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1、第三章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢-变化率-切线斜率-相对误差微分微分描述函数变化程度-函数值的增量-绝对误差都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Fermat 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton一、导数的四则运算一、导数的四则运算二、反函数的导数二、反函数的导数三、复合函数的导数三、复合函数的导数四、基本初等函数的导数四、基本初等函数的导数 与求导法则与求导法则五、导数应用举例五、导数应用举例第第2 2节节求导法则求导法则内容小结内容小结1. 导数的四则运算具有导数都在及函数xxvvxuu
2、)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv内容小结内容小结1. 导数的四则运算（续）推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )3) ()uvw u vwuvwuvw内容小结内容小结2. 反函数的导数 )( xfy 的某邻域内单调可导, ,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或yxdd1 )(1
3、yf1内容小结内容小结3. 复合函数的导数在点 x 可导,)(xgu )(ufy 在点)(xgu 复合函数 fy )(xg且在点 x 可导,例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.)()(ddxgufxy求)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx内容小结内容小结3.复合函数的导数应用实例幂指函数的导数： 1) 对幂
4、指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11
5、x21x31x41x内容小结内容小结4. 常数和基本初等函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1应用：应用：一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h内容小结内容小结5. 导数的应用书面作业书面作业P102-104 1（1) ，2 双数题， 6 双数题，8,9 双数题，10，