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1、高中数学向量专题【根底学问精讲】1.向量的定义既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. 表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，也可以用字母a、b、c等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用、留意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).2.向量的模所谓向量的大小，就是向量的长度(或称模)，记作或者.向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小.3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用表示. 向量的方向是不定的，或者说任何方向都是向量的方向，因此向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.4.平行向量、共线向量方向一样或
2、相反的非零向量称为平行向量.特殊规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.依据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如与也是一对平行向量.由于任何一组平行向量都可移到同始终线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量与是一组共线向量；向量与也是一组共线向量.5.相等向量长度相等且方向一样的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作=.零向量与零向量相等，随意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【重点难点解析】通过本节学习，应当驾驭：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)驾驭向量的
3、几何表示，会用字母表示向量；(3)理解平行向量的概念及表示法，理解共线向量的概念.例1 推断下列各命题是否正确(1)若=，则=(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.(3)若=,=,则=(4)两向量、相等的充要条件是(5)=是向量=的必要不充分条件.(6) =的充要条件是A与C重合，B与D重合.解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不肯定一样.(2)正确.=,=且.又A、B、C、D是不共线的四点.四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则DC，且与方向一样，因此=.(3)正确.=，的长度相等且方向一样；又=，的长度相等
4、且方向一样.，的长度相等且方向一样，故 =(4)不正确.当,但方向相反，即使=，也不能得到=，故不是=的充要条件.(5)正确.这是因为=,但=,所以=是 =的必要不充分条件.(6)不正确.这是因为=时，应有：=及由A到B与由C到D的方向一样，但不肯定要有A与C重合、B与D重合.说明：针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应当醒悟的相识到，两非零向、相等的充要条件应是、的方向一样且模相等.针对结论(3)，我们应当理解向量相等是可传递的.结论(6)不正确，告知我们平面对量与相等，并不要求它们有一样的起点与终点.当然假如我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.例2 如图所示，
5、ABC中，三边长AB、BC、AC均不相等，E、F、D是AC，AB，BC的中点.(1)写出与共线的向量.(2)写出与的模大小相等的向量.(3)写出与相等的向量.解：(1)E、F分别是AC，AB的中点EFBC从而，与共线的向量，包括：，.(2)E、F、D分别是AC、AB、BC的中点EF=BC,BD=DC= BC.又AB、BC、AC均不相等从而，与的模大小相等的向量是：、(3)与相等的向量，包括：、.例3 推断下列命题真假(1)平行向量肯定方向一样.(2)共线向量肯定相等.(3)起点不同，但方向一样且模相等的几个向量是相等的向量.(4)不相等的向量，则肯定不平行.(5)非零向量的单位向量是.解：(1
6、)假命题，还可以方向相反；(2)假命题，共线向量仅方向一样或相反；大小不肯定相等；(3)真命题，因为向量与起点位置无关；(4)假命题，因为若,方向一样，但只要，则.(5)真命题，任一非零向量：的单位向量为.例4 如图，已知：四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又=.求证：=，证明：=AB=DC，且ABDC.从而，四边形ABCD是平行四边形.ADBC，AD=BCN、M分别是AD、BC的中点.AN=AD,MC=BC.AN=MC.又ANMC，四边形AMCN是平行四边形.于是得：AMNC，AM=NC.又由图可知：与的方向一样.=【难题巧解点拔】例1 如图，已知四边形ABCD是矩形，O是两对
7、角线AC与BD的交点，设点集M=A,B,C,D,O、向量的集合T=任P，QM，且P、Q不重合，试求集合T的子集个数.分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清晰集合T中有多少个相异的向量.解：以矩形ABCD的四顶点及它的对角线交点O，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：=、=;=、=;、；、；=、=;=、=.它们中有12个向量是各不相等的.故T是一个12元集.所以T有212个子集.说明：在上述解题过程中，我们肯定要依据集合元素的互异性.算出T中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的
8、结果.例2 已知；如图，点D在ABC的边BC上，且与B、C不重合，E、F分别在AB、AC上，=.(1)求证：BDEDCF.(2)求当D在什么位置时，四边形AEDF的面积可以取到最大值证明：(1)=DFAE，DF=EA.从而，得：四边形AEDF是平行四边形DEAF，DE=AF由DEAF可得：BDE=C由DFAE可得：B=FDCBDEDCF(2)设BC=a,AC=b,AB=c,BD=x,则DC=a-x.BDEDCF.=从而，=，设比为k1.=，设比为k2.由BE+DF=c,ED+FC=b.可得：xk1+(a-x)k1=c,k1=.xk2+(a-x)k2=b,k2=.DF=(a-x)DE=x由点F作
9、FTAB，垂足为T由锐角三角函数，FT=AFsinA=xsinASAEDF=DFFT=(a-x)xsinA= (ax-x2)sinA=-(x-)2sinAsinA当且仅当x=时，等号成立.答：D是BC边的中点时，SAEDF取到最大值.例3 如图A1，A2，A8是O上的八个等分点，则在以A1，A2A8及圆心O九个点中随意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个模等于半径倍的向量有多少个分析：(1)由于A1、A2A8是O上的八个等分点，所以八边形A1A2A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与O的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是与 (i=1,2,，8)两类.(2)O内接正方形的
10、边长是半径的倍，所以我们应考虑与圆心O形成90圆心角的两点为端点的向量个数.解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是 (i=1,2，8)共8个；另一类是 (i=1,2,8)也有8个，两类合计16个.(2)以A1，A2，A8为顶点的O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍.所以模为半径倍的向量共有422=16个.说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与 (i=1，2，8)两类，一般我们易想到 (i=1,2,，8)这8个，而易遗漏 (i=1，2，8)这
