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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名 考生号考生号 考场号和座位号填写在答题卡上考场号和座位号填写在答题卡上.用用 2B 铅笔将试卷铅笔将试卷类型类型(A)填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2.作答选择题时作答选择题时， 选出每小题答案后选出每小题答案后， 用用 2B 铅笔在答
2、题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以不按以上要求作答无效上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡
3、的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1. 设集合24Axx，2,3,4,5B ，则AB （）A. 2B.2,3C.3,4D.2,3,42. 已知2iz ，则iz z （）A.62iB.42iC.62iD.42i3. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.2 2C.4D.4 24. 下列区间中，函数 7sin6fxx单
4、调递增的区间是（）A.0,2B.,2C.3,2D.3,225. 已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 66. 若tan2 ，则sin1sin2sincos（）A.65B.25C.25D.657. 若过点, a b可以作曲线exy的两条切线，则（）A.ebaB.eabC.0ebaD.0eab8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和
5、是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二二 选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9. 有一组样本数据1x，2x，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，ny，其中iiyxc(1, 2,),inc为非零常数，则（）A. 两组样本数据的样本平均数相同B.
6、两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同10. 已知O为坐标原点， 点1cos,sinP，2cos , sinP，3cos,sinP，( )1,0A，则（）A.12OPOPB.12APAPC.312OA OPOP OP D.123OA OPOP OP 11. 已知点P在圆225516xy上，点4,0A、0,2B，则（）A. 点P到直线AB的距离小于10B. 点P到直线AB的距离大于2C. 当PBA最小时，3 2PB D. 当PBA最大时，3 2PB 12. 在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB ，其中0,1，0
7、,1，则（）A. 当1时，1AB P的周长为定值B. 当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C. 当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD. 当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1AB P三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13. 已知函数 322xxxafx是偶函数，则a_.14. 已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx(0p )的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQO P，若6FQ ，则C的准线方程为_.15. 函数 212lnf xxx的最小值为_.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪
8、纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折， 规格为20dm 12dm的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么1nkkS_2dm.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17. 已知数列na满足11a ，11,2,.nnnana
9、an为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前 20 项和.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）
10、若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19. 记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac，点D在边AC上，sinsinBDABCaC.（1）证明：BDb；（2）若2ADDC，求cosABC.20. 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.21. 在平面直角坐标系xO y中，已知点117,0F 、21217,
11、02FMFMF，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线12x 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TA TBTP TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.22. 已知函数 1lnfxxx.（1）讨论 f x的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：112eab.2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名 考生
12、号考生号 考场号和座位号填写在答题卡上考场号和座位号填写在答题卡上.用用 2B 铅笔将试卷铅笔将试卷类型类型(A)填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2.作答选择题时作答选择题时， 选出每小题答案后选出每小题答案后， 用用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹的钢笔
13、或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以不按以上要求作答无效上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要
14、求的.1. 设集合24Axx，2,3,4,5B ，则AB （）A. 2B.2,3C.3,4D.2,3,4【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求AB.【详解】由题设有2,3AB，故选：B .2. 已知2iz ，则iz z （）A.62iB.42iC.62iD.42i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2zi，故2zi ，故222 2 =4+4226 2z ziiiiiii 故选：C.3. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面
15、圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l，解得2 2l.故选：B.4. 下列区间中，函数 7sin6fxx单调递增的区间是（）A.0,2B.,2C.3,2D.3,22【答案】A【解析】【分析】解不等式22262kxkkZ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sinyx的单调递增区间为22,22kkkZ，对于函数 7sin6fxx，由22262kxkkZ，解得22233kxkkZ，取0k ，可得函数 f x的一个单调递增区间为2,33，则20,233 ，2,233，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k ，可得函数
