数学物理方法概论.ppt

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1、之之第三章第三章 渐近方法渐近方法 本章本章渐进方法渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括包括积分的渐近展开分析积分的渐近展开分析与与常微分方程的渐进解法常微分方程的渐进解法两大部两大部分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。 渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法渐近计算是数学计算的近似方法

2、之一，它是解析方法在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近方法具有重要的地位。方法具有重要的地位。1、 量级符号；量级符号；2、 渐近展开；渐近展开；3、 渐近展开式的运算；渐近展开式的运算；4、 积分的渐近展开式；积分的渐近展开式；5、 最陡下降法；最陡下降法；6、 驻定相位法；驻定相位法；7、 常微分方程的渐近解；常微分方程的渐近解；第三章第三章 渐近方法渐近方法 由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是由于某些特殊函数具有积

3、分表示式，如果这些函数是微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一种表达，称此为可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法渐近方法。 Oo同量级量级最多为量级小于比较函数趋于某个极限时的性质常比较函数趋于某个极限时的性质常定义定义： 0( )/( )1( )( )xxf xg xf xg x若时，则称0,tanx

4、xx例：例： 3 渐近方法渐近方法 3.1 量级符号量级符号 1) 同量级同量级 0( )/( )( )( )( )( ( )xxf xg xf xg xf xO g x若时，保持有界，则称的量级最多为，记为,( )(),0, cos(1/ )( )nnnP xO xxxxO x 例：例：0( )( )( )limA( )xxf xf xg xg xA或称函数称函数f (x)至多与至多与g (x)同阶。同阶。 3 渐近方法渐近方法 3.1 量级符号量级符号 2) 量级最多为量级最多为 也可以说若存在某个常数也可以说若存在某个常数A，使对定义域，使对定义域D某个内点某个内点x0的邻域的邻域V内的

5、所有内的所有x，满足，满足0( )/( )0( )( ( )xxf xg xf xo g x若时，则记320,tan()(),0,()nxxxo xxnxo e 对例：例： 的意义是说的意义是说 f (x)有界，而有界，而 的意义是的意义是说说f (x)趋于零。趋于零。( )(1)f xO( )(1)f xo 3 渐近方法渐近方法 3.1 量级符号量级符号 3) 量级小于量级小于 也可以说若存在任一也可以说若存在任一 ，定义域，定义域D内点内点x0总有一的邻域总有一的邻域 存在，使得所有存在，使得所有 ，满足，满足0VxV0 x( )( )( )lim0( )xf xf xg xg x或称函数

6、称函数f (x)是函数是函数g (x)的高阶小量。的高阶小量。 3.2 渐近展开渐近展开 下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复平面上进行。平面上进行。一、一、 渐近序列渐近序列 设设 ，是定义在区间，是定义在区间D上的连续函数序列，上的连续函数序列， 是是D中的一固定点，若对每一个固定的中的一固定点，若对每一个固定的n，有，有01( ),( ),( )nw z w zw z0z10( )( ) ()nnwzo w zzz则称则称 为为 点的点的渐进序列渐进序列。渐近序列可以是有限项也。渐近序列可以是有限项也可以是无限项的。可以

7、是无限项的。例如：例如：( )nw z0z是对零点的渐近序列。是对零点的渐近序列。21, ,z z 3 渐近方法渐近方法 2111,z z是对于无穷的渐近序列。是对于无穷的渐近序列。二、二、 渐近展式渐近展式 设设 是一个给定的函数，而是一个给定的函数，而 是是 点的一个渐近序点的一个渐近序列，如果对每个固定的整数列，如果对每个固定的整数n，有，有那么称此为那么称此为 在在 点的渐近展式。记为点的渐近展式。记为注意：注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近值，渐近展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足展式的项数无限增多时，所得级

