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1、2021 年全国高考（新高考 I 卷）数学试卷及答案一、单选题1.设集合Ax|2 x 4，B 2,3,4,5，则AB （A.2B.2,3C.3,4D.2,3,4）C.6 2iD.4 2i）2.已知z 2i，则z(z i) （A.62iB.42i3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（A.2B.2 2C.4D.4 2）4.下列区间中，函数f (x)7sin( xA.(0,)单调递增的区间是（6C.(,)2B.(,)23)2D.(3,2)2）22xy5.已知F1，F2是椭圆C :1的两个焦点，点M在C上，则| MF1| MF2|的最大值为（94A.13B.12C.9
2、D.6）6.若tan 2，则sin(1sin2)（sincos25A.65B.C.25D.）657.若过点(a,b)可以作曲线y ex的两条切线，则（A.eb aB.ea bC.0 a ebD.0 b ea8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立二、多选题B.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立）9.有一组样本数据x1,x2,xn，由这组数
3、据得到新样本数据y1, y2, yn，其中y1 xic(i 1,2,n)，c为非零常数，则（）B.两组样本数据的样本中位数相同D.两组样本数据的样本极差相同A.两组样本数据的样本平均数相同C.两组样本数据的样本标准差相同10.已知O为坐标原点，点P1(cos,sin)，P2(cos,sin)，P3(cos(),sin()，A(1,0)，则（） A.|OP1|OP2| C.OAOP3OP1OP2 B.| AP1| AP2| D.OAOP1OP2OP3）11.已知点P在圆(x5)2(y 5)216上，点A(4,0)，B(0,2)，则（A.点P到直线AB的距离小于10C.当PBA最小时，| PB|
4、3 2B.点P到直线AB的距离大于2D.当PBA最大时，| PB | 3 2 AB AA11，0,1，12.在正三棱柱ABC A1B1C1中，点P满足BP BCBB1， 其中0,1，则（）A.当1时，AB1P的周长为定值B.当1时，三棱锥P A1BC的体积为定值1时，有且仅有一个点P，使得A1P BP21D.当时，有且仅有一个点P，使得A1B 平面AB1P2C.当三、填空题13.已知函数f (x)x3(a2x2x)是偶函数，则a .14.已知O为坐标原点，抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ OP.若| FQ | 6，则C的准线方
5、程为15.函数f (x) | 2x 1| 2ln x的最小值为.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm，20dm 6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1 240dm2，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm 6dm，20dm 3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm， 以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为次，那么2； 如果对折nSk1nkdm2.四、解答题17.已知数列an满足a11，an1an1,n为奇数.an2,n为偶数（1）记bn a2n，写出b1，
6、b2，并求数列bn的通项公式；（2）求an的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8， 能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大
7、，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2 ac，点D在边AC上，BDsin ABC asin C.（1）证明：BD b；（2）若AD 2DC，求cosABC.20.如图，在三棱锥A BCD中，平面ABD 平面BCD，AB AD，O为BD的中点.（1）证明：OA CD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE 2EA，且二面角E BC D的大小为45，求三棱锥A BCD的体积.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1( 17,0)，F2( 17,0)，点M满足| MF1| MF2| 2.记M的轨迹为C.（1）求C的
8、方程；（2）设点T在直线x 1上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且2|TA |TB |TP |TQ |，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.22.已知函数f (x) x(1ln x).（1）讨论f (x)的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna alnb a b，证明：211e.ab数学试题参考答案1-8BCBAC CDB9-12CDACACDBD3240n720 x 72013.1.14.15、116、5；22n17、解： （1）b1 a2 a11 2，a3 a22 4，b2 a4 a31 5，bn1bna2n2a2n(a2n11)a2na2n3a2n3，b