11、8个.(2)圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量.例如边A1A3对应向量与.因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满意条件的向量个数为8是错误的.【命题趋势分析】本节着重考察对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.【典型热点考题】例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3分析：本题考察单位向量和共线向量的概念及它们之间的联络等根底学问，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易推断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反
12、，它们不肯定相等，所以(3)也是假命题.选A.例2 如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.(1)与向量相等的向量有 ；(2)若=3，则向量的模等于 .分析：本题考察用向量的观点对平面图形进展初步推断的实力，是简单题，由条件，可得=且=，所以=.于是E、D、C三点共线，故=+=2=6.答：(1) ，；(2)6例3 下列命题中，正确的是( )A.=B.C. =D.=0=0解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可解除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.应解除D，应选C.例4 下列四个命题：若=0,则=0；若=,则=或=-；若与是平行向量，则=
13、；若=，则-=正确命题个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4分析：是忽视了0与不同，由于=0=,但不能写成0；是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度一样，并不意味它们的方向一样或相反；是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向一样或相反，而它们的模不肯定相等；正确，故选A.强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.下列命题中的假命题是( )A.向量与的长度相等B.两个相等向量若起点一样，则终点必一样C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等2.如图，在圆O中，向量，是( )A.有一样起点的向量 B.单位向量C.相等的向量D
14、.模相等的向量 3.如图，ABC中，DEBC，则其中共线向量有( )A.一组B.二组C.三组D.四组4.若是任一非零向量，是单位向量，下列各式；0；=1；=，其中正确的有( )A.B.C.D.5.四边形ABCD中，若向量与是共线向量，则四边形ABCD( )A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形6.把平面上全部单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一个圆面C.圆上的一群弧立点D.一个圆7.若，是两个不平行的非零向量，并且, ，则向量等于( )A. B. C. D. 不存在8.命题p：与是方向一样的非零向量，命题q:
15、 与是两平行向量，则命题p是命题q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、推断题1.向量与是两平行向量.( )2.若是单位向量，也是单位向量，则=.( )3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30的向量就不是单位向量.( )4.与任一向量都平行的向量为向量.( )5.若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形.( )6.两向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点也一样.( )7.设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是长度的倍.( )8.已知四边形ABCD是菱形，则=是菱形ABCD为正方形的充要条件.( )9.在坐标平面上，以
16、坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆.( )10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )三、填空题1.已知，为非零向量，且与不共线，若，则与必定 .2.已知=4,=8，AOB=60，则= .3.如图，已知O是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个. 4.如图所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则与向量共线的向量有 ；若=1.5,则= .5.已知四边形ABCD中，=,且=,则四边形ABCD的形态是 .四、解答题1.如图，在ABC中，已知：向量=,=,求证：=.2.在直角坐标系中，将全部与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上，其终点的集合构成
17、什么图形【素养优化训练】1.已知、是随意两个向量，下列条件：=;=;与的方向相反；=或=;与都是单位向量.其中，哪些是向量与共线的充分不必要条件 .2.已知ABCD是等腰梯形，ABDC，下列各式：=;=;=;.正确的式子的序号是 .3.不相等的向量和，有可能是平行向量吗若不行能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.4.下列各组量是不是向量假如是向量，说明这些向量之间有什么关系(1)两个三角形的面积S1，S2；(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1，F2；(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2；(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.【生活实际运用】某人从A点动身
18、向西走了10米，到达B点，然后变更方向按西偏北60走了15米到达C点，最终又向东走了10米到达D点.(1)作出向量、 (用1cm长的线段表示10m长)；(2)求.解：(1)(2)明显=,故=15cm【学问验证明验】已知某轮船从S岛沿北偏西30的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移.【学问探究学习】一小球在30m高处，以2m/s的速度程度抛出，请你用有向线段画出小球经过2S后的程度位移，竖直位移，并计算出实际位移的大小.(g=10m/s2)解：依题意：v0=2m/s,t=2s程度位移x=22=4m竖直位移h=gt2=20m实际位移大小是：=4m参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A二、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.三、1.不共线 2.4 3.12 4.， 3 5.等腰梯形四、1.提示：证F平分AC，E平分BC.2.平行于x轴，且与x轴的间隔 为1的两条直线【素养优化训练】1. 2.3.有三种状况：(1)两个向量和中有一个是零向量，另一个是非零向量；(2)向量，为模不相等，方向一样的两个非零向量；(3)向量，为非零向量且方向相反4.(1)不是向量 (2)是向量，它们是方向一样的向量 (3)是向量，不共线 (4)模相等方向相反的向量