8、数一般是发散的，但若满足渐近展式的定义式，则当渐近展式的定义式，则当 时，取确定的项数时，取确定的项数n会得到会得到对函数非常好的近似。对函数非常好的近似。( )f x( )nw z0z00110( )( )( )( )( ) nnnf za w za w za w zo w zzz( )f x0z0( )( ) nnnf za w zzz0zz 3.2 渐近展开渐近展开 3 渐近方法渐近方法 例例1：求：求 当当 时的积分值。时的积分值。x 0( )te dtf xxt即求即求 时时 的渐近展式。的渐近展式。x ( )f x解：解： 2012234101( )1123-(-1)( 1)(1)

9、!ttnnnne dtf xxtne dtnxxxxxxt 利用分部积分法，多次分部积分x！ ！余项：余项： 22100120(1)!( )(1)!1(1)!(1)!txynnnnxynne dtnedyR xnxxtynnedyxx t=xy 3.2 渐近展开渐近展开 3 渐近方法渐近方法 因此，取展开式的前因此，取展开式的前n项，略去余项，当项，略去余项，当 时，其误差时，其误差量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为x 3.2 渐近展开渐近展开 3 渐近方法渐近方法 100( )(-1) xtnnne dtnf xxtx ！注意

10、：注意： 这个级数对于有限的这个级数对于有限的 x 值均不收敛。但是，取确定值均不收敛。但是，取确定的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的相对误差为的相对误差为1/x ,结果粗略一些，但已经足够用了。结果粗略一些，但已经足够用了。三、三、 展开式系数：展开式系数： 当当 时，时， 的渐近展式的渐近展式 的系数为的系数为110( )( )( )limNnnnNf za wznwzzza0zz( )f z( )nnna w z证明略证明略 3.2 渐近展开渐近展开 3 渐近方法渐近方法 四、四、 展开式的构成展开式的构成 设设 在区域

11、在区域D中有定义，若中有定义，若 有定义且不为零，则有定义且不为零，则 是是 时，时， 的一个直到的一个直到N项的渐近展开式。项的渐近展开式。12( ),( ),( ),( )Nf z w z w zwz011( )( )lim( )knnnkzzkf za w zaw z1( )Nnnna w z0zz( )f z证明：证明： 首先证明首先证明 是一个渐近序列。由是一个渐近序列。由 的定义得的定义得 ( )nw zka1( )( )( )()knnkknf za w zgzo w 3.2 渐近展开渐近展开 3 渐近方法渐近方法 111111( )( )( )( )( )()knnkkkkkk

12、nf za w zawzh zawzo w所以：所以： 1111( )(/)()kkkkkkkwz ahwwgo w又因为：又因为： 011lim/0,0,kkkzzhwa且故存在一个故存在一个 的的 邻域使邻域使z在其中时：在其中时： 0z11/0kkkahw所以所以 。由此，各个。由此，各个 都由这种方式定义得都由这种方式定义得 1( )( )()knnknf za w zo w1()kkwo wka1,2,kN 3.2 渐近展开渐近展开 3 渐近方法渐近方法 五、五、 唯一性唯一性设设 是在是在D中，中， 的一个已知渐近序列，若的一个已知渐近序列，若是当是当 时，时， 直到直到N 项的一

13、个渐近展式，则此展式是唯项的一个渐近展式，则此展式是唯一的。一的。1( )Nnnna w z0zz( )f z( )nw z0zz注意：注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数。过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数。 的一个的一个渐近渐近幂级数展式幂级数展式，记为，记为

14、 六、六、 幂函数的展式幂函数的展式000( )()() Nnnnnf zazzo zz则：则： 00( )()Nnnnf zazz00()Nnnnazz是是D中，中， 时，时，( )f z0( )() ,0,1,2,nnw zzzn当对个0 0在在D 中D 中，若若z z z ,每z ,每一一N 有N 有： 3.2 渐近展开渐近展开 3 渐近方法渐近方法 0zz0zz其中一种重要的特殊情形是在其中一种重要的特殊情形是在D中，当中，当 时，如果时，如果0z 0( )()Nnnnnaf zo zz则在则在D中，当中，当 时时z 0( ) Nnnnaf zz 3.3 渐近展式的运算渐近展式的运算若

