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1、2021 年全国统一高考数学试卷（新高考全国年全国统一高考数学试卷（新高考全国卷）卷）使用省份：海南使用省份：海南 辽宁辽宁 重庆重庆一一 选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的1. 复数2i1 3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设集合1,2,3,4,5,6,1,3,6,2,3,4UAB，则UAB （）A.3B.1,6C.5,6D.1,33. 抛物线22(0)ypx p的焦点到直线1y
2、x的距离为2，则p （）A. 1B. 2C.2 2D. 44. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离） 将地球看作是一个球心为 O，半径 r 为6400km的球，其上点 A 的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数 地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1 cos )Sr（单位：2km） ，则 S 占地球表面积的百分比约为（）A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%5. 正四棱台的上下底面的边长分
3、别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（）A.20 12 3B.28 2C.563D.28 236. 某物理量的测量结果服从正态分布210,N，下列结论中不正确的是（）A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.越小，该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C.越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01的概率相等D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7. 已知5log 2a ，8log 3b ，12c ，则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacC.acbD.abc8. 已知函数 f x的定义域为
4、R，2f x为偶函数，21fx 为奇函数，则（）A.102fB.10f C. 20fD. 40f二二 选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分9. 下列统计量中，能度量样本12,nx xx的离散程度的是（）A. 样本12,nx xx的标准差B. 样本12,nx xx的中位数C. 样本12,nx xx的极差D. 样本12,nx xx的平均数10. 如图，在正方体中，O 为底面的
5、中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点则满足MNOP的是（）A.B.C.D.11. 已知直线2:0l axbyr与圆222:C xyr，点( , )A a b，则下列说法正确的是（）A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C相离C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆C 相切12. 设正整数010112222kkkknaaaa ，其中0,1ia ，记 01knaaa则（）A. 2nnB. 231nnC.8543nnD.21nn三三 填空题：本题共填空题：本题
6、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 已知双曲线222210,0 xyabab的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_14. 写出一个同时具有下列性质的函数 :fx_1212f x xf xf x；当(0,)x时，( )0fx；( )fx是奇函数15. 已知向量0abc，1a ，2bc，a bb cc a _16. 已知函数12( )1,0,0 xf xexx，函数( )f x的图象在点 11,A x f x和点 22,B xf x的两条切线互相垂直，且分别交 y 轴于 M，N 两点，则|AMBN取值范围是_四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题
7、，共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明 证明过程或演算步证明过程或演算步骤骤17. 记nS是公差不为 0 的等差数列 na的前 n 项和，若35244,aS a aS（1）求数列 na的通项公式na；（2）求使nnSa成立的 n 的最小值18. 在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca.（1）若2sin3sinCA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由19. 在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC（1）证明：平面QAD 平面ABCD；（2）求二面角BQDA
8、的平面角的余弦值20. 已知椭圆 C 的方程为22221(0)xyabab，右焦点为( 2,0)F，且离心率为63（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线MN与曲线222(0)xyb x相切证明：M，N，F 三点共线的充要条件是|3MN 21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代， 再经过一次繁殖后为第 2 代， 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP Xip i（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p
