定解问题进行分离变量，可引出Bessel方程、Bessel函数。Bessel也称圆柱函数（柱函数）是理论物理与某些技术科学中经常遇到的一类特殊函数。 1732年伯努利研究悬链的摆动问题，以及1764年Euler研究拉紧的圆膜的振动问题时，都涉及到这类函数。,引 言,1824年法国数学家Bessel(F.W.Bessel1784-1846)在研究天文学时又碰到了这类函数，并首次系统地研究了这类函
2、数。自此以后，人们就称这类函数为Bessel函数,并被广泛的应用到物理学和技术科学领中。,9.1 Bessel方程的导出 以下就以圆膜振动问题为例来导出Bessel方程。（说明：也可以圆盘的瞬时温度分布等问题来推导或电磁波的传播问题来推导，包括Laplace方程）,其中 为已知正数， 和 为已知函数。该定解问题与坐标无关，故又称为柱面问题。,考虑固定边界的圆膜振动，可归结为定解问题：,有,即,（亥姆霍兹Helmhotz方程）,利用分离变量法，作试解,代入边值条件 为求Helmhotz方程满足 的解，变换到柱坐标系下 令,则有 或,该方程的解与变量无关，故称为柱面函数（柱函数），若原方程中含也可
3、将含的变量单独分离出去仍定为此形式，如方瑛,再令 得,是单值函数,所以 应是以 为周期的周期函数,取整数0 ,对方程若 就为Euler方程,习惯上令则该方程变为： 即,再令 得 即 是单值函数， 也必是单值的，因此 应是以 为周期的周期函数.,- 阶Bessel微分方程,取整数0 ,对方程 若 就为Euler方程,习惯上令则该方程变为： 此时，边界条件为：,即,9.2 Bessel方程的求解,阶Bessel方程为二阶变系数常微分方程，其中 为给定的实数。由常微分方程理论，设方程如果 都能在 的某邻域内展成 的幂级数，则在该邻域内方程有如下的形式的广义幂级数解： 其中 均为常数，,以下确定 ，将
4、,代入Bessel方程,得,要使该等式成立，必使 各项幂的个数成为0,和,从而有,若取 则有 i. 具有连续的任意阶导数,ii.,iii.,iv.,v.,为得到一简洁的解，取（规定） 则 而,称为 阶Bessel函数（第一类Bessel函数），收敛域 取 同样可得 通解，引进 阶第二类Bessel函数（诺律谩函数），记为 即,其中 线性无关。 对任意实数 Bessel方程的通解为 其中 为任意实数。 当 为任意值，由第一、第二类Bessel函数还可以构成线性无关的第三类Bessel函数：,分别称为第一类、第二类连续函数，Bessel方程的通解为： （说明：第一、第二、第三类Bessel函数分别称为Bessel函数、诺律谩函数、汉克尔函数，又称为第一、第二、第三类柱函数。）,