15、在若在D中，当中，当 时，直到时，直到N项有项有 则：则：0zz00( )()Nnnnf zazz00( )()Nnnng zb zz和和1. 加法：加法：00( )( )()()Nnnnnf zg zabzz2. 乘法：乘法：000( )( )() , NNnnnkn knkf zg zczzca b 3 渐近方法渐近方法 本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。3. 除法：除法： 01001( )/( ), 0NNNNaa za zf zg zbbb

16、zb z即除法为两个函数渐近展开式分别保留到即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。项相除。推论：推论： 01 00 100200( )(), 0( )aaba bf zzzbg zbb 3.3 渐近展式的运算渐近展式的运算 3 渐近方法渐近方法 4. 积分积分 : 当当 时，若时，若 则：则：01101( )()Nznnznafdzzn其中积分沿从其中积分沿从 到到 的一条直线路径。的一条直线路径。0zz0zz100( )()Nnnnf zazz推论推论 : 当当 时，若时，若 则：则：0zz00( )()nnnf zazz0101( )()znnznafdzzn 3.3 渐近展式的运

17、算渐近展式的运算 3 渐近方法渐近方法 5. 求导求导 : 当当 时，若时，若 ，且当，且当 时，在时，在D中中 存在并有存在并有0zz00( )()Nnnnf zazz0zz( )fz100( )()Nnnnfzb zz则在则在D中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有0112231,2,3,NNba ba babNa推论推论1：在：在D中，当中，当 有有 00( )()nnnf zazz且在且在D中中00( )()nnnfzb zz011223,2,3,ba ba ba 3.3 渐近展式的运算渐近展式的运算 3 渐近方法渐近方法 0zz( )fz存在并有

18、存在并有若在若在D中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则推论推论2： 对对 ，当，当 时有时有 且且 存在于相同的区域，当存在于相同的区域，当 时，有时，有则则z 0( )nnnf za z( )fz(1)1( )nnnfznb zargzz ,1,2,nnab n 对于解析函数对于解析函数 ，若在区域，若在区域当当 时有时有则在则在 中，当中，当有有( )f z| | |,argzrDzzz z 0( )nnnf za z| |11 |,argzrDzz (1)1( )nnnfzna z 3.3 渐近展式的运算渐近展式的运算 3 渐近方法渐近方法 根据渐近展

19、式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。根据渐近展式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。 获得积分渐获得积分渐近展式的方近展式的方法有两种法有两种(1) 把被积函数把被积函数的一部分展的一部分展开为级数，开为级数，然后形式上然后形式上逐项积分；逐项积分；(2) 重复地进行重复地进行分布积分。分布积分。一、一、 逐项积分法：逐项积分法：瓦特森引理：设瓦特森引理：设100( )(1) ( )( ) ,0,1;(2) ( )|3,|( )|;(4) ( )arg |,2(1) ( )(0)/ !abctztnna bnnnF tf t

20、tabf xxtMC F tMef xxzanabF t edtzafn 对有麦克劳林展式；（ ）时 存在常数和对所有 的值为连续函数，则在|当z时，有其中 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 3 渐近方法渐近方法 式式 对对Re(z) 0 成立，因为在此定成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开式。做变量代换，令其积分的渐近展开式。做变量代换，令解：令解：令 则则例：求当例：求当 ， 的的函数函数 的渐近展式。的渐近展式。z 10( )t zze tdt0,zxtsxarg,022z1( )

21、ssse1 lnuss 1usese 3 渐近方法渐近方法 则对给定的值则对给定的值 上述变换给出两个解上述变换给出两个解s(u)和和(u)，其中，其中 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 11000011( )()()t sxt xt xsxxxxsxxe tdte t dtesxxdsx esedsxx10( )()zzszzz eseds即即且且ue两个解分别位于最大值两个解分别位于最大值s=1的两边的两边其中其中于是于是0u1,1s0( )1s u 3 渐近方法渐近方法 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 1111001000()()()szszzuzuzuzsedssedsedd

