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1、 第三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节第三节 柯西积分公式和高阶柯西积分公式和高阶一、柯西积分公式一、柯西积分公式二、高阶导数公式二、高阶导数公式三、调和函数三、调和函数导数公式导数公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则解析，解析，内一点，内一点，是是一、柯西积分公式一、柯西积分公式是正向简单闭曲线，是正向简单闭曲线，设设上及上及其内部其内部在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则解析，解析，内一点，内一点，是是二、高阶导数公式二、高阶导数公式是正向简单闭曲线，是正向简单闭曲线，设设上及上及其内部其内部在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式公式常用于计算积分：常用
2、于计算积分：这两个积分的被积函数分别为：这两个积分的被积函数分别为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 计算积分计算积分解：解：圆周圆周内包含内包含而函数而函数在在内解析，内解析，所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 计算积分计算积分解：解：圆周圆周内包含内包含而函数而函数在在内解析，内解析，所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 计算积分计算积分解：解：圆周圆周内包含内包含而函数而函数在在内解析，内解析，所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 计算积分计算积分解：解：圆周圆周内包含内包含而函数而函数在在内解析，内解析，所以所以机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束 例例5 计算积分计算积分解：解：其中其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 原积分原积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、调和函数三、调和函数定义：定义：设设在区域在区域内具有二阶连续偏导数，内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程那么称那么称为区域为区域内的内的调和函数调和函数.定义：定义：且满足柯西且满足柯西-黎曼方程黎曼方程设设都是都是内的调和函数，内的调和函数，则称则称是是共轭调和函数共轭调和函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理：定理：任何在区域任何在区域内解析的函数，内解析的函数，它的实部和它的实部和虚部都是虚部都是内的调和函数内的调和函数.例例6解：解：证明证明为调和函数，为调和函数，并求其共轭并求其共轭调和函数调和函数和由它们构成的解析函数和由它们构成的解析函数.所以所以即即为调和函数为调和函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由由得得所以所以又由又由得，得，即即故故因此因此得解析函数得解析函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7解：解：已知一调和函数已知一调和函数求一解析函数求一解析函数使使得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 由由得，得，即即故故因此因此得解析函数得解析函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即由由得，得，所以所以