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1、第二讲 数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。例如:等差数列:3、6、9、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)公差项数公式:项数=(末项-首项)公差+1求和公式:总和=(首项+末项)项数2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问
2、题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。 例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6这是一个周期数列，周期为6。4.寻找数列的规律，通
3、常有以下几种办法： 1寻找各项与项数间的关系。 2考虑此项与它前一项之间的关系。 3考虑此项与它前两项之间的关系。 4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。 5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。2.在解题中应用数列相关知识。例1：有一个数列：4、7、10、13、25，这个数列共有多少项?分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。解：由等差数列的
4、项数公式:项数=(末项-首项)公差+1,可得,项数=(25-4)3+1=8,所以这个数列共有8项。例2：有一等差数列：2，7,12,17，这个等差数列的第100项是多少？分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)公差,可得,第100项=2+(1OO-1)5=497,所以这个等差数列的第100项是497。例3：计算2+4+6+8+1990的和。分析：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。解：因为首项是2,末项是1990,
5、公差是2,昕以,项数=(1990-2)2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)项数2,解出2+4+6+8+1990=(2+1990)9952=991020。例4：计算（1+3+5+l99l)-（2+4+6+1990）分析：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。解：被减数的项数=(1991-1)2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)9962=992016;减数的项数=(l990-2)2+1=995,所以减数的总和=(2+1
6、990)9952=991020.所以原式=992016-991020=996。例5：已知一列数：2,5,8,11,14，80，求80是这列数中第几个数。分析：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)公差+1即(80-2)3+1=27,所以80是该数列的第27项。例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？分析：根据条件“以后每天比前一天多看2页”可
7、以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、76、78。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）302=1470（页）答：这本书共有1470页。例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。分析：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+9+10的和。项数=(10-3)1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+9+10=(3+10)82=138 2=52
8、(根)。答：这堆钢管一共有52根。例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？分析：假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，依次类推。握手的次数分别为：44,43,42，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答。解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和即 44+43+42+3+2+1 =（44+1）442 =990（次）答：同学们共握了990次手。A1.有一个数列
9、:2,6,10,14,106,这个数列共有多少项?。答案：这个数列共有27项2.求1,5,9,13,这个等差数列的第3O项。答案：这个等差数列的第30项是117。3.计算1+2+3+4+53+54+55的和。答案：1+2+3+4+53+54+55=(l+55)552=1540。4.计算(1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+2002)答案：10025.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,求第12个数是多少。答案：第12个数是91B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?答案：它的末项是49。7.计算(2OO1+1999+1997+199
10、5)-(2OOO+1998+1996+1994)。答案：48.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？答案：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、21。首项=3，末项=21，项数=（21-3）2+1=10。所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）102=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？答案：（25+63）202=880（个）10.有60把锁的钥匙搞乱了,
11、为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?答案：59+58+57+2+1=(59+1)592=1770(次)C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？答案：2485根。12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?答案：如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。不难看出,这10层三角形每
12、层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,310。它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。即: 3+6+9+30=(3+30) 10 2=33 5=165(根)答：这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了?答案：一共有8把锁的钥匙搞乱了。14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？答案：15+14+13+3+2+1=（15+1）152=120（场）15.在一次元旦晚会上，
13、一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？答案：根据题意，一共有48+5=53（人）参加了这次晚会。所以，一共握手的次数为： 52+51+50+3+2+1=（52+1）522=1378（次）答：一共握了1378次手。1.有一个数列:5,8,11,92,95,98,这个数列共有多少项?答案：这个数列共有19项2.求等差数列2,5,8,11,的第100项。答案：这个等差数列的第100项是299。3.计算5+10+15+20+ +190+195+200的和。答案：首项=5,末项=200,公差=5,项数=(200-5)5+1=40,5+10+15+20+
14、190+195+200=(5+200)402=4100。4.有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,求785是第几个数。答案：785是第88个数5.计算(2+4+6+100)-(1+3+5+99)答案：501.在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?答案：这个等差数列共有29项。2.计算100+99+98+61+60的和答案：32803.在等差数列6,13,20,27,中,从左到右数第几个数是1994?答案：第285个数是1994。4.小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答案：这个等差数列共有29项。5.用相同的小立
15、方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?答案：55个6.一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?答案：第11站后，车上坐满乘客。7.一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？答案：设共有n人参加了聚会，因为要求参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，所以一共握手（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）2，因为共握手28次，所以n（n-1）2=28，即n（n-1）=56.又因为n是正整数，通过计算，可知87=56，n=8，所以参加聚会的共有8人。答：参加聚会的共有8人。8.有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?答案：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和，即 49+48+47+2+1=(49+1)49 2=1225(次)答：至多要试1225次。