9、ppp，求()E X；（2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：230123pp xp xp xx的一个最小正实根， 求证： 当()1E X 时，1p ， 当()1E X 时，1p ；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义22. 已知函数2( )(1)xf xxeaxb（1）讨论( )f x的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：( )f x只有一个零点21,222eaba；10,22aba2021 年全国统一高考数学试卷（新高考全国年全国统一高考数学试卷（新高考全国卷）卷）使用省份：海南使用省份：海南 辽宁辽宁 重庆重庆一一 选择题选择题：
10、本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的1. 复数2i1 3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i1 3i，从而可求对应的点的位置.【详解】2i1 3i2i55i1 i1 3i10102，所以该复数对应的点为1 1,2 2，该点在第一象限，故选：A.2. 设集合1,2,3,4,5,6,1,3,6,2,3,4UAB，则UAB （）A.3B.1,6C.5,6D.1,3
11、【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求UAB .【详解】由题设可得U1,5,6B ，故U1,6AB，故选：B.3. 抛物线22(0)ypx p的焦点到直线1yx的距离为2，则p （）A. 1B. 2C.2 2D. 4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p，其到直线10 xy 的距离：0 1221 1pd，解得：2p (6p 舍去).故选：B.4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到
12、地球表面的距离） 将地球看作是一个球心为 O，半径 r 为6400km的球，其上点 A 的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数 地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1 cos )Sr（单位：2km） ，则 S 占地球表面积的百分比约为（）A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%【答案】C【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos)1 cos44242%22rr.故选：C.5. 正四棱台
13、的上下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（）A.20 12 3B.28 2C.563D.28 23【答案】D【解析】【分析】 由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积， 再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2，所以该棱台的高2222 222h ，下底面面积116S ，上底面面积24S ，所以该棱台的体积121211282164642333Vh SSS S.故选：D.6. 某物理量的测量结果服从正态分布210,N，下列结论中不正确的是（）A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9
14、,10.1)的概率越大B.越小，该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C.越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于 A，2为数据的方差，所以越小，数据在10附近越集中，所以测量结果落在9.9,10.1内的概率越大，故 A 正确；对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为0.5，故 B正确；对于 C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于1
15、0.01的概率与小于9.99的概率相等，故 C 正确；对于 D，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0的概率与落在10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在9.9,10.2的概率与落在10,10.3的概率不同，故 D 错误.故选：D.7. 已知5log 2a ，8log 3b ，12c ，则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacC.acbD.abc【答案】C【解析】【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log5log 2 2log 32ab，即acb.故选：C.8. 已知函数 f x的定义域为R，2f x为偶函数，21f
16、x 为奇函数，则（）A.102fB.10f C. 20fD. 40f【答案】B【解析】【分析】推导出函数 f x是以4为周期的周期函数，由已知条件得出 10f，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数2f x为偶函数，则22fxfx，可得31f xfx，因为函数21fx 为奇函数，则1 221fxfx ，所以，11fxf x ，所以，311f xf xf x ，即 4f xf x，故函数 f x是以4为周期的周期函数，因为函数 21F xfx为奇函数，则 010Ff，故 110ff ，其它三个选项未知.故选：B.二二 选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20
17、 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分9. 下列统计量中，能度量样本12,nx xx的离散程度的是（）A. 样本12,nx xx的标准差B. 样本12,nx xx的中位数C. 样本12,nx xx的极差D. 样本12,nx xx的平均数【答案】AC【解析】【分析】 考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度， 哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中
