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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -25.7相像多边形与位似图形2 教学设计主备人：刘荣格数学备课组2021 年 10 月 10 日【学习目标 】1、明白相像多边形的含义。2、明白位似图形及有关概念，能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。3、利用图形相像解决一些简洁的实际问题。【学问要点 】1、相像多边形的定义。2、相像多边形的性质。3、位似图形的定义。4、位似图形的性质。5、位似图形性质的应用。【重点、难点 】重点： 相像多边形及位似图形的性质。难点： 相像多边形及位似图形的性质应用。【学问讲解 】1、相像多边形：两个边数相同的多边
2、形，假如它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相像多边形。提示 1： 只有边数相等，各对应角相等，且各边对应成比例的多边形才相像。例如： 两个正方形，各对应角都是90，且各边对应成比例，所以两个正方形是相像多 边形。提示 2： 相像多边形的读、写法，在表示两个多边形相像时，要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。2、相像比：相像多边形对应边的比叫相像比，多边形的相像比是有次序的。例如： 四边形 ABCD 四边形 ABCD， AB与 AB是对应边，如，就说四边形 ABCD与四边形 ABCD的相像比为31。反之，四边形 ABCD与四边形ABCD的相像比为 1 3。3、相像多边形的
3、性质：(1) 对应边成比例。(2) 对应角相等。如： 五边形 ABCDE 五边形 ABCDE，就有 A A， B B， CC， D D， E E，且。(3) 相像多边形的周长的比等于相像比，面积比等于相像比的平方。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(4) 相像多边形中的对应线段的比等于相像比。(5) 相像多边形中，对应的三角形相像，其相像比
4、等于原相像多边形的相像比。4、位似图形的定义：假如两个相像图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时，两个相像图形的相像比又叫做它们的位似比。(1) 位似图形是针对两个相像图形而言的。(2) 位似图形的每组对应点所在的直线都必需经过同一点。(3) 位似图形是具有特别位置关系的相像图形，而相像图形不肯定构成位似图形。5、位似图形的性质：(1) 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相像比。(2) 两个位似多边形肯定相像，它们的相像比等于对应顶点与位似中心的距离之比，它们的各对对应边分别平行或在同始终线上。【例题
5、讲解 】例 1： 以下多边形，肯定相像的是A、两个矩形B、两个菱形C、两个正方形D、两个平行四边形分析： 依据相像多边形的定义，两个矩形只能满意对应角相等，对应边不肯定成比例。 两个菱形只满意对应边成比例，而对应角不肯定相等。两个正方形的对应边成比例，对应角都是 90。答案： C例 2：如图， 四边形 ABCD四边形 ABCD， AB18，AB 4，BC 6， B77， C83， A 115，求 BC的长度和 D的大小。解： 四边形 ABCD 四边形 ABCD，即，解得 BC27， B B77， C C83， D 360 A B C 85。例 3：四边形 ABCD四边形 ABCD，它们的对角线
6、分别交于点O、O，那么 OAB与 OAB相像吗？为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解： OAB OAB，由于：四边形 ABCD四边形 ABCD， ABD ABD， ABC ABC， 2 4， 1 3， OAB OAB。例 4： 如图，已知四边形ABCD及四边形 ABCD中， B B， D D，那么，四边形 ABCD和四边形 ABCD
7、必相像。试说明理由。分析：要说明四边形 ABCDABCD，只需说明 A A，C C就可以了，我们可构造相像三角形来完成A A， C C。解： 连结 AC、AC， B B， ABC ABC， 1 1， 2 2， 同理， ADC ADC， 3 3， 4 4， 1 3 1 3， 2 4 2 4， 即 BAD BAD， BCD BCD，又因，四边形 ABCD四边形 ABCD。例 5：四边形 ABCD四边形 ABCD相像比为，它们的周长之和为20，面积之差为 5，那么它们的周长和面积分别是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第
8、3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析： 依据题意，利用相像多边形的性质，可构造方程 组 即可求解。解： 设它们的周长分别为C1、C2 ，面积分别为 S1 、S2，依据题意有， 1， 2，由1 得： C1 12，C2 8，由2 得： S1 9， S2 4，所以，它们的周长分别为12，8。面积分别为 9， 4。例 6： 如图，已知四边形ABCD，把它放大 2 倍，即新图形与原图形的相像比为2。分析： 1 把一个图形放大2 倍，就是要求新图形与原图形的
9、对应点到位似中心的距离之比等于 2。2 位似中心的位置是任意的，可选在图形内、图形外、图形上均可。解： 1 任取一点 O。(2) 以 O为端点作射线 OA、OB、OC、OD。(3) 分别在射线 OA、OB、OC、OD上取 A、B、C、D使 OA OAOB OB OC OCOD OD21。(4) 连结 AB、BC、CD、DA。就四边形 ABCD就是所求作的图形。例 7： 已知，锐角三角形ABC，求作矩形 DEFG使 DE在边 BC上，点 G和 F 分别在边 AB和 AC上，且 DEGD 2 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - -
10、 -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析： 这个作图从要求的条件看，很难一次就作出满意全部条件的图形，因此可先作出满意一部分条件的图形。此题可以先作出所求作的图形的位似形，然后再依据位似图形的概念进行位似变换，以得出所求的满意全部条件的图形。作法： 1、在 AB上任取一点 G1，作 G1D1 BC于 D1。2、在 D1C或其延长线上 上取一点 E1 ，使 D1E1 2G1D1。3、以 G1D1、D1E1 为邻边作矩形 D1 E1F1 G1。4