9、n是以3为公差的等差数列，bn 2(n1)3 3n1.（2）a2a4a2010(229)155，2a1a3a5a19 a21a41a201 15510 145，S20155145 300.18、 （1）若小明先回答A问题，记X为小明累计得分，则X的取值可能为：100，20，0，因 为 各 题 互 相 独 立 ， 由 分 步 完 成 原 理 得P(X 100) 0.80.6 0.48，P(X 20) 0.8(10.6) 0.32，P(X 0) 10.8 0.2，列表如下：则X的数学期望E(X ) 1000.48 200.32 00.2 54.4.（2）若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则
10、Y的取值可能为100，80，0，因为各题互相独立，由独立性原理知P(Y 100) 0.60.8 0.48，P(Y 80) 0.60.2 0.12，P(Y 0) 10.6 0.4，列表如下：先答B类，则Y的数学期望为：E(Y) 1000.48 800.12 00.4 57.6，由（1）知E(Y) E(X)，小明先选 B 类问题作答.19.解： （1）由BDsinABC asinC，根据正弦定理可得，BDb ac，又b2 ac，BDb b2，BD b.21（2）AD b，CD b，又由（1）BD b3342132212102bb2c2bcbb2a2ba29cosADB999，cosBDC，2421
11、222bbb2bbb33331320cosADBcosBDC 0，b2c2b22a2 0，9911c211 cc222acc 2a 0，( )20， 3或，3a3aa377a2c2b2a2c2ac7或（舍） ，cosABC .cosABC6122ac2ac1220.解： （1）平面ABD 平面BCD，平面ABD 平面BCD BD，AB AD，O为BD中点，AO BD，AO 平面ABD，AO 平面BCD，CD 平面BCD，AO CD.（2）方法一：取OD中点F，OCD为正三角形，CF OD，过O作OM / /CF与BC交于M点，则OM OD，OM，OD，OA两两垂直，以O为坐标原点，分别以OM，
12、OD，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B(0,1,0)，C(3 1,0)，D(0,1,0)，设A(0,0,t)，221 2则E(0,t)，OA平面BCD，平面BCE的法向量为n (x, y,z)，3 3 33 xy022nBC0 22，不妨设x 3，则y 1，z，则n( 3,1, )，二面角 tt4y2tz0nBE033 2nOA2 E BC D的大小为45，24，t 1，n OAt 42tSOCD11331333，SBCD，VABCDSBCDOA.1112242332621.解： （1）c 17，2a 2，a 1，b 4y2C表示双曲线的右支，C的方程为x 1(x 1).16211（2
13、）设T( ,m)，设直线AB的方程为：y k1(x)m，A(x1, y1)，B(x2, y2)，221yk (x)m11116x2k12(x2x)2k1m(x)m216，24216x2y2161(16k12)x2(k122k1m)xk12k1mm216 0，41111TA TB (1k1)2(x1)(x2) (1k12)x1x2(x1 x2)2224122k1mk12m21622m122m121 2k1mk11(1k1)(1k1)2，42(1k12)16kk16221116k12 16k14设kPQm212 k2，同理可得TPTQ(1k2)2，k216221m212m2122(1k2)2k22
14、16k12k1216k22，k12 k22，(1k )2k116k216k1 k2，k1 k2，k1k2 0.22.解： （1）f (x) ln x，令f (x) 0 x 1，当0 x 1，f (x) 0，f (x)单调递增；当x 1时，f (x) 0，f (x)单调递减.lnalnb11lna1lnb1，abbaab11令m，n，即证2 mne，m(1ln m) n(1ln n)，ab（2）令f (x) x(1ln x)，f (x) ln x，令f (x) 0 x 1，当0 x 1，f (x) 0，f (x)单调递增；当x 1时，f (x) 0，f (x)单调递减.f (m) f (n)，0 m1，1 n e，要证mn 2，即证f (n) f (2 m)，即证f (m) f (2 m)，令F(x) f (x) f (2 x) x(1ln x)(2 x)1ln(2 x)，x(0,1)，F(x) lnxln(2x)ln10，F(x)单调递增，F(x) F(1) 0，左边证毕！再证x(2x)右边：m(1ln m) n(1ln n) m，要证mn e，即证n(1lnn) n e，令g(x) x(1ln x) x，1 x e，g(x) 1ln x 111ln x 0，g(x)在(1,e)上单调递增，g(x) g(e) e，g(n) e，证毕！