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1、 定积分在几何学中的应用研究 李帅赵堃 (齐齐哈尔医学院黑龙江齐齐哈尔 16100 6) 摘要 :定积分不仅是理论知识的基础理论，而且是解决实际问题的有效方法。本文通过引入高等数学的理论基础，介绍了定积分的数学定 义，以及其几何意义。然后以数学理论为指导，总结了一些运用定积分解题的技巧。最后用不同的模型分析了在几何学中定积分的应用。 关键词 :定积分几何学应用 中图分类号 :G6 40 文献标识码 ： A 文章编号 :1673-9795(2011)06(a)-0098-01 1 定积分的定义及几何意义 设函数 f(x)定义在区间 a， b上，用分点 a=x0，若当入 0 时， 不管分割如何 1
2、 取法， Xt 如何取法，都有共 同 的 极 限 / ， 即 。 则 称 /为 f(x)从 a 到 b 的定积分，记作 i=V( xyx。 定积分 /(x)的几何意义就是由曲 线y=f(x)， 直线 x=a， x=b 及 x 轴所围成的几 块曲边梯形，在轴上方各图形面积之和减 去在x 轴下方各图形面积之和。 2 定积分的解题技巧分析 对定积分概念的准确理解，是有效解 决定积分问题的前提条件。 (1) 定积分是一类特殊的极限，在定积 分的定义中，应该注意到积分区间的分法 和各小区间上点的选择都是任意的，因此 定积分 /(xK 只与被积函数 f(x)以及积分 区间 a， b有关，而与区间 a， b
3、的分法和点Xi 的取法以及积分变量用什么字母表示都无 关。例如 ： /(x 风 =/(?)4 = /(风。 (2) 如果对 f(x)与 x 轴、 x=a， x=b 所围成 的图形，规定在 x 轴上方图形的面积为正， 在 x 轴下方图形的面积为负，则 f(x)在 a，b 上的定积分 f/(x)式就是这些带正负号面 a 积的代数和。 (3) 为了应用方便起见，规定： f t /(x)dx =0; va 当 ab 时， j/(x)dx =- f/(xH。 Ja Ja 因此不论 a， b， c 的相对位置如何，总有 等式 /(x) = /(x) + /(x) 成立。 (4) 掌握定积分中值定理也称积分
4、中 值公式，在解决极限以及其他几何问题 时，合理运用定积分中值定理能够起到事 半功倍的作用。其几何意义就是：在区间 a， b上至少存在一点 X，使得以区间 a， b 为底边、以曲线 y-f(x)为曲边的曲边梯形 的面积等于同一底边、而高为 f(X)的一个 矩形的面积。 3 定积分在几何学上应用的几种类型 3.1 平面图形面积的求法 对于平面图形面积的求法，需要画出 平面图形的大致示意图，特别是找出曲线 与水平轴或曲线之间的交点，根据条件选 择用直角坐标系还是极限坐标系。在直角 坐标系下 ，还需根据图形的特征，选择相应 的积分变量及积分区域，然后写出面积的 积分表达式再进行计算。而运用极坐标来
5、计算平面图形的面积就相对简单。例 :求椭 圆 周 围 成 图 形 的 面 积 。 角解 :如图 1，由对称性知道，所求面积是 第一象限部分的面积的 4 倍。选择积分变量 x， 积分区间 0， a， 对应于 0， a中任一小区间 x， x+dx的窄条面积近似为 dA = y， dx = 2 -? dx， a 于是椭圆面积为 A = 4 I h-a 2 - x 2 d。 用换元法计算这个积分， 设 x = a sin t， t = arcsin x， dx = a cos tdt，当 a , , p x=0 时， t=0， x=a 时 ， t = 2。 于是 A = 4J a2 -x2dx = i
6、Ja2cos2 1 ； tdt = 4at =Kat 2 2 3.2 旋转体的体积求法 对于旋转体的体积求法，主要可以分成 两种思想。第一种首先判断积分次序，确定 是对 x 积分还是对 y 积分，若所围的曲边梯形 绕x 轴旋转时，利用切片法，即将旋转体当作 由一系列与 x 轴垂直的圆形薄片组成，以这 个薄片的体积作为体积元 ;若所围 图形绕 y 轴旋转时，利用柱壳法，即将旋转当作以 y轴 为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成，以此柱 壳的体积作为体积元。第二种就是若平行截 面积为已知的立方体体积时，主要是找出相 交的截面积 A(x)， 然后应用公式即可。 例 :设平面图形由曲线 y=x2 与直线 x
7、=1 及 y=0 围成，求： (1) 绕 x 轴旋转而围成的旋转体体积。 (2) 绕 y 轴旋转而围成的旋转体体积。 解 :（ 1)取 x 为积分变量，积分区间为 0, 1，对应于小区间 x， x+dx的 小旋转体体积 为 AF， 用小矩形 (如图 2(a)中阴影 )部分，绕 x 轴旋转而成的小圆柱体 (如图 2(b)体积作 为近似 )，即得体积微元 ： dF = p(x2)2 dx。 于是，绕轴旋转而成的旋转体体积为 : (2)取 y 为积分变量，积分区间为 0， 1， 对 应于小区间 y， y+dy的小旋转体体积为 AV， 类似于图 2 中取样和旋转方法 ,得到的 空心圆柱体体积作为近似，
8、而空心圆柱体体 积等于以 dy 为高、半径为 1 的圆柱体体积减 半径为 i 的圆柱体体积，即得体积微元为 : dV = 7f 12 dy -K (x2 )dy = 71 (1 - y)dy 于是，绕轴旋转的旋转体体积为 : 3.3 曲线弧长的求法 对于曲线弧长的求法，在直角坐标系中 求平面曲线的弧长和极坐标用参数形式求 弧长时，主要是根据题目的实际要求，选择正 确的公式，推导出 dS， 即可迅速的求出弧长。 4 结语 高 等 数学 知识 不仅 注重 对知 识点 的了 解和掌握，更是注重利用理论知识去解决 实际生活中遇到的各种问题。定积分知识 点就在解决实际问题过程中得到了广泛的 应用，不仅在解决几何学问题中得到很好 的运用，在物理学中、经济学问题解决中都 体现着定积分知识的存在。 参考文献 1 李华，王小军 .应用数学（上册 ） M.郑 州：大象出版社， 2006. 2 同济大学应用数学系 .高等数学 M.北 京：高等教育出版社， 2001. 3 胡东华 .高等数学辅导（同济 5 版 )M.科 学技术文献出版社， 2004. 4 盛祥耀 .高等数学 M.北京：高等教育 出版社， 2004.