22、sdddsedueduedududududu11ddssdudus可以证明可以证明且因当且因当 时，时， 故故 在在 有界有界0u 1( )u ddsdudu 3 渐近方法渐近方法 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 则可得则可得 与与的关系：的关系：剩下要证明的是剩下要证明的是 其中其中 对小的对小的 有一个有一个abddsf uududu f vv麦克劳林展开式。再做代换，令麦克劳林展开式。再做代换，令 22,1us21ln 12。它在。它在 处是解析的。因为当处是解析的。因为当 01时，有时，有22221ln 12234即即12222134 与与 的邻域有两个分支。的邻域有两个分支。根

23、据复变函数理论：若根据复变函数理论：若 f z解析，且解析，且 00fz则则 在在 f z00f z的邻域存在解析的反函数的邻域存在解析的反函数 zg现在现在 ln 1在在 0邻域解析，且邻域解析，且 dd在在 0点不等于零，故在点不等于零，故在 3 渐近方法渐近方法 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 另一支是另一支是注意到注意到 则对足够小的则对足够小的 有有 故故0令令 00,0的邻域存在解析的反函数的邻域存在解析的反函数 2323bb 式中式中 kb是是 处处 的留数，容易算出的留数，容易算出 等等 。 k234111,336270bbb 21121,1s22uu1322213222

24、1111222233627011112222336270uuuusuuuu 111222222266ddsuuuududu将最后的表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森将最后的表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，在引理，在 时，有时，有z arg,022z 1212112zzze zz 3 渐近方法渐近方法 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 对对的条件下得的条件下得 式中式中二、二、 分部积分法：分部积分法： 0zh tg t edt形式进行分部积分。在形式进行分部积分。在 ，且当，且当 时时 Re0z t h t 00001zh tzh tzh tzh tg

25、tg t edtzh t edtzh tg tg tdeedtzh tzdtzh t 00010zhzh tgef t edtzhz g tdf tdtzh t。可以看出，所得积分是前面考虑过的形式，。可以看出，所得积分是前面考虑过的形式，故可重复同一过程。故可重复同一过程。 3 渐近方法渐近方法 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 存在，且存在，且 t当当 时时首先证明在首先证明在 和和 h t g t的一定假设条件下，式中第一项是的一定假设条件下，式中第一项是 z z z 的积分渐近形式。的积分渐近形式。 设（设（1）对）对 ， 0t g t连续且有界：连续且有界： ，同时，同时 g t

26、M 00g（2）对）对 ， 0t h t为实函数且连续；为实函数且连续； （3） 0h 00h（4）对所有正）对所有正 ， ，且当，且当 时，时， 0h tht h t （5）对）对 ， 存在，则对存在，则对 Re0z 0zh tedtarg,022zz 0000zh tzhgg t edtezh 3 渐近方法渐近方法 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 z z 例：例： 在在 ， z arg,022z条件下，求误差函数条件下，求误差函数 2tzE zedt的渐近展开式。的渐近展开式。令令 0,zxutx 22220txuuxxE xedteeedu这表明，对这表明，对 ， Re0z 222

27、0zuuzE zeeedu的两边是解析的，且在实轴上相合。现在的积分的两边是解析的，且在实轴上相合。现在的积分 ，因为在此区域中方程，因为在此区域中方程220uuzeedu和定理和定理 的假设相符，重复地应用此定理，对的假设相符，重复地应用此定理，对 ， z arg,022z可得可得 22335111 3222zE zezzz 3 渐近方法渐近方法 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 如果如果 ，则应将方法修改。但对这种情形，可以采用，则应将方法修改。但对这种情形，可以采用 00h下面两节的方法，这里不再赘述。下面两节的方法，这里不再赘述。以上只把分部积分法用于上限为以上只把分部积分法用于上

