《小六数学第10讲进制与进位(教师版)——李寒松.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小六数学第10讲进制与进位(教师版)——李寒松.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第十讲 进制与进位 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。n进制：n进制的运算法则是
2、“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。1.掌握进制之间的转换方法。2.能用进制互化的方法解题。例1: _； ； ； _； 若，则_分析与解： 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： ； 可转化成十进制来计算：；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得； 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下统一到十进制比较适宜：； 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫
3、“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整原式；若，则，经试验可得例2:在几进制中有？分析与解：利用尾数分析来解决这个问题：由于，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个但是式子中出现了4，所以要比4大，不可能是4，3，2进制另外，由于，因为，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，只能是6例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？分析与解：因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，2
4、2=4，23=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，放16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23222120=(31)10，这就是说1至31的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出31种不同重量的物体。例5:在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? 分析与解： (abc)6 =a62b6+c=36a+6b+c；(cba)9=c92+b9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=
5、3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1所以，b=0或5当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c0，所以a=16，c=7。但是在6,9进制，不可以有一个数字为16当b=5，则35a=35+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c0。所以c=2或者2+7k(k为整数)因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+802，a=5。所以(abc)6 =(552)6 =562+56+2=212。这个三位数在十进制中为212。例6:试求(2-1)除以992的余数是多少? 分析与解：我
6、们通过左式的短除法，或者直接运用通过2次幂来表达为2进制：(992)=(1111100000)2，(2-1)2=我们知道在2进制中一定能整除(1111100000)2，于是我们注意到，所以= 因为能整除(1111100000)2，所以余数为(111111)2=2+24+23+22+21+1=63，所以原式的余数为63。例7:已知正整数的八进制表示为，那么在十进制下，除以7的余数与除以9的余数之和是多少？分析与解：与十进制相类似，有：根据8进制的弃7法，被7除的余数等于其各位数字之和，为6，而除以7的余数为1，所以的平方被7除余1，即除以7的余数为1；另外，显然能被整除，所以其平方也能被整除，即
7、除以9的余数为0因此两个余数之和为A 1.；在八进制中，_；在九进制中，_分析与解：本题是进制的直接转化：；原式；原式2.在几进制中有？分析与解：注意，因为，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以再注意尾数分析，而16324的末位为4，于是进到上一位所以说进位制为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3因为出现了6，所以只能是7分析与解：根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：八进制数01234567二进制数0000010100111001011101114.算式是几进制数的乘法？分析与解：注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为，但是现在为4，说明进走，所
8、以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制B6.某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几? 分析与解：由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为12，用位值原理将其化为131+230=5，所以化为9进制数后第一位为5.7.在7进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？分析与解：首先还原为十进制：；于是；得到，即因为是8的倍数，也是8的倍数，所以也应该是
9、8的倍数，于是或8但是在7进制下，不可能有8这个数字于是，则所以为5的倍数，为3的倍数所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；所以于是，这个三位数在十进制中为2488.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄分析与解：设这个人为岁，得，又，解得，不合题意，所以这个人的年龄不可能是一位数设这个人是岁，由题意得：因为，所以即又因为是三进制数，都小于3，所以，所以，这个人为21岁设这个人为岁，由题意有，因为，所以即又、都小于3，所以上述等式不成立所以这个人的年龄不可能是三位数综上可知这个人的年龄是21岁9.N是整数，它的b进制表示是777，求最小的
10、正整数b，使得N是十进制整数的四次方分析与解：设b是所求的最小正整数，因为质数7能整除，所以也能整除x，不妨设，m是大于0的自然数。则：，化简得：，易知，b的值随m的增大而增大，当m=1时，b=18。10.计算除以26的余数分析与解：题中有3的次幂，令人联想到将题中的数转化成3进制下的数再进行计算，而，所以，由于整除，所以余所以除以26的余数为8C11.计算除以7的余数分析与解：由于除以7余1，而，所以除以7的余数为本题也可以转化为2进制进行计算：，所以而，所以余所以除以7的余数为312.在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？分析与解：类似于十进制中的“弃九法”
11、，8进制中也有“弃7法”，也就是说8进制中一个数除以7的余数等于这个数的各位数字之和除以7的余数本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为68，而68除以7的余数为5，所以这个数除以7的余数也为513.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，问顾客可买的斤数有多少种？分析与解：很显然的这些数组合可以构成到之间的任何一个数，化为十进制即1到31之间的数都可以构成。所以顾客可以买的斤数有31种。14.求证：能被7整除.分析与解：因为 而很容易看出来：所以能被7整除15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请问这个自然数是几?分析与解：设
12、这个数的六进制为, 则这个数的九进制为。那么有即 只能取0, 1, 2, 3, 4, 5. 等式左边能被5整除.经过试验，只可能是,所以这个数六进制是552,九进制是552，化成十进制是2121.计算下列结果（仍用二进制表示）：（1）（2）分析与解：二进制中11=1，10=0，00=0（1）因此（2）因此2.把下列十进制的数写成数码与计数单位乘积的和的形式:(1) (2) (3)分析与解：变换形式如下：（1）（2）（3）3.请你制造一个7进制的乘法表。分析:大家都能熟练地背诵十进制的乘法表，那么尝试构造形式相同的7进制乘法表。答案:7进制乘法表：4.求证能被5整除。分析与解：我们适当变换原式的
13、形式：而，很显然能被整除，所以能被5整除。5.如果能被15整除，自然数n取那些值？分析:这与上一题很类似，用同样的方法分析答案:因为而，如果要能被15整除，即能被整除所以n应该是4的倍数，n=4,8,12, 1.计算下列结果（仍然用2进制表示）：（1）（2）（3）答案：和十进制一样列竖式计算，但注意要“逢二进一”、“借一当二”（1） 因此（2） 因此（3） 因此2.计算下列结果（仍用二进制表示）：（1）（2）答案：（1）因此（2）因此3.计算（结果仍用二进制）：（1）（2）（3）答案：按照混合运算顺序，并用上述三题的竖式计算方式求解：（1）（2）（3）4.把下列二进制数写成数码与计数单位乘积的
14、和的形式，并且在十进制下算出这些数的大小：(1)(2)(3)(4)答案：变换形式求解如下：（1）（2）（3）（4）5.将下列十进制数化为二进制数：（1）（2）答案：用十进制整数不断除以2，并记下余数，直到商为0，最后把余数反向读出即可。（1）因此（2）因此6.将下列各数化为十进制的数：（1） （2）（3）答案：（1）（2）（3）7.将分别化成5进制和12进制数答案：（1）化为5进制数时，和十进制化二进制类似，用十进制整数不断除以5，并记下余数，直到商为0，最后把余数反向读出即可：因此（2）化为12进制数时，用十进制整数不断除以12，并记下余数，直到商为0，最后把余数反向读出即可： 这里注意到，12进制的数码可以有对应于十进制数值的10，11，我们分别记为A,B，那么最终结果可以表示为：8.计算：（1） (2)答案：这里涉及到几种进位制的转化，我们可以先把左式用10进制算出结果，然后再转化为右边的进位制。答案依据分析，并按照上面几题所介绍的进位制转化方法：（1）（2）