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1、高一数学下学期期末备考一元二次不等式及其解法1一元一次不等式axb(a0)的解集(1)当a0 时，解集为x|xba；(2)当a0 时，解集为x|xba.2“三个二次”的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2b2a没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx2x|xb2aR一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx23、解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于 0，另一端为 0，即化为ax2bxc0(a0)或ax2bxc0
2、(a0)的形式；(2)计算相应的判别式；(3)当0 时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集【考点精炼】考点一：解不含参数的一元二次不等式例 1(全国卷)设集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，则ST()A2，3B(，23，)C3，)D(0，23，)【答案】D因为Sx|(x2)(x3)0 x|x3 或x2，又Tx|x0，所以ST(0，23.)练习(2019广东肇庆月考)不等式x23x40 的解集为_.(用区间表示)【答案】(4，1)由x23x40 得x23x40，解得4x0 的解集为(4，1)知识点4、解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项中若含
3、有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与 0 的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式考点练习考点二、含参数的一元二次不等式问题例 2(2019山东烟台检测)关于x的不等式axb0 的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)0 的解集是()A(，1)(3，)B(1，3)C(1，3)D(，1)(3，)【答案】C由题意知，a0 且ba1，即ab，故不等式(axb)(x3)0 即为(x1)(x3)0，解得1x3.练习、解不等式：ax2(a1
4、)x10)解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以ax1a(x1)1 时，解集为1ax1；当a1 时，解集为；当 0a1 时，解集为 1x1a.综上，当 0a1 时，不等式的解集为x|1x1 时，不等式的解集为x|1ax0(a0)恒成立的充要条件是：a0 且b24ac0(xR)(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0 且b24ac0(xR)7、一元二次不等式恒成立问题的求解思路(1)形如f(x)0 或f(x)0(xR)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解(2)形如f(x)0 或f(x)0(xa，b)的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数
5、法求最值(3)形如f(x)0 或f(x)0(参数ma，b)的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数考点练习考点四、形如f(x)0(xR)求参数的范围例 4、(2019甘肃张掖月考)不等式(a2)x22(a2)x40 对一切xR 恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】(2，2当a20，即a2 时，不等式即为40，对一切xR 恒成立，当a2 时，则有220421620aaa 即a2，2a2，2a2.综上，可得实数a的取值范围是(2，2练习、(2019山东莱芜检测)不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】
6、1，4x22x5(x1)244，由条件可知，只需a23a4，即1a4 成立即可考点五、形如f(x)0(xa，b)求参数的范围例 5、设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5 恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5 在1，3上恒成立，则mx2mxm60，即mx12234m60，在x1，3上恒成立有以下两种方法：方法一令g(x)mx12234m6，x1，3当m0 时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m67，则 0m67.当m0 时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6.所以m0.综上所述，m的取值范围是
7、m|0m67或m0.方法二因为x2x1x122340，又因为m(x2x1)60，所以m6x2x1.因为函数y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67，所以只需m67即可因为m0，所以m的取值范围是m|0m67或m0.练习、若不等式x2mx10 对于任意xm，m1都成立，则实数m的取值范围是_.【答案】22，0由题意，得函数f(x)x2mx1 在m，m1上的最大值小于 0，又抛物线f(x)x2mx1 开口向上，所以只需 2221011110f mmmf mmm m 即2m210，2m23m0，解得22m0.考点六、形如f(x)0(参数ma，b)求x的范围例 6、对任意的k1，1，函数f(
8、x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_.【答案】x|x3对任意的k1，1，x2(k4)x42k0 恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1，1时恒成立只需g(1)0 且g(1)0，即x25x60，x23x20，解得x3.考点七、成立问题例 7、(2019河南洛阳诊断)若不等式x2ax20 在区间1，5上有解，则a的取值范围是()A235，B235，1C(1，)D，235【答案】A由a280 知方程恒有两个不等实根，又因为x1x220，解得a235.练习、若不等式 2kx2kx380 对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3，0)B3，0)C3，0D(3，0【答案】D当k0 时，显然成立；当k0 时，即一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数x都成立，则k0，k242k38 0，解得3k0.综上，满足不等式 2kx2kx380 对一切实数x都成立的k的取值范围是(3，0