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1、精品名师归纳总结平面对量1、向量：既有大小， 又有方向的量。 向量不能比较大小， 只可以判定是否相等， 向量的模可以比较大小。数量：只有大小， 没有方向的量。 数量可以比较大小， 也可以判定是否相等。2、有向线段的三要素 ：起点、方向、长度起点的挑选是任意的，对于模相等且方向相同的两个向量，无论他们的起点在哪里，都认为这两个向量相等。零向量：长度为 0 的向量单位向量 ：长度等于 1个单位的向量平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 相等向量 ：长度相等且方向相同的向量3、向量既有代数特点又有几何特点，可以起到数形结合的作用。4、向量加法运算 ：三角形法就的特点：首尾相
2、连平行四边形法就的特点：共起点三角形不等式：ababab 运算性质：交换律： abba 。结合律： abcabc。 a00aa 坐标运算坐标加减 ：设 ax1 , y1， bx2, y2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就abx1x2 , y1y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、向量减法运算 ：三角形法就的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标运算：设ax1, y1，bx2, y2，就 abx1x2 , y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
3、总结设、两 点 的 坐 标 分 别 为x1 , y1，x2, y2， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2, y1y2 6、向量数乘运算 ：实数 与向量 a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa 。当0 时， a 的方向与 a 的方向相同。当0 时，a 的方向与 a 的方向相反。当0时，a0 运算律：aa 。aaa 。abab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标运算：设ax, y ，就a x, yx,y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【向量相等，坐标相同。向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无关，只与其相对位
4、置有关 】7、向量共线定理 ：向量 a a0与b 共线，当且仅当有唯独一个实数，使b a （a / /b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设ax1, y1 ， bx2 , y2，其中 b0 ，就当且仅当x1y2x2 y10 时，向量 a 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b b0 共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 练习 设 a,b 是两个不共线的向量，ABA,B,D 三点共线，就实数 p 的值是2apb, BCab,CDa2b ，假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于 OAOBOC ,均为实数 ，假设 A,B,C 三点共线，就
5、 +=1 ，反之仍旧成立。 练习 如以下图，在 ABC中，点 O是 BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC于不同的两点 M，N，假设ABmAM, ACnAN , 就 m+n的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、平面对量基本定理 ：假如 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数1、 2 ，使 a1e12 e2不共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线的向量 e1 、e2 作为这一平面内全部向量的一组基底
6、 练习 在以下向量组中，可以把向量 a=3,2 表示出来的是A，e1=0,0 ，e2=1,2 B, e1 =-1,2 ，e2 =5,-2 C, e1=3,5 ，e2 =6,10 D, e1=2,-3 ，e2=-2,3 【解题】用已知向量表示另外一些向量，除了利用向量加减法和数乘运算外，仍充分利用平面几何的一些定理。在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。常要用到相像三角形对应边成比例，三角形中位线等平面几何的性质。 练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、在 ABC中，点 M,N 满意 AM2MC , BNNC , 如MNx ABy AC, 就 x= ，可编辑资料 -
7、- - 欢迎下载精品名师归纳总结y=2、如图，已知平面内有三个向量OA,OB ,OC , 其中OA,OB 的夹角为120 度，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OA, OC 的夹角为 30 度，且OA = OB1，OC23, 如OCOAOB,R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、分点坐标公式 ：设点 是线段1 2 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是x1, y1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
8、结x , y， 当时 ， 点的 坐 标 是x1x2 , y1y2 当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2212111时，就为中点公式。）10、平面对量的数量积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a ba bcosa0, b0,0180零向量与任一向量的数量积为 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b 的几何意义： a b 等于 a 的长度 a 与b 在a 的方向上的投影b cos的乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 练习 已知点 A
9、-1 ，1,B1,2,C-2,-1,D3,4,就向量 AB在CD影为性质：设 a 和b 都是非零向量方向上的投可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aba b0当 a 与b 同向时， a ba b 。当 a 与b 反向时， a ba b 。 a aa 2a 2或 aa a a ba b 两向量夹角的范畴为 0，求夹角时肯定要留意两向量夹角的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 练习 假设非零向量 a,b 满意 a为22 b3,且ab3a2b，就 a 与 b 的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算律 ： a bb a 。aba bab。 abca
10、cb c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标运算 ：设两个非零向量ax1, y1， bx2 , y2，就 a bx1x2y1 y2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 ax, y ，就 ax2y2 ，或ax2y2 设 ax , y， bx , y，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122就abx1x2y1y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a 、 b 都是非 零向 量，ax1 , y1， bx2 , y2， 是 a 与 b 的夹角 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精
