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1、第二节数列极限的定义第1页，本讲稿共53页一、概念的引入一、概念的引入一尺之椎，日取其半，永世不竭一尺之椎，日取其半，永世不竭.第2页，本讲稿共53页“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽第3页，本讲稿共53页正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积第4页，本讲稿共53页二、数列的定义二、数列的定义第5页，本讲稿共53页注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依
2、次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数数列数列实质上实质上是定义在是定义在正整数集正整数集上的函数：上的函数：xn=f(n)，n Z+第6页，本讲稿共53页问题问题:当当 n 无限增大时无限增大时,xn 的变化趋势如何？的变化趋势如何？第7页，本讲稿共53页例如例如第8页，本讲稿共53页三、数列的极限三、数列的极限播放播放第9页，本讲稿共53页把把n无限增大这个重要的变化过程记为无限增大这个重要的变化过程记为 n。第10页，本讲稿共53页第11页，本讲稿共53页问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.第12页，本讲稿共53页
3、注意：注意：定定义义 若若存存在在常常数数 a，使使对对任任意意的的 0，总总存存在在自自然然数数 N 0，当当 n N 时时，恒恒有有|xn a|0，N存存在在.证明的过程就是寻找证明的过程就是寻找 N 的过程，证明的方法是的过程，证明的方法是从分析从分析|xn a|()于于是是可可取取 ()为为 N。由由于于N 不不唯唯一一，故故可可把把|xn a|适当放大，得到一个新的不等式，再找适当放大，得到一个新的不等式，再找 N。第21页，本讲稿共53页四、数列极限的性质四、数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界第22页，本讲稿共53页定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列
4、必定有界.证证由定义由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.第23页，本讲稿共53页第24页，本讲稿共53页2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.第25页，本讲稿共53页3.3.子列的收敛性子列的收敛性定理定理3 3 如果如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同且极限相同.在数列在数列 中任意抽取无穷多项并保持这中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序，这样得
5、到的数列些项在原数列中的先后顺序，这样得到的数列称为原数列的子数列。称为原数列的子数列。第26页，本讲稿共53页四四.小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;第27页，本讲稿共53页思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立第28页，本讲稿共53页思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大”的值的值第29页，本讲稿共53页从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为第30页，本讲稿共53页练练 习习 题题第31页，本讲稿共53页