16、 f x的一个单调递增区间为58,33，32,233 且358,233，358,2,233，CD 选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成sinyAx形式，再求sinyAx的单调区间，只需把x看作一个整体代入sinyx的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数5. 已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】【 分 析 】 本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到1226MFMFa， 借 助 基 本 不 等 式212122MFMFMFMF即可
17、得到答案【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立） 故选：C【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.6. 若tan2 ，则sin1sin2sincos（）A.65B.25C.25D.65【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sincos)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2 即可得到结果【详解】将式子进行齐次化处理得：22s
18、insincos2sin cossin1 sin2sinsincossincossincos2222sinsincostantan422sincos1tan145故选：C【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2 ，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论7. 若过点, a b可以作曲线exy的两条切线，则（）A.ebaB.eabC.0ebaD.0eab【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线xye的图象，根据直观即可判定点, a b在曲线下方和x轴上方时才可以
19、作出两条切线.【详解】在曲线xye上任取一点,tP t e，对函数xye求导得exy，所以，曲线xye在点P处的切线方程为ttyeext，即1ttye xt e，由题意可知，点, a b在直线1ttye xt e上，可得11tttbaet eat e ，令 1tf tat e ，则 tftat e.当ta时， 0ft，此时函数 f t单调递增，当ta时， 0ft，此时函数 f t单调递减，所以， maxaf tf ae，由题意可知，直线yb与曲线 yf t的图象有两个交点，则 maxabf te，当1ta时， 0f t ，当1ta时， 0f t ，作出函数 f t的图象如下图所示：由图可知，当
20、0abe时，直线yb与曲线 yf t的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye的图象如图所示，根据直观即可判定点, a b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出
21、的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561( )()()()6636366PPPP甲， 乙，丙，丁，1()0( ) ()()( ) ()36PPPPPP甲丙甲丙， 甲丁甲丁，1()() ()()0() ()36PPPPPP乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P BP AB是否成立二二 选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
22、 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9. 有一组样本数据1x，2x，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，ny，其中iiyxc(1, 2,),inc为非零常数，则（）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C 利用两组数据的线性关系有()( )E yE xc、()( )D yD x，即可判
23、断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断 B、D 的正误.【详解】A：()()( )EyE xcE xc且0c ，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为ix，则第二组的中位数为iiyxc，显然不相同，错误；C：( )( )( )( )D yD xD cD x，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为maxminxx，则第二组的极差为maxminmaxminmaxmin() ()yyxcxcxx，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O为坐标原点， 点1cos,sinP，2cos , sinP，3cos,sinP，( )1,0A，则（）A.12OPOPB.12A
24、PAPC.312OA OPOP OP D.123OA OPOP OP 【答案】AC【解析】【分析】A、B 写出1OP，2OP、1APuuu r，2APuuu r的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【 详 解 】 A ：1(cos ,sin )OP，2(cos, sin)OP， 所 以221|cossin1OP，222|(cos)(sin)1OP ，故12| |OPOP，正确；B：1(cos1,sin)AP，2(cos1, sin)AP，所以222221|(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4
25、sin2 |sin|22AP ，同理222|(cos1)sin2|sin|2AP，故12|,|APAP不一定相等，错误；C：由题意得：31 cos()0 sin()cos()OA OP ，12coscossin( sin)cos()OP OP ，正确；D：由题意得：11 cos0 sincosOA OP ，23coscos()( sin) sin()OP OP cos cos 2，故一般来说123OA OPOP OP 故错误；故错误；故选：AC11. 已知点P在圆225516xy上，点4,0A、0,2B，则（）A. 点P到直线AB的距离小于10B. 点P到直线AB的距离大于2C. 当PBA最小
26、时，3 2PB D. 当PBA最大时，3 2PB 【答案】ACD【解析】【分析】 计算出圆心到直线AB的距离， 可得出点P到直线AB的距离的取值范围， 可判断 AB 选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断 CD 选项的正误.【详解】圆225516xy的圆心为5,5M，半径为4，直线AB的方程为142xy，即240 xy，圆心M到直线AB的距离为2252 541111 545512 ，所以，点P到直线AB的距离的最小值为11 5425，最大值为11 54105，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可
27、知PMPB，22052534BM ，4MP ，由勾股定理可得223 2BPBMMP，CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是,dr dr.12.在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB ，其中0,1，0,1，则（）A. 当1时，1AB P的周长为定值B. 当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C. 当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD. 当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1AB P【答案】BD【解析】【分析】对于 A，由于等价向量关系，联系到一个三角
