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1、高一数学下学期期末备考正弦定理、余弦定理考点练习正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinAbsinBcsinC2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(2)sinAa2R，sinBb2R，sinCc2R；(3)abcsinAsinBsinC；(4)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ac；cosCa2b2c22ab考点 1：利用正
2、弦定理解三角形例 1(2019辽宁沈阳模拟)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A6，B4，a1，则b()A2B1C3D2【答案】D由正弦定理得basinBsinA22122.练习 1 (2019山东烟台模拟)在锐角ABC中， 角A，B所对的边长分别为a，b， 若 2asinB3b，则角A_.【答案】32asinB3b，2sinAsinB3sinB，得 sinA32，A3或A23，ABC为锐角三角形，A3.利用正弦定理可解决两类问题基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边，如A，B，a由ABC180，求出C；根据正弦定理，得asinAbsinB及asinAcsinC，求出边b
3、，c.已知两边及其中一边所对的角， 如a，b，A根据正弦定理，经讨论求B；求出B后， 由ABC180， 求出C；再根据正弦定理asinAcsinC，求出边c.考点 2：利用余弦定理解三角形例 2(2019山东济南期中)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2ac，c2a，则 cosC()A24B24C34D34【答案】B由题意得，b2ac2a2，即b2a，cosCa2b2c22aba22a24a22a2a24.练习 2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2bcosBacosCccosA，则B_.【答案】3方法一由 2bcosBacosCccosA及正
4、弦定理，得 2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又 sinB0，cosB12.B3.方法二在ABC中，acosCccosAb，条件等式变为 2bcosBb，cosB12.又 0B0，sinA1，即A2，ABC为直角三角形变式探究 1本题 1 中，若将条件变为 2sinAcosBsinC，判断ABC的形状解2sinAcosBsinCsin(AB)，2sinAcosBsinAcosBcosAsinB，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形变式探究 2本题 1 中，若将
5、条件变为a2b2c2ab，且 2cosAsinBsinC，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cosCa2b2c22ab12，又 0CBabsinAsinBcosA0，sinA12.由余弦定理得 cosAb2c2a22bc82bc4bc0，cosA32，bc4cosA833，SABC12bcsinA1283312233.考点 5 求解几何计算问题例 5、如图，在ABC中，B3，BC2，点D在边AB上，ADDC，DEAC，E为垂足(1)若BCD的面积为33，求AB的长；(2)若DE62，求角A的大小解(1)BCD的面积为33，B3，BC2，122BDsin333，BD23.在BCD中，由余弦定理
6、可得CDBC2BD22BCBDcosB449222312273.ABADBDCDBD273232723.(2)DE62，CDADDEsinA62sinA.在BCD中，由正弦定理可得BCsin BDCCDsinB.BDC2A，2sin 2A62sinAsin3，cosA22.A4.练习 5、 (2018北京卷)在ABC中，a7，b8，cosB17.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，因为 cosB17，所以 sinB1cos2B437.由正弦定理得 sinAasinBb32.由题设知2B，所以 0A2.所以A3.(2)在ABC中，因为 sinCsin(AB)sinAcosBcos
7、AsinB3314，所以AC边上的高为asinC73314332.考点 6 三角函数求值问题例 6、(2018天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacosB6 .(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和 sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理asinAbsinB，可得bsinAasinB.又由bsinAacosB6 ，得asinBacosB6 ，即 sinBcosB6 ，所以 tanB3.又因为B(0，)，所以B3.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B3，得b2a2c22accosB7，故b7.由bsinAacosB6，可得 si
8、nA37.因为ac，所以 cosA27.因此 sin 2A2sinAcosA437，cos 2A2cos2A117.所以 sin(2AB)sin 2AcosBcos 2AsinB4371217323314.考点 7 解三角形综合问题例 7、(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若DC22，求BC.解 (1)在ABD中，由正弦定理得BDsinAABsinADB即5sin 452sinADB，所以 sinADB25由题设知，ADB90，所以 cosADB1225235(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB25在BCD中
9、，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825222525所以BC5练习 7、(2019广东惠州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2bc)cosAacosC.(1)求角A的大小；(2)若a13，bc5，求ABC的面积解(1)ABC中，由条件及正弦定理得(2sinBsinC)cosAsinAcosC，2sinBcosAsinCcosAsinAcosCsinBsinB0，2cosA1，A(0，)，A3.(2)a13，bc5，a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccos3523bc13，bc251334，SABC12bcsinA124sin33.