28、限为 的积分，现在考虑的积分，现在考虑a和和b 有限，有限，且且 ab的情形，即的情形，即 11bbzh tzh tzh tbaaabzh bzh azh tag tg tdg t edteedtzh tzdt h tg bg ag tdeeedtzh bzh azdt h t 设设 ，而当，而当 ， 时时 ,0,0h bh ah bh az arg,022z 3 渐近方法渐近方法 3.4 积分的渐近展式积分的渐近展式 bzh tzh bzh aag bg ag t edteezh bzh a当当 ， 时，因为时，因为z Re0z 00zhz h bh azh aeee故故 zh abzh t

29、ag a eg t edtzh a采用最徒下降法的思路：采用最徒下降法的思路： 首先令：首先令： 则：则： 3 渐近方法渐近方法 3.5 最陡下降法最陡下降法 sg zCIef z dz常遇到这样类型的积分常遇到这样类型的积分 其中其中C 是复平面是复平面Z 上的路径，在其中假定上的路径，在其中假定 f z缓变，且缓变，且f 和和g 均具有适当的正则性。均具有适当的正则性。 ,g zu x yix y其中其中 u 和和 v 是实函数。是实函数。 ssg zsu iCCIef z dzef z dz当当S 很大时，沿积分路径微小位移所引起的很大时，沿积分路径微小位移所引起的v 的微小变化会引起的

30、微小变化会引起 注意到：注意到： 3.5 最陡下降法最陡下降法 也就是说，也就是说，最徒下降法的本质就是尽可能利用这样的积分路径：最徒下降法的本质就是尽可能利用这样的积分路径：使被积函数在这个路径上使被积函数在这个路径上u为最大，而为最大，而v等于常数。等于常数。这样可以保这样可以保证被积函数变化最速下降，也就保证积分值只与证被积函数变化最速下降，也就保证积分值只与u为最大的点为最大的点（鞍点）附近的邻域有关，从而可以渐近计算。（鞍点）附近的邻域有关，从而可以渐近计算。事实上，事实上，使使v等于常数的路径也就是等于常数的路径也就是u变化最快的路径变化最快的路径。以下对此证明：以下对此证明： 3

31、 渐近方法渐近方法 sge中正弦项的迅速震荡。但如选择积分路径使在其上中正弦项的迅速震荡。但如选择积分路径使在其上 v为常数，为常数， 则震荡就会迅速消失，于是被积函数变化最速部分将为则震荡就会迅速消失，于是被积函数变化最速部分将为 ，而，而sue显然其主要贡献部分将来自显然其主要贡献部分将来自u为最大点的邻域。因而此方法的本为最大点的邻域。因而此方法的本质是尽可能地改变积分路径循着通过质是尽可能地改变积分路径循着通过u 为最大的点，而为最大的点，而v等于常数等于常数 的路线进行。的路线进行。 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 证明证明: 令令 0izzre是在是在 0z邻近

32、的一点，于是由邻近的一点，于是由cossinidzrerirdxidyxyxydgduidu dxu dyidxdy得：得： 当当 等于常数时，应有等于常数时，应有 0d，即，即cossin0 xy这样，注意到柯西黎曼关系这样，注意到柯西黎曼关系: , ,xyyxuu 可得可得 sincos0 xyuu此式表明此式表明/sincos0 xyduu ru r 因此，由极值的条件，在因此，由极值的条件，在 0z点，点， v等于常数的方向也正是等于常数的方向也正是u 的最大的最大变化方向。变化方向。 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 为寻找为寻找 ,uu x y的最大点，令的最大点

33、，令 0, 0 xyuu，因而，因而 0, 0 xy故当且仅当在该点故当且仅当在该点 ， 0gz时，取得极值，这样的点称为驻点。时，取得极值，这样的点称为驻点。曲面曲面,uu x y有极大极小值的条件为有极大极小值的条件为 20 xxyyxyu uu现在有现在有 220, 0u，即，即 0 xxyyuu，故，故 xxyyuu ，因而，因而 2220 xxyyxyxxxyu uuuu 因为因为u是解是解析函数满足析函数满足拉普拉斯方拉普拉斯方程程表明驻点不是极值点而是表明驻点不是极值点而是鞍点鞍点，它连接曲面的，它连接曲面的“山谷山谷”和和“山山脊脊” 沿山脊上升和山谷下降均是沿山脊上升和山谷下

