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1、第十四讲 公式与通项归纳通项简单的说就是一个数列的规律，通过题目中的数据与等差数列，等比数列的通项公式之间的联系，推导出新数列的规律。通项归纳法需要借助于代数，将算式化简，将“形似”的复杂算式及数列，用字母表示后化简为常见的一般形式。1.能用数列的通项公式解题。2.用代数的形式表示数，并通过化简代数式来化简算式。例1：_ 。分析：方法一：令，则，两式相减，得。方法二：找规律计算得到答案：例2：在一列数：中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？分析：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1，解出n999.5，从n1000开始，即从开始，满足条件答案：例3：计算：分析：先找通项公
2、式原式答案：例4：分析：（法1）：可先找通项原式（法2）：原式答案：例5：计算： 分析：本题的通项公式为，没办法进行裂项之类的处理注意到分母，可以看出如果把换成的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个将项数和为100的两项相加，得，所以原式（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式）答案：例6：计算：分析：通项归纳， 原式答案：A1. 计算：分析：先找通项：原式答案：2.计算：分析：先通项归纳：，原式答案：3.分析：原式答案：4.分析：原式答案：5.计算：分析：通项公式：，原式答案：B6. 分析：找通项原式，通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以
3、轻松写出全部的项，所以有原式答案：7.计算：分析：由于，则，原式答案：8.计算：分析：（法1）：可先来分析一下它的通项情况，原式=（法2）：答案：9. 分析：通项为：，原式答案：10.分析：原式=答案：C11.分析：虽然很容易看出，可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，于是我们又有减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？答案：12.计算：分析：通项归纳： 原式=答案：13.计算：分析：原式通项归纳， 原式答案：14.计算：（共条分数线）分析： ，所以条分数线的话，
4、答案应该为答案：1.下面的算式是按一定规律排列的,那么第100个算式的得数是多少?4+3,5+6,6+9,7+12,解答：仔细观察可知:每个算式的第一个加数组成一个公差为1的等差数列:4,5,6,7,;每个算式的第二个加数组成一个公差为3的等差数列:3,6,9,12,;若要求第100个算式的得数,只要分别算出每个等差数列的第100项即可. 根据通项: .第一个加数为:4+(100-1)1=4+99=103;第二个加数为:3+(100-1)3=3+993=3100=300.所以第100个算式的得数为:103+300=403.2. 若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果共有3
5、04人,最外圈有几人?解答：最外圈人数有:+(8-1)4=(+28)人.所以共有人数可表示为: (+28)82=304+28=76=48=24最外圈有: 24+28=52(人).3. 在1100这一百个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?解答： (1+3+5+7+97+99)-(11+22+33+44+55+66+77+88+99)=(1+99)502-(11+99)4+55=2500-495=2005.4. 在2949,2950,2951,2997,2998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?解答：根据题意可列出算式: (2950+2952+2998)-(2949+2
6、951+2997)注意到这两个等差数列的项数相等,公差相同,且对应项差为1,所以25项就差25个1,即原式=(2950-2949)+(2952-2951)+(2998-2997) =1+1+1+125个 =25.5. 求一切除以4后余1的两位数的和?解答：除以4后余1的最小两位数是多少? 12+1=13.除以4后余1的最大两位数是多少? 96+1=97.除以4后余1的两位数一共有多少个? 964-2=22(个).它们的和是: 13+17+21+97 =(13+97)222 =1210.1.在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？解答：首先写出符合条件数列，在求值。数列为：
7、1007,1017,1027.1997和为 (1007+1997)1002=1502002.在1100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？解答：我们先计算1100得自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了1+2+100(1+100)1002=50509+18+27+99(9+99)112=594所有不能被9整除的自然数和：5050-594=44563.在1100这一百个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？解答：先计算1100的奇数和，再减去能被9整除的奇数和。1+3+99-(9+27+45+99)(1+99)502(9+99)62=21764
8、.在1200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？解答：先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44、88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应改减去能被44整除的数列和。(4+8+12+200)+(11+22+33+198)-(44+88+132+176)=(4+200)502+(11+198)182-(44+176)4265415.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到
9、第1993个数这1993个数之和。解答：经过观察可以发现，这是由两个数列组成的数列，一个是全1，另一个是公差为1，首项为1993的等差数列，把1,1993,1992这样三个数算为一组，整个数列到第1993个的时候应该有19933664组，最后一个数是1，所以总共有665个1，等差数列有6642项，最后四个数是1,667,666,1分为两个数列求和：(1993+666)13282+166517662416.求所有加6以后能被11整除的三位数的和。解答：我们可以先求能被11整除的三位数和，然后再减去 项数6，同时还要求这些三位数减去6后仍然是三位数。110-6+121-6+990-6+1001-6=(110+1001)922-692505547.利用公式，计算：解答：公式是一个从1到n2的和，而要求计算的是152到212的和，我们可以通过适当的变换，将要求的算式变成能套用公式的形式。=22968.求和解答：这类题我们可以用裂项的办法来求解。我们知道：将题目中每项都按照上面的公式拆分，就可以很方便的计算出结果。3309.计算：解答：上面序列的通项公式为，我们可以这样来裂项：362879