18、趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点则满足MNOP的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】 根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误， 平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断 AD 的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于 A，如图（1）所示，连接AC，则/MN AC，故POC（或其补角）为异面直线,OP MN所成的角，在直角三角形OPC，2OC ，1CP ，故12tan22POC，故MNOP不成立，故 A 错误.对于
19、B，如图（2）所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQNT，PQMN，由正方体SBCMNADT可得SN 平面ANDT，而OQ 平面ANDT，故SNOQ，而SNMNN，故OQ 平面SNTM，又MN 平面SNTM，OQMN，而OQPQQ，所以MN 平面OPQ，而PO 平面OPQ，故MNOP，故 B 正确.对于 C，如图（3） ，连接BD，则/BD MN，由 B 的判断可得OPBD，故OPMN，故 C 正确.对于 D，如图（4） ，取AD的中点Q，AB的中点K，连接,AC PQ OQ PK OK，则/AC MN，因为DPPC，故/PQ AC，故/PQ MN，所以QPO或其补角为异面直线,PO
20、MN所成的角，因为正方体的棱长为 2，故122PQAC，22123OQAOAQ，224 15POPKOK ，222QOPQOP，故QPO不是直角，故,PO MN不垂直，故 D 错误.故选：BC.11. 已知直线2:0l axbyr与圆222:C xyr，点( , )A a b，则下列说法正确的是（）A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C相离C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆C 相切【答案】ABD【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,abr的
21、大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心0,0C到直线 l 的距离222rdab，若点,A a b在圆 C 上，则222abr，所以222=rdrab，则直线 l 与圆 C 相切，故 A 正确；若点,A a b在圆 C 内，则222abr，所以222rdrab，则直线 l 与圆 C 相离，故 B 正确；若点,A a b在圆 C 外，则222abr，所以222rdrab，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；若点,A a b在直线 l 上，则2220abr即222=abr，所以222=rdrab，直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.故选：ABD.12. 设正
22、整数010112222kkkknaaaa ，其中0,1ia ，记 01knaaa则（）A. 2nnB. 231nnC.8543nnD.21nn【答案】ACD【解析】【分析】利用 n的定义可判断 ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断 B 选项的正误.【详解】对于A选项， 01knaaa，12101122222kkkknaaaa，所以， 012knaaan，A 选项正确；对于 B 选项，取2n ，0122371 21 21 2n ， 73，而0120 21 2 ，则 21，即 721，B 选项错误；对于 C 选项，3430234301018522251 21 2222kkkknaaaaaa ，所
23、以，01852knaaa，2320123201014322231 21 2222kkkknaaaaaa ，所以，01432knaaa，因此，8543nn，C 选项正确；对于 D 选项，01121222nn ，故21nn，D 选项正确.故选：ACD.三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 已知双曲线222210,0 xyabab的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】3yx 【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得223ba，再由渐近线方程即可得解.【 详 解 】 因 为 双 曲 线222210,0 xyabab的 离 心 率
24、 为2 ， 所 以222222cabeaa，所以223ba，则该双曲线的渐近线方程为3byxxa .故答案为：3yx .14. 写出一个同时具有下列性质的函数 :fx_1212f x xf xf x；当(0,)x时，( )0fx；( )fx是奇函数【答案】 4f xx（答案不唯一， 2*nxNfnx 均满足）【解析】【分析】根据幂函数的性质可得所求的 f x.【详解】取 4f xx，则 444211211 22xf xfxxx xf xx，满足， 34fxx，0 x 时有 0fx，满足， 34fxx的定义域为R，又 34fxxfx ，故 fx是奇函数，满足.故答案为： 4f xx（答案不唯一，
25、 2*nxNfnx 均满足）15. 已知向量0abc，1a ，2bc，a bb cc a _【答案】92【解析】【分析】由已知可得20abc，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得22222920abcabca bb cc aa bb cc a ，因此，92a bb cc a .故答案为：92.16. 已知函数12( )1,0,0 xf xexx，函数( )f x的图象在点 11,A x f x和点 22,B xf x的两条切线互相垂直，且分别交 y 轴于 M，N 两点，则|AMBN取值范围是_【答案】()0,1【解析】【分析】结合导数的几何意义可得120 xx，结合直线方程及两点间距离公式可