11、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa bx1x2y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bx2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 练习1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、平面对量 a夹角，就 m=1,2, b4,2,cmabmR，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A,-2 B,-1 C,1 D,22、在平行四边形 ABCD中，AD=1，角 BAD=60度，E 为 CD的重点，假设就 AB的
12、长为AC BE1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解三角形1、1正弦定理 ：在C 中， a 、 b 、c 分别为角、 、 C 的对边，就有abc2R sinsinsin C R 为C 的外接圆的半径 2正弦定理的变形公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sina ， sin 2Rb ， sin C2 Rc 。 a : b : c2 Rsin:sin:sin C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3正弦定理的应用：已知两角和任一边，求另一角和其他
13、两条边 练习在 ABC中， A60， B75， a10，就 c 等于 106A52 B 102 C.3D 56已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角【留意】在 ABC中，已知 a,b 和 A，利用正弦定懂得三角形时， 会显现解不确定的情形，一般可依据三角形中“大边对大角，三角形内角和定理”来取舍，详细情形 如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 为锐角A为钝角或直角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关 系absinAabsinA式bsinA a ba ba ba b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
14、纳总结解的无解一解两解一解一解无解个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C3、三角形面积公式 ： S111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222bcsinabsinCacsin4、余弦定理： 在C 中，有 a 2b2c22bc cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：b2c2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos2bc应用： 已知三边，求各角已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 练习在 ABC中， a3，b1，c2，就 A等于 A30B 45C60D755、三角形中常用结论在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别是 a
15、,b,c ，常见的结论有（1） ） A+B+C=（2） ） 在三角形中，大角对大边，大边对大角。大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在 ABC中， AB. ab. sin A sin B.（3） ） 常用三 角恒 等式 ： sin A+B=sin C。 cos A+B =-cos C 。 tanA+B=-tanC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin（AB C（ ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 练习cos;cosC2Csin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c（1） ） 假
16、设 a,b,c成等差数列，证明 sinA+sinC=2sinA+C（2） ） 假设 a,b,c成等比数列，求 cosB 的最小值6、三角形外形的判定，利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关系或者边边关系再进行下一步求解 练习1、在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，假设直线 bx+ycosA+cosB=0与 ax+ycosB+cosA=0平行，就 ABC 肯定是A, 锐角三角形 B,等腰三角形 C, 直角三角形 D ，等腰或者直角三角形abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、在 ABC中，假设cos Acos Bcos C。就 ABC是 可编辑
17、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A直角三角形B等边三角形 C钝角三角形D等腰直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、三角形的面积公式的挑选1已知三角形一边及该边上的高，利用2已知三角形的两边及其夹角，利用S1Sah21 ab sin C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知三角形的三边，利用 练习Sp pa pb pc, 其中 p= abc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、在 ABC中， a 32，b23，cos C1，就3ABC的面积为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
18、名师归纳总结A33B 23C 43D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、 在ABC中 ， 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c， 已 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab, c3,cos 2 Acos2 B3 sinAcosA3 sin B cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ） 求角 C的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） 假设sin A4 ，求ABC的面积5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，a=btanA，且 B为钝角（1） ） 证明 AB2（2） ） 求 sinA+sinC 的取值范畴24、已知 A，B，C 为ABC的三个内角， 其所对的边分别为 a，b，c，且 2cos2 Acos A0.(1) 求角 A 的值。(2) 假设 a23，b c 4，求 ABC的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载