34、降均是u最大变化方向。对我们有意最大变化方向。对我们有意义的是义的是山谷下降路径，即最徒下降路径山谷下降路径，即最徒下降路径，因为只有这一路径上，因为只有这一路径上在鞍点附近对积分有显著的贡献，所以这种渐近计算的方法称在鞍点附近对积分有显著的贡献，所以这种渐近计算的方法称为：为：最徒下降法最徒下降法。 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 鞍点鞍点若若 0z点为鞍点，即点为鞍点，即 00gz此点的此点的v等于常数的曲线方程为等于常数的曲线方程为 ，则，则通过通过00uut 0g zg zt，或，或 其中其中t是实数，是实数，t 为正代表下降路径，为正代表下降路径，t 为负代表上升

35、路径。为负代表上升路径。 由由 g z在在 0z点的点的Tailor展开式展开式 20000012g zg zgzzzgzzz现在现在 00gz，若，若 00igzAe(A为正实数为正实数) ，接近，接近 0z处处 0izzre，则，则 22012iig zg zAr e，（略去高阶项），（略去高阶项） 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 因为：因为： ,g zu x yix y还可得：还可得： 由此可以画出由此可以画出实部实部 虚部虚部 20201cos 221sin 22uuArAr时的等高线如图所示。如果时的等高线如图所示。如果 /200gz，则图形将更复杂，则图形将更复

36、杂，可能有三个或更多的山谷在可能有三个或更多的山谷在鞍点相会。鞍点相会。 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 现在可以假定起止于无限远的积分路径能变形到起点和现在可以假定起止于无限远的积分路径能变形到起点和终点都在山谷的路径，这是积分收敛的要求。积分路径要尽终点都在山谷的路径，这是积分收敛的要求。积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷的底在鞍点处越过一可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷的底在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。一般说来，这种路径由一系列曲线个山谷进入下一个山谷。一般说来，这种路径由一系列曲线组成，每一个是从鞍点到无穷或到某个奇点。组成，每一个是从鞍点到无穷

37、或到某个奇点。 以下假定以下假定 00gz来计算一个这种路径对积分的贡献。来计算一个这种路径对积分的贡献。 为此，设为此，设 200g zg zzzh z其中其中 00h z。于是最陡下降路径由下式给出。于是最陡下降路径由下式给出 220zzh zt或或120zzht (t为正实数）为正实数） 其中其中 1zh取主值。计及取主值。计及 00/2/2ih zgzAe ，故得，故得 112202izzA et 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 上式的不同符号对应于自鞍点出发的两条最陡下降路径。若上式的不同符号对应于自鞍点出发的两条最陡下降路径。若 /2,“+”号与第三象限的路径有

38、关，号与第三象限的路径有关，“-”与第一象限的路径与第一象限的路径。 有关有关考虑负号时所代表的路径如图所示，所得的积分是考虑负号时所代表的路径如图所示，所得的积分是负号所对应的路径负号所对应的路径 20110sg zstdzeefzdtdt其中其中 1z是上式中取负号的是上式中取负号的 z值。另一路径的积分值。另一路径的积分 20220sg zstdzeefzdtdt其中其中 2z是上式中取正号的是上式中取正号的z值。值。 完整的级数太繁，我们将只导出首完整的级数太繁，我们将只导出首项。于是，如果把项。于是，如果把C变形到通过鞍点，变形到通过鞍点，其方向如右图，则可以得到其方向如右图，则可以