26、得1211xeAxM ，2221xeBxN ，化简即可得解.【详解】由题意， 1011,0,xxxexfxeex ，则 0,0 xxxfxeex，所以点11,1xA xe和点22,1xB x e，12,xxAMBNkeke ,所以12121,0 xxeexx ，所以111111,0:,11xxxxeexxeAMeyMx ，所以112221111xxxe xexAM，同理2221xeBxN ,所以1111212222122221110,1111xxxxxxxexeeeeeeNxAMB.故答案为：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120 xx，消去一个变量后，
27、运算即可得解.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明 证明过程或演算步证明过程或演算步骤骤17. 记nS是公差不为 0 的等差数列 na的前 n 项和，若35244,aS a aS（1）求数列 na的通项公式na；（2）求使nnSa成立的 n 的最小值【答案】(1)26nan；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前 n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535Sa，则：3335,0aaa，
28、设等差数列的公差为d，从而有：22433a aadadd ，41234333322Saaaaadadaadd ，从而：22dd ，由于公差不为零，故：2d ，数列的通项公式为：3326naandn.(2)由数列的通项公式可得：1264a ，则：214252nn nSnnn ，则不等式nnSa即：2526nnn，整理可得：160nn，解得：1n 或6n，又n为正整数，故n的最小值为7.【点睛】 等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题， 解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18. 在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca.（1）若2sin
29、3sinCA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【答案】 （1）15 74； （2）存在，且2a .【解析】【分析】 （1）由正弦定理可得出23ca，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cos0C 结合三角形三边关系可求得整数a的值.【详解】 （1）因为2sin3sinCA，则2223caa，则4a ，故5b ，6c ，2221cos28abcCab+-=，所以，C为锐角，则23 7sin1cos8C
30、C，因此，113 715 7sin4 52284ABCSabC ；（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得22222221223cos022121aaaabcaaCaba aa a，解得13a ，则0 3a，由三角形三边关系可得12aaa ，可得1a ，aZ，故2a .19. 在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC（1）证明：平面QAD 平面ABCD；（2）求二面角BQDA的平面角的余弦值【答案】 （1）证明见解析； （2）23.【解析】【分析】 （1）取AD的中点为O，连接,QO CO，可证QO 平面ABCD，从而得到面QAD 面A
31、BCD.（2）在平面ABCD内，过O作/OT CD，交BC于T，则OTAD，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取AD的中点为O，连接,QO CO.因为QAQD，OAOD，则QO AD，而2,5ADQA，故5 12QO .在正方形ABCD中，因为2AD ，故1DO ，故5CO ，因为3QC ，故222QCQOOC，故QOC为直角三角形且QOOC，因为OCADO，故QO 平面ABCD，因为QO 平面QAD，故平面QAD 平面ABCD.（2）在平面ABCD内，过O作/OT CD，交BC于T，则OTAD，结合（1）中的QO 平面ABCD，故可
32、建如图所示的空间坐标系.则0,1,0 ,0,0,2 ,2, 1,0DQB，故2,1,2 ,2,2,0BQBD .设平面QBD的法向量, ,nx y z，则00n BQn BD 即220220 xyzxy，取1x ，则11,2yz，故11,1,2n.而平面QAD的法向量为1,0,0m ，故12cos,3312m n .二面角BQDA的平面角为锐角，故其余弦值为23.20. 已知椭圆 C 的方程为22221(0)xyabab，右焦点为( 2,0)F，且离心率为63（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线MN与曲线222(0)xyb x相切证明：M，N，F 三点共线的充
33、要条件是|3MN 【答案】 （1）2213xy； （2）证明见解析.【解析】【分析】 （1）由离心率公式可得3a ，进而可得2b，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证3MN ；充分性：设直线:,0MN ykxb kb，由直线与圆相切得221bk，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得22224131 3kkk，进而可得1k ，即可得解.【详解】 （1）由题意，椭圆半焦距2c 且63cea，所以3a ，又2221bac，所以椭圆方程为2213xy；（2）由（1）得，曲线为221(0)xyx，当直线MN的斜率不存在时，直线:1MN x ，不合题意；当直线
34、MN的斜率存在时，设1122,M x yN xy，必要性：若 M，N，F 三点共线，可设直线:2MNyk x即20kxyk，由直线MN与曲线221(0)xyx相切可得2211kk，解得1k ，联立22213yxxy 可得246 230 xx，所以12122,3243xxxx，所以212121 143MNxxxx ,所以必要性成立；充分性：设直线:,0MN ykxb kb即0kxyb，由直线MN与曲线221(0)xyx相切可得211bk，所以221bk，联立2213ykxbxy可得2221 36330kxkbxb，所以2121222633,1313kbbxxxxkk ，所以22222121222
