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1、初三圆章节知识点总结2022.11.4初三圆章节知识点总结2022.11.4新初四暑期圆知识点总结周若楠一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定
2、长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；ArBdCdOrdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；新初四暑期圆知识点总结周若楠dR图1rR图2drdR图3rd五、垂径定理图4Rrdr
3、R图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB是直径ABCDCEDE弧BC弧BD弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1
4、推3定理，即上述四个结论中，ECOADOBCBED只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，F即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BDAODC-2-B新初四暑期圆知识点总结周若楠七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB2ACBBOAC2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角CDBDCOAC推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或C90
5、C90AB是直径CBOA推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形CBAD180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MANOBOACDBAE新初四暑期圆知识点总结周若
6、楠MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPAPBO十一、圆幂定理（此定理需要掌握，课本没有，可能做题要涉及）（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PAPBPCPDCBOPADA（
7、2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，BCOEADCEAEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。PD2AEO即：在O中，PA是切线，PB是割线PAPCPB2CB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PCPBPDPEwenku_5(font:46f90e224b35eefdc8d3332a0010005:宋体,46f90e224b35eefdc8d3332a0020225:宋体,
8、46f90e224b35eefdc8d3332a0030005:TimesNewRomanBold,46f90e224b35eefdc8d3332a0040005:TimesNewRoman,46f90e224b35eefdc8d3332a0050005:新宋体,46f90e224b35eefdc8d3332a0060005:新宋体,46f90e224b35eefdc8d3332a0070005:Symbol,46f90e224b35eefdc8d3332a0080005:TimesNewRomanItalic,46f90e224b35eefdc8d3332a0090005:Arial,sty
9、le:t:style,c:1,0,s:font-size:22.5,t:style,c:1,s:font-family:46f90e224b35eefdc8d3332a0010005,t:style,c:0,1,4,5,6,15,26,2,s:bold:true,t:style,c:0,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56
10、,57,3,s:color:#000000,t:style,c:5,6,15,26,4,s:font-size:15.84,t:style,c:15,26,5,s:font-family:46f90e224b35eefdc8d3332a0050005,t:style,c:6,s:font-family:46f90e224b35eefdc8d3332a0060005,t:style,c:25,33,7,s:font-size:18.126,t:style,c:7,13,14,17,21,23,25,27,33,37,39,40,44,46,48,50,54,8,s:font-family:46f
11、90e224b35eefdc8d3332a0080005,t:style,c:7,25,33,34,9,s:font-size:18.126,t:style,c:7,8,13,14,17,21,23,25,27,33,37,39,40,44,46,48,50,53,54,10,s:font-style:italic,t:style,c:11,s:font-size:10.496,t:style,c:11,19,24,34,41,47,56,12,s:font-family:46f90e224b35eefdc8d3332a0040005,t:style,c:13,s:font-size:17.2
12、43,letter-spacing:0.915,t:style,c:14,s:font-size:17.173,t:style,c:15,s:letter-spacing:-0.031,t:style,c:17,16,s:font-size:15.81,t:style,c:17,s:font-size:15.81,t:style,c:22,53,57,1新初四暑期圆知识点总结周若楠2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图S表S侧2S底=2rh2r2（2）圆柱的体积：Vr2h（2）圆锥侧面展开图（1）S表S侧S底=Rrr2（2）圆锥的体积：V123rhADD1母线长底面圆周长BCC1B1ORCArB扩展阅
13、读：初三圆章节知识点总结2022.11.4圆章节知识点复习圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线
14、距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；ArBdCdOrdd=rrd四、圆与圆的位置关系圆章节知识点复习外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；dR图1rRdr图2dR图3rd五、垂径定理图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分
15、弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB是直径ABCDCEDE弧BC弧BD弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理COABCBADOED圆章节知识点复习圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定
16、理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB2ACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或C90C90AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在
17、ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或C90BOCAOEFDCBCBOADCBOACBOAA注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆章节知识点复习圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形CBAD180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线OCDBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心
18、垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPBMANOPO平分BPA十一、圆幂定理BOPCADA圆章节知识点复习（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PAPBPCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径AB
19、CD，CEAEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线PAPCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PCPBPDPE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。即：O1、O2相交于A、B两点O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；（2）外公切线长：CO2是半径之
20、差；内公切线长：CO2是半径之和。十四、圆内正多边形的计算C22CBOEDAADPCOBEAO1BO2的ACO2BO1-5-OBAD圆章节知识点复习（1）正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB1:3:2；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：lABOACEDnR；180OSlnR21（2）扇形面积公式：SlR3602Bn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S表S侧2S底=2rh2rADD1母线长底面圆周长B（2）圆柱的体积：Vrh（2）圆锥侧面展开图O2CB1C1（1）S表S侧S底=Rrr212（2）圆锥的体积：Vrh3ARCrB第 10 页 共 10 页