39、得到 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 由于由于 和和 1z2z都可用都可用 t 表示表示 ，其中函数，其中函数 f 已假定是缓变的，故已假定是缓变的，故 1f z和和 2f z均可用均可用 0f z代替。令代替。令 2tu引理渐近计算的积分式。引理渐近计算的积分式。 ，则可以得到用，则可以得到用瓦特森瓦特森负号所对应的路径负号所对应的路径 2021122001122022isg zsg zstCistef z dzef zeA edteA edt 001111222200022sg zisg ziif zef zesAesgz 此式即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开。此式

40、即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开。 如果如果C通过鞍通过鞍点的方向与前图示相反的话，结果反号即可。点的方向与前图示相反的话，结果反号即可。例：求阶乘的斯特林（例：求阶乘的斯特林（Stirling)公式。（即阶乘的渐近展式）公式。（即阶乘的渐近展式） 解：解： 已知阶乘的积分表达式已知阶乘的积分表达式 符合前边积分的形式，其中符合前边积分的形式，其中 ( )1, ( )lnf zg zzz而积分路径而积分路径C为实轴。为实轴。 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 0!zsse z dz它在它在 Re1s 时成立，现在我们只考虑时成立，现在我们只考虑 s此积分形式不适合用最陡下

41、降法，但如用此积分形式不适合用最陡下降法，但如用sz 来代替来代替z就得出就得出 是实数的情形。是实数的情形。ln10!/sz zsssedz注意到注意到 1z 有一鞍点，且在该处有一鞍点，且在该处 1gz 在在 时：时：因此积分路径应该是因此积分路径应该是 和和 （零点为奇点）两部分（零点为奇点）两部分1 10根据公式：根据公式： 001111222200022sg zisg zisg ziCef z dzf zef zesAesgzs !2sssse 3.5 最陡下降法最陡下降法 3 渐近方法渐近方法 ( )1, ( )lnf zg zzz这就是斯特林公式。这就是斯特林公式。 3.6 驻定

42、相位法驻定相位法 对下列形式的积分对下列形式的积分 ： 3 渐近方法渐近方法 ikf zCI keg z dz当参量当参量k 很大时可以用驻定相位法求解。从被积函数很大时可以用驻定相位法求解。从被积函数 的形的形 ikf ze式式上看，可当作波的相位。上看，可当作波的相位。 当当k很大时，它表示一种迅速的振荡。很大时，它表示一种迅速的振荡。在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在 0fz的部分，的部分， 处有平坦处有平坦因而对积分的主要贡献来自于因而对积分的主要贡献来自于 0fz点附近。点附近。 使使 0fz的点称为的点称为驻定相位点驻定相位点，所以这种

43、用相位驻定邻近的积分，所以这种用相位驻定邻近的积分结果来近似代表整个区间的精确结果的方法称为结果来近似代表整个区间的精确结果的方法称为驻定相位法驻定相位法。 为证明对积分的主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量为证明对积分的主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量z为实变量为实变量x的情形。函数的情形。函数 f x的驻点的驻点 0 x是使是使 0fx的点，如的点，如 00nfx1,2,nN ，而，而 100,Nfx则称则称 0 x为为 的的N级驻点。级驻点。 f x考察积分：考察积分： 3.6 驻定相位法驻定相位法 3 渐近方法渐近方法 bikf xaI kg x edx如果积分区间如果积分区间(a

44、 ,b)内内f (x)没有驻点，没有驻点，g (x)在在(a ,b)内可微，则可把内可微，则可把 f 作为积分变量，而上面的积分可记为作为积分变量，而上面的积分可记为 bf bikf xikfaf ag xI kg x edxe dffx由由f (x)反演反演x可以表示为可以表示为f 的函数，故的函数，故 在积分区间是在积分区间是可微的。经过分部积分，则可微的。经过分部积分，则 /g xfx 111 f bikff af bikf bikf aikff aI kf d eikf bef aef e dfikik 3.6 驻定相位法驻定相位法 3 渐近方法渐近方法 111 f bikff af

