高中数学三角函数经典知识点总结.doc-淘文阁

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1、高中数学三角函数经典知识点总结高中数学三角函数经典知识点总结三角函数知识要点1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,kZ|k180,kZ终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ终边在x轴上的角的集合：y2sinx1cosxcosx3sinx4cosxcosxx若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k角与角的终

2、边互相垂直，则角与角的关系：360k902.角度与弧度的互换关系：360=2180=1=0.017451=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad18057.30=571810.01745（rad）1803、弧长公式：l2|r.扇形面积公式：s扇形lr|r1sinxsinx342SINCOS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域ya的终边P（x,y)r4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则siny；cosx；tany；cotx；se

4、xtan2(x)tanxcot2(x)cotxsin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)coxt（二）角与角之间的互换公式组一公式组二coscos()coscossinsinsin22sin222co2ssin2co2s112sincos()coscossinsincos21tan1cossin()sincoscossinsin22sin()sincoscossintan22tantan()tan()tantan1coscos1tantan22tantan1cossin1costan1tantan21cos1cossin公式组三公式组四公式组五1sincossin

5、sin12tan2cos()sin221sincossinsinsin221tan12sin()cos12coscoscoscos2121tantan()cot212sinsincoscoscos221tan2sinsin2sinsinsin2cos2cos2sin222tancoscos2coscos221tan22coscos2sinsin222tan1cos()sin21tan()cot21sin()cos262,tan15cot7523,tan75cot1523.410.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：注意：ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性

6、也同样相反.一般地，若yf(x)在a,bsin15cos7562,sin75cos154上递增（减），则yf(x)在a,b上递减（增）.ysinx与ycosx的周期是.yx)或ycos(x)（0）的周期Tysin(ytan2.xOx的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.2os(x)的对称轴方程是xk（kZ）ysin(，对称中心（k,0）；yc2x)的对称轴方程是xk（kZ），k,0）.ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x2tan1,k(kZ)；tantan1,k(kZ).当tan对称中心（k1,0）；2ytan(x)的对称中心（221ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是

7、偶函数，则y(x)sin(xk)cos(x).22函数ytanx在R上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，ytanx为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是，f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要）二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)，奇函数：f(x)f(x)）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：奇函数特有性质：若0ytanx是奇函数，ytan(x1)是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）3x的定义域，则f(x)一定有f(0)0.（0x的定义域，则无此性质）yysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；yc

8、osx为周期函数（T）；ycosx是周期函数（如图）1/2xycos2x1的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：yf(x)5f(xk),y=|.kcos2x+1/2R|图象2yyacosbsina2b2sin()cos定义域值域周期性奇偶性单调性b有a2b2y.ay=cos|x|图象xysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、0）RRR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1,12奇函数1,1RRA,A22偶函数奇函数奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数2k2k2k2k22k,2k1,2k2k,；22k上为增函数k,k1上为减函k,k数（kZ）22上为增函数

10、inx的图象上的1点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的|倍，得到ysinx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x).由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移（用y+(-b)替换y）.由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区

11、别。扩展阅读：高中数学三角函数经典总结三角函数知识点总结整理者:陈老师1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|k360,kZ终边在x轴上的角的集合：|k180,kZ终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k902.角度与弧度的互换关系：

12、360=2180=1=0.017451=57.30=57183、弧长公式：l|r.扇形面积公式：s12扇形2lr12|r4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切5.三角函数的定义域：三角函数定义域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk1,kZ2f(x)cotxx|xR且xk,kZsincos6、同角三角函数的基本关系式：costansincottancot1sin2cos217、诱导公式：把k的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”2三角函数的公式：

13、（一）基本关系公式组一sinxcscx=1tanx=sinx22cosxsinx+cosx=1cosxsecx=1x=cosxsinx1+tan2x=sec2xtanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组二公式组三sin(2kx)sinxsin(x)sinxcos(2kx)cosxcos(x)cosxtan(2kx)tanxtan(x)tanxcot(2kx)cotxcot(x)cotx公式组四公式组五公式组六sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosxtan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)

14、tanxcot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)cotx（二）角与角之间的互换cos()coscossinsinsin22sincoscos()coscossinsin-2-cos2cos2sin2cos112sin2tan1tan2222sin()sincoscossintan2sin()sincoscossintan()tantan1tantantantan1tantantan()8.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、0）定义域RR值域周期性奇偶性单调性1,11,11x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZRR

15、R奇函数A,A22奇函数2当当0,非奇非偶奇函数偶函数奇函数0,上为上为上为增函上为增函数；上为增增函数；增函数；数；上为减函数函数；上为减函数上为减上为减上为减函数函数函数注意：ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在a,b上递增（减），则yf(x)在a,b上递减（增）.ysinx与的ycosx周期是.yOx0）的周期Tysin(x)或yx2cos(x)（2.ytan的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.ysin(x)的对称轴方程是xk2（kZ），对称中心（12k,0）；ycos(x)的对称轴方程是xk（kZ），对称中心（k,0

16、）；yatn(x)的对称中心（k2,0）.三角函数图像数yAsin（x）的振幅|A|，周期T2|，频率f1T|2，相位x;初相（即当x0时的相位）（当A0，0时以上公式可去绝对值符号），由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换（用y/A替换y）由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的|1|倍，得到ysinx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，

17、得到ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移（用y+(-b)替换y）由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。三角函数复习题（一）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1已知x(2，0)，cosx45，则tan2x等于（）A.7B.724C.24247D.24723cos12sin12的值是（）A.0B.2C.2D.23

18、已知，均为锐角，且sin55，cos31010，则的值为（）A.34或4B.34C.4D.2k4(kZ)4sin15cos30sin75的值等于（）A.3B.348C.1D.1845若f(cosx)cos2x，则f(sin12)等于（）A.12B.12C.332D.26sin(x60)2sin(x60)3cos(120x)的值为（）A.12B.32C.1D.07已知sincos13，(0，)，那么sin2，cos2的值分别为（）A.89，179B.8179，9C.89，179D.8179，98在ABC中，若tanAtanB1，则ABC的形状是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不

19、能确定cos（）sin（）9化简44的结果为（）cos（4）sin（4）A.tanB.tanC.cotD.cot10已知sinsinsin0，coscoscos0，则cos()的值为（）A.12B.12C.1D.1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）sin70cos150sin8011cos70sin150sin80的值等于_.12若1tanA1tanA45，则cot(4A)_.-5-413已知tanx(x2)，则cos(2x)cos(x)sin(2x)sin(x)_.3333314sin(3x)cos(3x)cos(3x)sin(3x)_.43642115已知tan()，tan

20、()，则sin()sin()的值为_.5444416已知5cos()7cos0，则tantan_.2222三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1217（本小题满分12分）已知cos()，求cos.61362218（本小题满分14分）已知sin2sin2coscos21，(0，)，2求sin、tan.19（本小题满分14分）在ABC中，已知A、B、C成等差数列，ACAC求tantan3tantan的值.2222121723320（本小题满分15分）已知cos，cos()，且(，)，(，2)，求.132622三角函数单元复习题（一）答案一、选择题（本大题共

21、10小题，每小题5分，共50分）1D2C3C4B5C6D7C8A9B10A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1123124513326514415【解析】tan(4)tan()(34)22原式sin(4)cos(4)sin()cos()tan(44)466.sin2(4)cos2(24934)1tan(4)16【解析】由5cos(2)7cos20得：5cos（22）7cos（22）0展开得：12cos2cos22sin2sin20，两边同除以cos2cos2得tan2tan26.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分

22、）已知cos(6)1213，62，求cos.【解】由于06123，cos(6)13所以sin(26)1cos(6)513所以coscos(6)123562618（本小题满分14分）已知sin22sin2coscos21，(0，2)，求sin、tan.【解】sin22sin2coscos214sin2cos22sincos22cos20即：cos2(2sin2sin1)0cos2(sin1)(2sin1)0又(0，2)，cos20，sin10.故sin12，36，tan3.19（本小题满分14分）在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanACAC2tan23tan2tan2的值.-7-【解】

23、因为A、B、C成等差数列，ABC，所以AC2AC，3223ACtantanAC22tan()3，由两角和的正切公式，得322AC1tantan22ACACtantan33tantan2222ACACtantan3tantan3.2222121723320（本小题满分15分）已知cos，cos()，且(，)，(，2)，求.132622【分析】要求就必须先求的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cos的值，再由的范围得出.33【解】，2，0.22又cos12172572，cos()，sin，sin()13261326172127252（）（）（）.261326132故coscos()3

24、而0，.4【评注】本题中若求sin，则由sin三角函数值得考虑.23及0不能直接推出，因此本类问题如何选择24三角函数复习题（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A.ysin2xC.ysin2xcos2xxB.ycos21tan2xD.y21tanx2设函数ycos(sinx)，则（）A.它的定义域是1，1B.它是偶函数C.它的值域是cos1，cos1D.它不是周期函数3把函数ycosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式为（）4A.y2sin2xB.