28、形内，进而确定点的坐标；对于 B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于 C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于 D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数【详解】易知，点P在矩形11BCCB内部（含边界） 对于 A，当1时，11=BPBCBBBCCC ，即此时P线段1CC，1AB P周长不是定值，故 A错误；对于 B， 当1时，1111=BPBCBBBBBC ， 故此时P点轨迹为线段11BC， 而11/BC BC，11/BC平面1ABC，则有P到平面1ABC的距离为定
29、值，所以其体积为定值，故 B 正确对于 C，当12时，112BPBCBB ，取BC，11BC中点分别为Q，H，则BPBQQH ，所以P点轨迹为线段QH， 不妨建系解决， 建立空间直角坐标系如图，13,0,12A，0,0P,，10,02B，则13,0,12AP ，10,2BP ，110A P BP ，所以0或1故,H Q均满足，故 C 错误；对于 D，当12时，112BPBCBB ，取1BB，1CC中点为,MNBP BMMN ，所以P点轨迹为线段MN设010,2Py，因为30,02A，所以031,22APy ，13 1, 122AB ，所以00311104222yy ，此时P与N重合，故 D 正
30、确故选：BD【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13. 已知函数 322xxxafx是偶函数，则a_.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.【详解】因为 322xxxafx，故322xxfxxa ，因为 f x为偶函数，故 fxf x，时332222xxxxxaxa ，整理得到12 +2=0 xxa，故1a ，故答案为：114. 已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx(0p )的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQO
31、P，若6FQ ，则C的准线方程为_.【答案】32x 【解析】【分析】先用坐标表示PQ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果.【详解】抛物线C：22ypx(0p )的焦点,02pF,P 为C上一点，PF与x轴垂直，所以 P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得 P 的纵坐标为p,不妨设(, )2pPp,因为 Q 为x轴上一点，且PQO P，所以 Q 在 F 的右侧，又|6FQ ，(6,0),(6,)2pQPQpuuu r因为PQO P，所以PQ OP 2602pp ,0,3ppQ，所以C的准线方程为32x 故答案为：32x .【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15. 函数 2
32、12lnf xxx的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】由解析式知( )fx定义域为(0,)，讨论102x、112x、1x ，并结合导数研究的单调性，即可求( )fx最小值.【详解】由题设知：( )| 21|2 lnfxxx定义域为(0,)，当102x时，( )122 lnf xxx，此时( )fx单调递减；当112x时，( )212 lnf xxx，有2( )20fxx，此时( )fx单调递减；当1x 时，( )212 lnfxxx，有2( )20fxx，此时( )fx单调递增；又( )fx在各分段的界点处连续，综上有：01x时，( )fx单调递减，1x 时，( )fx单调递增；( )(1
33、)1fxf故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折， 规格为20dm 12dm的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS ，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么1nkkS_2dm.【答案】(1). 5(2).415 37202nn【解析】【分析】 （1）按对折列举即可； （2）根据规律可得nS，再根据错位相减法得
34、结果.【详解】 （1）由对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：53125 610 32022，；，共 4 种不同规格（单位2dm )；故对折 4 次可得到如下规格：5124，562，53，3102，3204，共 5 种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为 1202 dm,第 n 次对折后的图形面积为111202n，对于第 n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n 种（证明从略） ，故得猜想1120(1)
35、2nnnS，设0121112011202120312042222nknknSSL，则1211120 2120 3120120(1)22222nnnnS，两式作差得：211201111124012022222nnnS1160 1120122401212nnn112011203120360360222nnnnn，因此，4240315372072022nnnnS.故答案为：5；41537202nn.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nna b结构，其中na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于nnab结构，利用分组求和法；
36、（4）对于11nna a结构，其中na是等差数列，公差为0d d ，则111111nnnna adaa，利用裂项相消法求和.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17. 已知数列na满足11a ，11,2,.nnnanaan为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前 20 项和.【答案】 （1）122,5bb； （2）300.【解析】【分析】 （1）根据题设中的递推关系可得13nnbb，从而可求nb的通项.（2）根据题设中的递推关系可得na的
37、前20项和为20S可化为2012910210Sbbbb，利用（1）的结果可求20S.【详解】 （1）由题设可得121243212,12 1 5baabaaa 又22211kkaa，2122kkaa，*()kN故2223kkaa，即13nnbb，即13nnbb所以nb为等差数列，故21331nbnn .（2）设na的前20项和为20S，则2012320Saaaa，因为123419201,1,1aaaaaa，所以20241820210Saaaa129109 1021021023103002bbbb.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关
38、系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答 A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的
39、分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】 （1）见解析； （2）B类【解析】【分析】 （1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可 （2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可【详解】 （1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，10001 0.80.2P X ；200.8 10.60.32P X ；1000.8 0.60.48P X 所以X的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，0 0.220 0.32 100 0.4854.4E X 若小明先回答B问题，记Y为小明的
