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1、 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都
2、相等的一条直线。 有关概念：圆到定点的距离等于定长的点的集合 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合等圆圆心不相同，半径相等的圆；同心圆圆心相同，半径不等的圆。弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧 等弧在同圆或等圆中，能够重合的两条弧弦连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。弦心距圆心到直线的距离弓形弧与所对的弦所组成得图形。圆的内部到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部圆的外部到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部 圆心角：顶点在圆心的角 圆周角 ：顶点在圆周
3、上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 弦切角、圆内角、圆外角及性质：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半. 确定圆的条件：定理不在同一直线上的三点确定一个圆。相关概念及性质三角形的外接圆 圆的内接三角形 三角形的外心三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角二、圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
4、对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等依据垂径定理及其推论可概括为定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：垂直弦过圆心平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧圆是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。1、圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定
5、理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 2、圆周角与圆心角的关系：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 3、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对
6、的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 三、圆的相关位置关系（1）点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；（2）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过
7、半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线直线和圆位置关系的判定：依据定义 依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系圆的切线的判定： 定义依据d=r用判定定理圆的切线证明的两种情况：连半径，证垂直；作垂直，证半径。（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的
8、连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分相关概念及性质：三角形的内切圆 圆的外切三角形 三角形的内心三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形各边距离相等圆的外切四边形两组对边和相等弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 （3）、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 一些重要的圆的相关定理圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中
9、，直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。四、圆的相关运算（1）圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边
10、形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.（2）、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：（2）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：五、圆有关问题辅助线的常见作法半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。- 8 -