35、63314141 31 3kbbMNkxxxxkkk 2222411 3kkk3，化简得22310k ，所以1k ，所以12kb 或12kb ，所以直线:2MN yx或2yx ，所以直线MN过点( 2,0)F，M，N，F 三点共线，充分性成立；所以 M，N，F 三点共线的充要条件是|3MN 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用， 注意运算的准确性是解题的重中之重.21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代， 再经过一次繁殖后为第 2 代， 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，
36、设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP Xip i（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1pppp，求()E X；（2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程：230123pp xp xp xx的一个最小正实根， 求证： 当()1E X 时，1p ， 当()1E X 时，1p ；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义【答案】 （1）1； （2）见解析； （3）见解析.【解析】【分析】 （1）利用公式计算可得()E X.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 10f及极值点的范围可得 f x的最小正零点.（3）利
37、用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】 （1）()0 0.4 1 0.32 0.23 0.11E X .（2）设 3232101f xp xp xpxp，因为32101pppp，故 32322030f xp xp xpppxp，若1E X ，则123231ppp，故2302ppp. 23220332fxp xp xppp，因为 20300fppp ， 230120fppp，故 fx有两个不同零点12,x x，且1201xx ，且12,xxx 时， 0fx；12,xx x时， 0fx；故 f x在1,x，2,x 上为增函数，在12,x x上为减函数，若21x ，因为 f x在2,x
38、为增函数且 10f，而当20,xx时，因为 f x在12,x x上为减函数，故 210f xf xf，故1为230123pp xp xp xx的一个最小正实根，若21x，因为 10f且在20,x上为减函数，故 1 为230123pp xp xp xx的一个最小正实根，综上，若1E X ，则1p .若1E X，则123231ppp，故2302ppp.此时 20300fppp ， 230120fppp，故 fx有两个不同零点34,x x，且3401xx，且34,xxx 时， 0fx；34,xx x时， 0fx；故 f x在3,x，4,x 上为增函数，在34,x x上为减函数，而 10f，故40f
39、x，又 000fp，故 f x在40,x存在一个零点p，且1p .所以p为230123pp xp xp xx的一个最小正实根，此时1p ，故当1E X时，1p .（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1，则若干代后被灭绝的概率小于 1.22. 已知函数2( )(1)xf xxeaxb（1）讨论( )f x的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：( )f x只有一个零点21,222eaba；10,22aba【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(
40、2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得： 2xfxx ea，当0a 时，若,0 x ，则 0,fxf x单调递减，若0,x，则 0,fxf x单调递增；当102a时，若,ln 2xa ，则 0,fxf x单调递增，若ln 2,0 xa，则 0,fxf x单调递减，若0,x，则 0,fxf x单调递增；当12a 时， 0,fxf x在R上单调递增；当12a 时，若,0 x ，则 0,fxf x单调递增，若0,ln 2xa，则 0,fxf x单调递减，若ln 2,xa，则 0,fxf x单调递增；(2)若选择条件：由于2122ea
41、，故212ae，则 21,010bafb ，而10babbfebbaa ，而函数在区间,0上单调递增，故函数在区间,0上有一个零点.2ln 22ln 21ln 2faaaaab22ln 21ln 22aaaaa22 ln 2ln 2aaaaln 22ln 2aaa，由于2122ea ，212ae，故ln 22ln 20aaa，结合函数的单调性可知函数在区间0,上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于102a，故21a ，则 01 21 0fba ，当0b 时，24,42ea， 2240fea b ，而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点.当0b 时，构造函数 1
42、xH xex，则 1xHxe，当,0 x 时， 0,HxH x单调递减，当0,x时， 0,HxH x单调递增，注意到 00H，故 0H x 恒成立，从而有：1xex，此时： 22111xf xxeaxbxxaxb 211a xb，当11bxa时，2110a xb，取0111bxa，则00f x，即： 100,101bffa，而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点.2ln 22ln 21ln 2faaaaab22ln 21ln 22aaaaa22 ln 2ln 2aaaaln 22ln 2aaa，由于102a，021a，故ln 22ln 20aaa，结合函数的单调性可知函数在区间,0上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用