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1、 对称性方法在积分计算中的应用 汪仁泰焦振华（杭州电子科技大学理学院 310018) 【 摘要 】通过典型的例子探讨了对称性方法在积分计算 中的应用，从而说明对称性方法的有效性及其在简化积分 运算中的重要作用 . 【 关键词 】对称性方法 ； 定积分 ;重积分 ； 曲线积分 积分运算是高等数学中十分重要的内容，定积分、重积 分和曲线、曲面积分在高等数学课程的知识内容上占有较 大的比重，积分计算的方法和技巧也是高等数学中主要涉 及的内容之一 ,其中对称性方法是积分计算中一种常用和 有效的方法 ,例如 奇（偶）函数在对称区间上的定积分公式 也可以看做对称性方法的应用 .本文通过几个典型的例子 探讨
2、对称性方法在积分计算中的应用，同时探讨了积分计 算中使用对称性方法的条件 . 例 1 计算定积分 fTn Tdx. -f 1 +e x 可以看出这不是一道常规的定积分计算的题目，尝试 后会发现利用不定积分求原函数，进而借助牛顿一莱布尼 兹公式求此定积分的方法是行不通的 .所以，只能利用被积 函数的特点和定积分的性质来进行计算 .此定积分的积分 区间是关于原点的对称区间，这是一个重要的信息 .如果令 被积函数为 /(x),即 /(x) 则-x)= 1 + e x 1 + ex Sm xx，容易计算得 /(x) +/( -x) = sin2x,进而求积分 . 注 1 上例求解过程中十分重要的一步是
3、利用对称性得 出等式 Pn/( -x)dx = pn/(x)dx.这一结果可以推广到更一 J-了 J-了 般的对称区间上函数积分的情形，即对于任意 a 0,若函数 /(x)在区间 -a,上可积 ,则等式 J /( -x) dx = J /(x) dx 成立 .利用换元积分法容易证明上述等式成立 ， 需要说明的是 : 一般情况下只需要函数 /(x)可积，不必 要求其满足连续性 . 注 2 诸多微积分教材对奇（偶）函数在对称区间上的积 分公式都有讲解 ,但是却很少有教材论及公式 J /( -x) dx = -a Ja/(x)dx,然而，从上述例 1 的求解过程可见这是一个十分有 效 的 公 式 ，
4、 利 用 该 公 式 还 可 以 求 形 如 积 分 的 值 . 1 + a x 接下来探讨一个变量的对称性在积分中应用的例子 . 例 2 设平面区域 D = (x,) 10 矣 x 矣 a,矣 y 矣 a,为区 域 D 的正向边界 .证明： 6Lxesmydy - ye-哪 dx = 7Lxe-smydy - ye 画 dx. D D 即等式 （ 1)和 （ 2)右端相等，从而其左端也必然相等， 故原等式成立 . 最后探讨利用积分区域和被积函数的对称性质求解积 分的例子 . 例 3 计算二重积分 8 xyf(x2 + 2y2) dxdy. D:l xl +1 yl 矣 1 由于被积函数中含有
5、不具体的函数项 /(x2 +2y2),从 而该二重积分的求解不能按照常规的方法将二重积分转化 为二次积分进行 .观察可以发现，此积分的积分区域是关于 y 轴对称的区域，被积函数在第一和第二象限是关于变量 x 的奇函数，从而函数在第一与第二象限的区域上的积分之 和为 0,同理可以得出函数 在第三与第四象限的区域上的积 分之和为 0,由 二 重 积 分 的 区 域 可 加 性 ， 从 而 可 以 得 出 8 xyf(x2 + 2y2) dxdy = 0. D:l xl +l yl 矣 1 注 3 例 3 中的计算既需要积分区域的对称性 ， 也要求 被积函数满足一定的对称性 （ 奇偶性 ）， 二者之一不满足时， 对称性方法将不再适用 . 通过上面的举例分析，可以发现对称性方法是积分计 算中一种常用和有效的方法，利用对称性技巧，可以大大简 化积分的运算，但是，运用对称性方法计算积分，一定要仔 细验证积分区域和被积函数所满足的对称性质 ， 否则 ， 将会 造成对称 性方法的不当使用 . 致谢论文的相关研宄得到杭州电子科技大学高等教 育研宄项目资助（项目编号 :YB1112;YB1111). 【参考文献】 1 同济大学数学系 .高等数学（第六版） M.北京： 高等教育出版社 ,007. 2同 济 大 学 应 用 数 学 系 .微积分（第二版） M.北 京：高等教育出版社 ,003.