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1、学习必备精品知识点平面向量1、 向量： 既有大小，又有方向的量。 向量不能比较大小， 只可以判断是否相等，向量的模可以比较大小。数量：只有大小，没有方向的量。 数量可以比较大小， 也可以判断是否相等。2、有向线段的三要素 ：起点、方向、长度起点的选择是任意的，对于模相等且方向相同的两个向量，无论他们的起点在哪里，都认为这两个向量相等。零向量 ：长度为 0的向量单位向量 ：长度等于 1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量 ：长度相等且方向相同的向量3、向量既有代数特征又有几何特征，可以起到数形结合的作用。4、向量加法运算 ：三角形法则的特点：首
2、尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab运算性质：交换律： abba ；结合律：abcabc；00aaa 坐标运算（坐标加减） ：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy5、向量减法运算 ：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,ax y，22,bxy， 则12 12,a bx x y y设、两 点 的 坐 标 分 别 为11,x y，22,xy， 则1212,xxyy 6、向量数乘运算 ：实数与向量 a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa ；当0时，a 的方向与 a的方向相同；当0时，a 的方向与 a的方向相反；当0
3、时，0a运算律：aa ；aaa；ababbaCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备精品知识点坐标运算：设,ax y ，则,ax yxy 【向量相等，坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关】7、向量共线定理：向量0a a与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba/ / )ab（设11,ax y，22b,xy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量 a 、0b b共线 练习 设 a,b 是两个不共线的向量，2,2ABapb BCab CDab，
4、若A,B,D 三点共线，则实数p 的值是对于OAOBOC(,均为实数 ) ，若 A,B,C 三点共线，则+=1，反之仍然成立。 练习 如图所示，在ABC中，点 O是 BC的中点，过点 O的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点 M ，N，若,ABmAMACnAN, 则 m+n的值为8、平面向量基本定理 ：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee （不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 练习 在下列向量组中，可以把向量a=（3,2 ）表示出来的是A，e1=（0,0 ） ，e2=（1,2 ）B,
5、 e1=（-1,2 ） ，e2=（5,-2 ）C, e1=（3,5 ） ，e2=（6,10）D,e1=（2,-3 ） ，e2=（-2,3 ）【解题】用已知向量表示另外一些向量，除了利用向量加减法和数乘运算外，还充分利用平面几何的一些定理。在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。常要用到相似三角形对应边成比例，三角形中位线等平面几何的性质。 练习 1、在ABC中，点 M,N满足2,AMMC BNNCMNxABy AC若, 则 x= ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备精品知识点y= 2、如图，已知平面内
6、有三个向量,OA OB OC, 其中,OA OB的夹角为120 度，,OA OC的夹角为 30 度，且=12 3,( ,)OAOBOCOCOAOBR，若,则的值为9、分点坐标公式 ：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy， 当12时 ， 点的 坐 标 是1212,11xxyy（ 当时，就为中点公式。）110、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0 a b 的几何意义： a b 等于 a的长度a与 b 在 a的方向上的投影cosb的乘积 练习 已知点 A(-1 ，1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量A
7、BCD在方向上的投影为性质 ：设 a和b 都是非零向量0aba b当 a与b 同向时，a ba b；当 a与b 反向时，a ba b；22a aaa或 aa aa ba b两向量夹角的范围为0，求夹角时一定要注意两向量夹角的范围 练习 若非零向量 a,b 满足2 2,()(32 )3ababab且，则 a 与 b 的夹角为运算律 ： a bb a； aba bab； abca cb c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备精品知识点坐标运算 ：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy
8、y 若,ax y ，则222axy，或22axy 设11,ax y，22,bxy，则12120abxxy y设 a 、 b 都是非 零向量 ，11,ax y，22,bxy，是 a 与 b 的夹角，则121222221122cosx xy ya ba bxyxy 练习 1、平面向量(1,2),(4,2),cmab(mR)ab，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m= A,-2 B,-1 C,1 D,2 2、在平行四边形 ABCD 中，AD=1 ，角 BAD=60 度，E为 CD的重点，若1AC BE，则 AB的长为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
9、 - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备精品知识点解三角形1、 （1）正弦定理 ：在C 中，a、 b、c分别为角、 C 的对边， ，则有2sinsinsinabcRC(R为C 的外接圆的半径 ) （2）正弦定理的变形公式：2 sinaR，2sinbR，2 sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC ；（3）正弦定理的应用：已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 练习 在ABC 中，A60，B75，a10，则 c 等于( ) A52 B 10 2 C.1063 D 5 6 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角【注意】在AB
10、C中，已知 a,b 和 A，利用正弦定理解三角形时， 会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角，三角形内角和定理”来取舍，具体情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关 系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解3、三角形面积公式 ：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理： 在C 中，有2222cosabcbc推论：222cos2bcabc应用： 已知三边，求各角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备精品知识点已知两边和他们的夹角，求第
11、三边和其他两角 练习 在ABC中，a3，b1，c2，则 A等于( )A30 B45 C60 D755、三角形中常用结论在ABC中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，常见的结论有（1） A+B+C= （2） 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在 ABC中，AB? ab? sin A sin B. （3） 常用三 角恒 等式 ：sin （ A+B）=sin （C） ； cos（A+B） =-cos （ C） ；tan(A+B)=-tan(C) sin)cos();cos)sin()22ABCABCCC（ 练习 1、ABC的内角 A,B,C 所
12、对的边分别为a,b,c （1） 若 a,b,c成等差数列，证明 sinA+sinC=2sin(A+C) （2） 若 a,b,c成等比数列，求 cosB 的最小值6、三角形形状的判定，利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关系或者边边关系再进行下一步求解 练习 1、在ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若直线bx+ycosA+cosB=0与 ax+ycosB+cosA=0平行，则ABC一定是（）A,锐角三角形 B,等腰三角形 C, 直角三角形 D ，等腰或者直角三角形2、在 ABC 中，若acos Abcos Bccos C；则 ABC是( )A直角三角形B等边三角形C
13、 钝角三角形D 等腰直角三角形7、三角形的面积公式的选择（1）已知三角形一边及该边上的高，利用12Sah（2）已知三角形的两边及其夹角，利用1sin()2SabC（3）已知三角形的三边，利用()()(),2abcSp papbpc其中 p= 练习 1、在 ABC 中，a3 2，b23，cos C 13，则 ABC的面积为 ( ) A33 B2 3 C4 3 D.3 2 、 在ABC 中 ， 角A,B,C所 对 的 边 分 别 为a,b,c， 已 知22,3,coscos3sinAcosA3 sincosab cABBB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备精品知识点（1） 求角 C的大小（2） 若4sin5A，求ABC的面积3、设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，a=btanA，且 B为钝角（1） 证明2AB（2） 求 sinA+sinC 的取值范围4、已知 A，B，C为ABC的三个内角， 其所对的边分别为a，b，c，且 2cos2A2cos A0. (1) 求角 A的值；(2) 若 a23，bc4，求 ABC的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页