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1、20202020 学年高一数学下册期末直线、平面平行和垂直的判定与性质知识点学年高一数学下册期末直线、平面平行和垂直的判定与性质知识点知识点总结1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，a，ll性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行线线平行)l，l，blb2判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质定理(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a
2、，a，aa)练习考点一：直线与平面平行的判定例 1、 (2019陕西西安调研)如图所示， 四边形ABCD是平行四边形， 点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，APOM.又MO平面BMD，PA平面BMD，PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，且PA平面PAHG，APGH.练习、如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点(1)证明AD1平面BDC1；(2)证明BD平面AB1D1
3、.证明(1)D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，C1D1DA，C1D1DA，四边形ADC1D1为平行四边形，AD1C1D.又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)连接D1D.BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D.又D1，D分别为A1C1AC中点，BB1DD1，四边形BDD1B1为平行四边形，BDB1D1.又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.练习、如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CDAB
4、.求证：四边形EFGH是矩形证明CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEF，CDEF.同理HGCD，EFHG.同理HEGF，四边形EFGH为平行四边形，CDEF，HEAB，HEF为异面直线CD和AB所成的角又CDAB，HEEF.平行四边形EFGH为矩形知识点讲解3.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行(线面平行面面平行)a，b，abP，a，b性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab4.判定面面平行的四种方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面
5、面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)考点练习考点二：平面与平面平行的判定与性质例 2、(2019 年南宁月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平
6、面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB且A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.又A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面EFA，平面EFA1平面BCHG.变式探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD
7、1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1.又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.训练、如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.证明(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为A
8、BD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DEBDD，DE平面BDE，BD平面BDE，所以平面BDE平面MNG.知识点讲解5、重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.考点练习考点三：与线面平行相关的命题真假判断例 3(2019山东日照月考)若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A 若，m，则mB若m，nm，则nC若m，n，m，n，则D若m，m，n，则mn【答案【答案】D D对于 A，若，m，则m或m
9、，故 A 错误；对于 B，若m，nm，则n或n或n与相交，故 B 错误；对于 C，若m，n，m，n，则或、相交，故 C 错误；对于 D，若m，m，n，由线面平行的性质定理，可得mn，故 D 正确练习(全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()【答案】【答案】A AA 项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交B 项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C
10、项， 作如图所示的辅助线， 则ABCD，CDMQ， ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D 项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ.ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.【知识梳理】6直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义： 直线l与平面内的任意一条直线都垂直， 就说直线l与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，babOlalbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行abab7证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(
11、2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理8证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系(2)利用等腰三角形底边中线的性质(3)利用勾股定理的逆定理(4)利用直线与平面垂直的性质考点练习考点四：直线与平面垂直的判定与性质例 4 (2019湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m的是()A且mB且mCmn且nDmn且【答案】【答案】CC由线面垂直的判定定理，可知 C 正确练习、（2019 年潍坊月考）如图，菱形ABCD的对
12、角线AC与BD交于点O，AB5，AC6， 点E，F分别在AD，CD上，AECF54，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置OD 10.求证：DH平面ABCD.证明由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得AEADCFCD，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6 得DOBOAB2AO24.由EFAC得OHDOAEAD14.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH. 又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.知识点讲解9平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，
13、就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两ll个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直lalal10.面面垂直的两种证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决考点练习考点五：面面垂直的判定与性质练习、(北京卷)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2
14、，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积(1)证明因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC，所以平面BDE平面PAC.(3)解因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DE12PA1，BDDC 2.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，所以三棱锥EBCD的体积V16BDDCDE13.变式探究在本例条件下，证明
15、：平面PBC平面PAB.证明由(1)知PABC，又BCAB且PAABA，BC平面PAB，又BC平面PBC，平面PBC平面PAB.练习、(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQ23DA，求三棱锥QABP的体积(1)证明由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DA3 2.又BPDQ23DA，所以BP2 2.如图，
16、过点Q作QEAC，垂足为E，则QE綊13DC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABP13SABPQE131232 2sin 4511.考点六：平行、垂直中关系的证明例 6、(2018江苏卷)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.(1)证明在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)证明在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行
17、四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.练习、(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由(1)证明由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为CD上异于
18、C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面BPD，所以MC平面PBD.练习、(2019山东潍坊模拟)如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图(2)中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为 36 2，求a的值(1)证明在题图(1)中，因为ABBC12ADa，E是AD的中点，BAD2，所以BEAC.即在题图(2)中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高由题图(1)知，A1OAO22AB22a，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为V13SA1O13a222a26a3.由26a336 2，得a6.