45、bikf bikf aikff aI kf d eikf bef aef e dfikik等号右边第一项在等号右边第一项在 k 时趋于零，其量级为时趋于零，其量级为 ；右边第；右边第1/Ok二项形式上与原积分一样，二项形式上与原积分一样， 可微能对它再进行分部积分，可微能对它再进行分部积分， f积分后的量级也是积分后的量级也是 ，但其前面已有系数，但其前面已有系数 ，故上式等，故上式等 1/Ok1/ik号右边第二项的量级为号右边第二项的量级为 21/Ok，再继续进行分部积分，可见整个，再继续进行分部积分，可见整个 I k在在k很大时量级最多为很大时量级最多为1/k的小量。的小量。 如果在积分区

46、间内如果在积分区间内 f x有一个一级驻点有一个一级驻点 0 x，则由于，则由于 00fx而使而使 /g xfx在在 处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。0 x则：则： 后一个积分中把后一个积分中把 f 作为积分变量，则作为积分变量，则 其中：其中： 令令 3.6 驻定相位法驻定相位法 3 渐近方法渐近方法 00g xg xg xg x 00bbikf xikf xaaI kg xedxg xg xedx 0bf bikf xikfaf ag xg xedxf e df 0/fg xg xfx它在驻点它在驻点 处处(为为 型型)的极限为的极限为 ，从

47、而，从而 0 x0000/gxfx f也在积分区间内可微。也在积分区间内可微。 由此，上面后一个积分的量级也是由此，上面后一个积分的量级也是 1/Ok现在来考虑前一个积分，将现在来考虑前一个积分，将 f x按按Taylor级数展开，则级数展开，则 3.6 驻定相位法驻定相位法 3 渐近方法渐近方法 200012fxfxfxxx略去后面的高阶项，计及略去后面的高阶项，计及g(x)在区间内是在区间内是x的缓变函数，于是上述的缓变函数，于是上述 积分整个地可写为积分整个地可写为 20001201/bikfxx xikf xaI kg xeedxOk令令 0 xxk，则，则 2000012011/b

48、xkifxikf xa xkI kg xeedOkk再令再令 0/2tfx，同时考虑到，同时考虑到 k 时积分限时积分限 ，则得，则得 200021/ikf xitI kg xee dtOkkfx 3.6 驻定相位法驻定相位法 3 渐近方法渐近方法 由于由于 24iite dte，得，得 040021/iikf xI kg xeeOkkfx当当 k 时，第一项的量级为时，第一项的量级为 1/Ok积分的贡献。所以，与不包含驻点的区间相比较，当积分的贡献。所以，与不包含驻点的区间相比较，当 时，时， ，也就是包含驻点的区间对，也就是包含驻点的区间对k 含驻点的区间对积分的贡献要重要的多。含驻点的区

49、间对积分的贡献要重要的多。 计及计及 0fx可能为正或者负，通常把上述结果表示为可能为正或者负，通常把上述结果表示为 040002,0iikf xI kg xeekfxk fx 如果区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点如果区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点都在其中，然后逐个用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。都在其中，然后逐个用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。对于复变量的情形，积分可写成：对于复变量的情形，积分可写成： 于是于是 (即鞍点即鞍点) 3.6 驻定相位法驻定相位法 3 渐近方法渐近方法 ikf zCI kg z edz其中其中 ,f zx

50、 yix y kikCI kg z eedz是给定的积分路径。由是给定的积分路径。由 其中其中C 00fz立即得出在立即得出在 点点 0z0 xy从前面的讨论可知对积分的主要贡献来自相位从前面的讨论可知对积分的主要贡献来自相位 k稳定的区域，稳定的区域，即应来自即应来自的极值点附近。所以希望在经过的极值点附近。所以希望在经过 0z选出一个特定的方向，沿此方向，相位选出一个特定的方向，沿此方向，相位 能最迅速地变化而在能最迅速地变化而在 点的所有方向中点的所有方向中0z点取极值。点取极值。 0000000,if zif zix yx yixyxyix yxy 3.6 驻定相位法驻定相位法 3 渐