40、累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100010.60.4P Y ；800.6 1 0.80.12P Y ；1000.8 0.60.48P X 所以 0 0.480 0.12 100 0.4857.6E Y 因为54.457.6，所以小明应选择先回答B类问题19. 记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac，点D在边AC上，sinsinBDABCaC.（1）证明：BDb；（2）若2ADDC，求cosABC.【答案】 （1）证明见解析； （2）7cos12ABC.【解析】【分析】 （1）根据正弦定理的边角关系有acBDb，结合已知即可证结论.（2）由题设2,33bbBDb
41、ADDC，应用余弦定理求cosADB、cosCDB，又ADBCDB ，可得42221123bbaa，结合已知及余弦定理即可求cosABC.【详解】（1）由题设，sinsinaCBDABC，由正弦定理知：sinsincbCABC，即sinsinCcABCb，acBDb，又2bac，BDb，得证.（2）由题意知：2,33bbBDb ADDC，22222241399cos24233bbbccADBbbb，同理2222221099cos2233bbbaaCDBbbb，ADBCDB ，2222221310994233bbcabb，整理得2221123bac，又2bac，42221123bbaa，整理得4
42、22461130aa bb，解得2213ab或2232ab，由余弦定理知：222224cos232acbaABCacb，当2213ab时，7cos16ABC不合题意；当2232ab时，7cos12ABC；综上，7cos12ABC.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADBCDB 得到,a b c的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cosABC.20. 如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.【答案】(1)详见
43、解析(2)36【解析】【分析】 （1）根据面面垂直性质定理得 AO平面 BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】 （1）因为 AB=AD,O 为 BD 中点，所以 AOBD因为平面 ABD平面 BCD=BD,平面 ABD平面 BCD，AO 平面 ABD，因此 AO平面 BCD，因为CD 平面 BCD，所以 AOCD(2)作 EFBD 于 F, 作 FMBC 于 M,连 FM因为 AO平面 BCD，所以 AOBD, AOCD所以 EFBD, EFCD,BDCDD,因此 EF平面 BCD，即 EFBC因为 FMBC，FMEFFI,所以 BC平面 E
44、FM，即 BCMF则EMF为二面角 E-BC-D 的平面角,4EMF因为BOOD,OCD为正三角形,所以OCD为直角三角形因为2BEED,1112(1)2233FMBF从而 EF=FM=213AOAO Q平面 BCD,所以11131133326BCDVAO S 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21. 在平面直角坐标系xO y中，已知点117,0F 、21217,02FMFMF，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线12x 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TA TBTP TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.【
45、答案】 （1）221116yxx； （2）0.【解析】【分析】 （1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点1F、2F为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值，即可得出轨迹C的方程；（2）设点1,2Tt，设直线AB的方程为112ytkx ，设点11,A x y、22,B x y，联立直线AB与曲线C的方程，列出韦达定理，求出TA TB的表达式，设直线PQ的斜率为2k，同理可得出TP TQ的表达式，由TA TBTP TQ化简可得12kk的值.【详解】因为121222 17MFMFF F，所以，轨迹C是以点1F、2F为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为222210,0 xyabab，则22a ，
46、可得1a ，2174ba，所以，轨迹C的方程为221116yxx；（2）设点1,2Tt，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线AB的方程为112ytkx ，即1112yk x tk ，联立1122121616yk xtkxy ，消去y并整理可得222111111621602kxktkxtk，设点11,A x y、22,B x y，则112x 且212x .由韦达定理可得2111221216kktxxk，211221116216tkx xk，所以，22122121121122112 111111222416tkxxTA TBkxxkx xk，设直线PQ的斜率为2k，同理
47、可得2222212 116tkTP TQk，因为TA TBTP TQ，即222212221212 112 11616tktkkk，整理可得2212kk，即12120kkkk，显然120kk，故120kk.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22. 已知函数 1lnfxxx.（1）讨论 f x的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：112eab.【答案】 （1） f x的递增区间为0,1，递减区间为
48、1,+； （2）证明见解析.【解析】【分析】 （1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,xxab，原不等式等价于122xxe，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21xtx，从而把12xxe转化为1 ln1ln0tttt在1,上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】 （1）函数的定义域为0,，又 1 ln1lnfxxx ，当0,1x时， 0fx，当1,+x时， 0fx，故 f x的递增区间为0,1，递减区间为1,+.（2）因为lnlnbaabab，故ln1ln +1baab，即ln1ln +1abab，故11ffab，设1211,xxab，由（1
49、）可知不妨设1201,1xx.因为0,1x时， 1 ln0f xxx，,xe时， 1 ln0f xxx，故21xe.先证：122xx，若22x ，122xx必成立.若22x ， 要证：122xx，即证122xx，而2021x，故即证122fxfx，即证：222f xfx，其中212x.设 2,12g xfxfxx，则 2lnln 2gxfxfxxx ln2xx ，因为12x，故021xx，故ln20 xx，所以 0gx，故 g x在1,2为增函数，所以 10g xg，故 2fxfx，即222f xfx成立，所以122xx成立，综上，122xx成立.设21xtx，则1t ，结合ln1ln +1a
50、bab，1211,xxab可得：11221 ln1 lnxxxx，即：111 ln1 lnlnxttx，故11lnln1tttxt ，要证：12xxe，即证11txe，即证1ln1ln1tx，即证：1lnln111ttttt ，即证：1 ln1ln0tttt，令 1 ln1ln ,1S ttttt t，则 112ln11lnln 111tStttttt ，先证明一个不等式：ln1xx.设 ln1u xxx，则 1111xu xxx ，当10 x 时， 0u x；当0 x 时， 0u x，故 u x在1,0上为增函数，在0,+上为减函数，故 max00u xu，故ln1xx成立由上述不等式可得当