25、y2sin2xxD.y2cos()24C.y2cos(2x)44函数y2sin(3x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）4A.3B.2C.3D.435若sincosm，且2m1，则角所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6函数y|cotx|sinx（0x3且x）的图象是（）27设ycos2x，则下列结论中正确的是（）1sinxA.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值8函数ysin（2x)的单调增区间是（）4A.k35，k(kZ)B.k，k(kZ)8888337C.k，k(kZ)D.k，k(kZ)8888129已

26、知0x，且a0，那么函数f(x)cosx2asinx1的最小值是（）2A.2a1B.2a1C.2a1D.2a10求使函数ysin(2x)3cos(2x)为奇函数，且在0，上是增函数的的一个值为4（）A.53B.42C.33D.3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11函数ycosx的值域是_.12cosxcosx12函数y的定义域是_.lg（1tanx）13如果x，y0，且满足|sinx|2cosy2，则x_，y_.14已知函数y2cosx，x0，2和y2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_15函数ysinxcosxsin2x的值域是_.16关于函数f(x)4sin

27、(2x)(xR)有下列命题：3由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍；yf(x)的表达式可改为y4cos(2x)；6yf(x)的图象关于点（，0)对称；6yf(x)的图象关于直线x对称.6其中正确的命题的序号是_.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）如图为函数yAsin(x)(A0，0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.18（本小题满分14分）已知函数y(sinxcosx)22cos2x.(xR)(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.(2)该函数图象可由ysinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到

28、？319(本小题满分15分）已知函数f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函数，其图象关于点M（，40)对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值.2三角函数单元复习题（二）答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1D2B3B4A5C6C7C8D9C10C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）111（，1，+)12x|2kx2k或2kx2k(kZ)342513x0或，y014415yy12164三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）如图为函数yAsin(x)(A0，0)的图象的一部分，试求该函数的一个解

29、析式.【解】由图可得：A3，T2MN.2从而2，故y3sin(2x)T2将M（，0）代入得sin()033取22得y3sin(2x)335，0）代入y3sin(2x+)6【评注】本题若将N（则可得：sin(5552)0.若取，则y3sin(2x)3sin(2x)，它与y33333sin(2x)的图象关于x轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数y3sin(2x)后，如何确32定，要看该点在曲线上的位置.如：M在上升的曲线上，就相当于“五点法”作图中的第一个点，故350；而N点在下降的曲线上，因此相当于“五点法”作图中的第三个点，故，由上可得的值32均为.318（本小题满分14分）已知函数y

30、(sinxcosx)22cos2x.(xR)(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.(2)该函数图象可由ysinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解】y1sin2x2cos2xsin2xcos2x22sin(2x)2.4(1)要使y取得最大值，则sin(2x)1.4即：2x2kxk(kZ)428所求自变量的取值集合是xxk，kZ.8(2)变换的步骤是：把函数ysinx的图象向左平移个单位，得到函数ysin(x+)的图象；441将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数ysin(2x）的图象；24再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），

31、得函数y2sin(2x)的图4象；最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到y2sin(2x)+2的图象.4【说明】以上变换步骤不唯一！319(本小题满分15分）已知函数f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函数，其图象关于点M（，40)对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值.2【解】由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)即sin(x)sin(x)cossinxcossinx对任意x都成立.且0，cos0，依题设0，2由f(x)的图象关于点M（3，0）对称，得，4333取x0，得f()f()，f()0444f(333)sin()cos0，又0442432k，k0，1，2，(2k1)，k0，1，2，42322当k0时，f(x)sin(x)在区间0，上是减函数；3322当k1时，2，f(x)sin(2x)在区间0，上是减函数；2210当k2时，f(x)sin(x)在区间0，上不是单调函数；3222所以，或2.3第 15 页共 15 页

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