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1、 1/7 高中数学第四章-三角函数 1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|终边在x轴上的角的集合：Zkk,180|终边在y轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在y=x轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：k360 若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：180360 k 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360k 2.角度与弧度的互换关系：360=2 180=1=
2、0.01745 1=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad18057.30=5718 11800.01745（rad）3、弧长公式：rl|.扇形面积公式：211|22slrr扇形 4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 Pxytan；（x,y）P 与原点的距离为 r，则 rysin；rxcos；yxcot；xrsec；.yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxyxy 6、三角函数线 正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：
3、AT.yxSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的终边P（x,y)TMAOPxy(3)若 ox2,则sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16.几个重要结论:OOxyxy 2/7 7.三角函数的定义域：三角函数 定义域)(xfsinx Rxx|)(xfcosx Rxx|)(xftanx ZkkxRxx,21|且)(xfcotx ZkkxRxx,|且)(xfsecx ZkkxRxx,21|
4、且)(xfcscx ZkkxRxx,|且 8、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsincos 1cottan1sincsc1cossec 1cossin221tansec221cotcsc22 9、诱导公式：2k把的三角函数化为 的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 xxkxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组五公式组六 xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)
5、cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 sinsincoscos)cos(cossin22sin sinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cos sincoscossin)sin(2tan1tan22tan sincoscossin)sin(2cos12sin tantan1tantan)tan(2cos12cos 公式组一sinxcscx=1tanx=xxcoss
6、insin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1 3/7 tantan1tantan)tan(公式组三 公式组四 公式组五 2tan12tan2sin2 2tan12tan1cos22 2tan12tan2tan2 42675cos15sin,3275cot15tan,.3215cot75tan 42615cos75sin 10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域 R R R 值域 1,1 1,1 R R AA,周期性 2 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇
7、函数 当,0非奇非偶 当,0奇函数 单调性 22,22kk上 为 增 函数；223,22kk上 为 减 函数（Zk）2,12kk；上 为 增 函数12,2kk 上 为 减 函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1,kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tan
8、ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinsin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(4/7（Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy 在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增）.xysin与xycos的周期是.)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.2tanxy 的周期为 2（2TT，如图，翻折无效）.)sin(xy的对称轴方程是2 kx（Zk），对称中心（0,k）；)cos(xy的
9、对称轴方程是kx（Zk），对称中心（0,21k）；)tan(xy的对称中心（0,2k）.xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称 当tan,1tan)(2Zkk；tan,1tan)(2Zkk.xycos与kxy22sin是同一函数,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy.函数xytan在R上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇
10、偶性的单调性：奇同偶反.例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T）；xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T）；Oyxyxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象 5/7 212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(.abbabaycos)sin(sincos22 有yba22.11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特
11、例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位）（当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当 0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的1|倍，得到 ysin
12、x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动个单位，得到 ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数ysinx，22，
13、x的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx，它的定义域是 1，1，值域是22，函数ycosx，（x0，）的反应函数叫做反余弦函数，记作yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0，函数ytanx，22，x的反函数叫做反正切函数，记作yarctanx，它的定义域是（，），值域是22，函数yctgx，x（0，）的反函数叫做反余切函数，记作yarcctgx，它的定义域是（，），值域是（0，）II.竞赛知识要点 一、反三角函数.1.反三角函数：反正弦函数xyarcsin是奇函数，故xxarcsin)arcsin(，1,1x（一定要注明定 6/7 义域，若,x，没有x与y一一对应，故xysin无反
14、函数）注：xx)sin(arcsin，1,1x，2,2arcsinx.反余弦函数xyarccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()arccos(，1,1x.注：xx)cos(arccos，1,1x，,0arccosx.xycos是偶函数，xyarccos非奇非偶，而xysin和xyarcsin为奇函数.反正切函数：xyarctan，定义域),(，值域（2,2），xyarctan是奇函数，xxarctan)arctan(，x),(.注：xx)tan(arctan，x),(.反余切函数：xarcycot，定义域),(，值域（2,2），xarcycot是非奇非偶.kxarcxarc2)cot(
15、)cot(，x),(.注：xxarc)cotcot(，x),(.xyarcsin与)1arcsin(xy互为奇函数，xyarctan同理为奇而xyarccos与xarcycot非奇非偶但满足 1,1,2)cot(cot 1,1,2arccos)arccos(xkxarcxarcxkxx.正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值 X 围 解集a的取值 X 围 解集 ax sin的解集 ax cos的解集 a1 a1 a=1 Zkakxx,arcsin2|a=1 Zkakxx,arccos2|a1 Zkakxxk,arcsin1|a1 Zkakxx,arccos|ax tan的解集：Zkakxx
16、,arctan|ax cot的解集：Zkakxx,cotarc|二、三角恒等式.组一 组二 nknnnk12sin2sin2cos8cos4cos2cos2cos nkdndxdnndxdxxkdx0sin)cos()1sin()cos()cos(cos)cos(nkdndxdnndxdxxkdx0sin)sin()1sin()sin()sin(sin)sin(tantantantantantan1tantantantantantan)tan(组三 三角函数不等式 cos3cos43cossin4sin33sin332222coscossinsinsinsinsin22sin2cos.4cos2coscos11nnn 7/7 xsinx)2,0(,tanxxxxxfsin)(在),0(上是减函数 若CBA，则CxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2222