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1、,主讲教师：陈殿友,总课时：,128,第六讲,数列的极限,高等数学,第一章,二 、收敛数列的性质,三 、极限存在准则,一、数列极限的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 数列的极限,数学语言描述:,一 、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术) ,当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积,总有,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则
2、称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,趋势不定,收 敛,发 散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0
3、.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、收敛数列的性质,1. 收敛数列的极限唯一.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 收敛数列一定有界.,3. 收敛数列的保号性.,4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,三、极限存在准则,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !,夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .,则原数列一定发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,主讲教师：陈殿友,总课时：,128,第七讲,数列的极限,高等数学,三、极限存在准则,3、柯西审敛准则 .,1、夹逼准则;,2、单调有界准则;,1. 夹逼准则 (准则1) (P
4、49),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ),( 证明略 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,证明数列,极限存在 . (P52P54),证: 利用二项式公式 , 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,大,大,正,又,比较可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,原题 目录
5、上页 下页 返回 结束,又,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一子数列收敛于同一极限,3. 极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,练习1.2,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,故极限存在，,备用题,1.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,证:,显然,证明下述数列有极限 .,即,单调增,又,存在,“拆项相消” 法,刘徽(约225 295
6、年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,