11、、作射线 BF1 交 AC于点 F。5、作 EF E1 F1 交 BC于点 E，作 FGF1G1 交 AB于 G，作 GD GD1 交 BC于 D。四边形 DEFG就是所求的矩形。例 8：已知， ABC的顶点坐标分别为A0， 2 ， B3，1 ，C2，1 ，以原点 O为位似中心，将这个三角形放大为原先的2 倍得到 ABC，请写出ABC的顶点坐 标。解： 依据位似图形中对应点的坐标的变化规律，点 A0， 2 的对应点 A的坐标为 0 2， 22 即 A0 ， 4 ， 所以，类似的有B6 ， 2 ，C4 ， 2 。【过关练习 】1、挑选题。(1) 两个相像多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，
12、那么它们的相像比为 A、B、C、D、(2) 在矩形 ABCD中，E、F 分别为 AB、CD的中点，假如矩形 ABCD矩形 EFCB，那么它们的相像比为 A、B、C、2D、(3) 一个多边形的边长为2， 3， 4， 5， 6，另一个和它相像的多边形的最长边为24，就 这个多边形的最短边长为A、6B、8C、12D、10(4) ABC与 DEF是位似图形 如图 ，相像比为 23，已知 AB 4，就 DE的长等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -
13、- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A、6B、5C、9D、(5) 如下列图，已知 ADE与 ABC是位似图形，且位似比为1 2，如 ABC的面积为12cm2，就 ADE的面积为 A、2cm2B、3cm2C、4cm2D、6cm22、在矩形 ABCD中，截去一个正方形ABEF，如下列图，得到一个矩形ECDF，假如矩形 ABCD矩形 ECDF，试问矩形 ABCD是否为黄金矩形，请说明理由。3、如图，在平行四边形ABCD中， E、F 分别位于边 AB、CD上， EFAD，于是 EF将平行四边形 ABCD分成平行四边形 AEFD和平行四边
14、形 EBCF，设边 ABa，BCb。(1) 如平行四边形 ABCD与平行四边形 ADFE相像，求 DF长。(2) 如平行四边形 AEFD与平行四边形 EBCF相像，求 DF长。(3) 如平行四边形 AEFD与平行四边形 EBCF与平行四边形 ABCD都相像，请你求出 a 与 b之间的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4、如图，在一矩形花
15、坛 ABCD四周修筑水路，使得相对两条小路的宽均相等，假如花坛边 AB20 米， AD30 米，试问小路的宽 x 与 y 的比值是多少时，能使小路边沿围成的矩形ABCD能与矩形 ABCD相像？请说明理由。5、如图是圆桌正上方的灯泡 看作一个点 ，发出的光线照耀桌面后，在的面上形成阴影，已知桌面直径为1.2m，桌面距的面 1m，灯泡距的面 3m，求的面上阴影部分的面积。6、已知，如图， O是坐标原点， B、C 两点的坐标为 3 ， 1 ， 2 ，1 。(1) 以 O为相像中心在 y 轴左侧，将 OBC放大到 2 倍，画出图形。(2) 分别写出 B、C 两点的对应点 B、C的坐标。(3) 假如 O
16、BC内部一点 M的坐标为 x ， y ，写出 M的对应点 M的坐标。7、已知，如图，梯形 ABCD，ADBC，不转变图形的外形， 把它的各边都扩大为原先的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -8、作一个等边三角形，使它的三个顶点分别在ABC三边上，并且有一边和BC平行。【参考答案 】1、1A2A3B4A5B2、分析：要判别矩形 ABCD是否为
17、黄金矩形， 即是否有成立，由此可作出判定。解： 矩形 ABCD为黄金矩形。理由： 由题意，矩形 ABCD矩形 ECDF，又 ABAFBEEF CD，ECDF，故点 F 是 AD的黄金分割点，所以的比值为黄金比，从而的比值是黄金比，故矩形 ABCD为黄金矩形。3、解： 1 平行四边形 ABCD平行四边形 ADFE，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -
18、- -即 DF。(2) 如平行四边形 AEFD平行四边形EBCF，DF，如平行四边形 AEFD平行四边形BCFE，就， DFa 2b 。(3) 因平行四边形 AEFD与平行四边形 EBCF，平行四边形ABCD都相像，就有平行四边形 AEFD平行四边形 EBCF平行四边形 BCDA，a。4、解： 依题意，应有，2030 2x 3020 2y ，解得，故当时，矩形 ABCD矩形ABCD。 5、解： 如图，设桌面面积为S1，阴影部分面积为S2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - -
19、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2圆桌的面积为 S1 m ，因桌面与阴影是位似图形，2S m2 。2答： 的面上阴影部分面积为m。 6、解： 1 如下列图：(2) 依据位似变换中对应点坐标的变化规律，点 B 的坐标为 3 ， 1 ，对应点 B的坐标为 6，2 ， 点 C 的坐标为 2 ，1 ，对应点 C 的坐标为 4， 2 。(3) 点 Mx，y 的对应点 M的坐标为 2x， 2y 。7、解： 1 在梯形 ABCD外任取一点 O。(2) 作射线 OA、OB、OC、OD。(3) 在射线 OA、O
20、B、OC、OD上取点 A、B、C、D使。(4) 顺次连结 A、B、C、D，梯形ABCD就是所要求作的图形。8、解： 作法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(1) 在 ABC的边 AC上任取一点 D，作 DF BC交 AB于 F。(2) 以 DF为一边作等边DEF。(3) 连结 AE，并延长 AE交 BC于点 E。(4) 作 EFEF交 AB于 F。(5) 作 DEDE交 AC于 D。(6) 连结 FD。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载