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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版八年级数学图形的位似与相似三角形的应用（精品教学设计）图形的位似、知识点讲解1、位似定义如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，这一点叫做位似中心。利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小。具有位似关系的两个图形叫做位似形(homothetic figures)。注意：（1）如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比；（2） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；（3） 位
2、似图形中不经过位似中心的对应线段平行。2、位似图形的画法及步骤：（1）确定位似中心；（2）画经过位似中心，且分别过已知多边形各顶点的直线；（3）分别在各直线上取一点，使其到位似中心的距离与已知多边形的对应顶点到位似中心的距离之比为相同的一个定值；（4）顺次连接各点。二、例题分析例1、如图ABC的三个顶点坐标分别为A（2，2），B（3，1），C（1，0），试将ABC放大，使放大后的DEF与ABC对应边之比为2：1，并指出其对应边AB与DE有何位置关系？并说明理由。分析：将图形放大、缩小是位似变换，应先确定位似中心。根据题意可取坐标原点为位似中心，则根据位似比可得D、E、F的坐标。解：如上图，选取
3、坐标原点为位似中心，连OA、OB，则OA的直线解析式为yx位似比k2点D（4，4）在直线OA上同理可得E（6，2），F（2，0）连DE、EF、DF则DEF为将ABC放大2倍后的图形对应边DEAB证明： 又AOBDOEAOBDOEOABODEDEAB例2、如图，矩形ABCD与矩形 是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD周长为24，BB4，DD2，求AB、AD的长。分析：由位似图形的定义可得出两图形各对应边的比例相等，由此求出答案。解：矩形ABCD的周长24ABAD12，设ABx，则AD12xABx4，AD14x矩形ABCD与矩形 是位似图形 ，即 ，x8AB8，AD1284相似三角形的应用一
4、、知识点讲解平行投影：在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影。注意：在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成正比。太阳光线是比较常见的平行光线，根据平行投影的性质，我们可以通过影长来测定实际物体的高度。中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。注意：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例，路灯、台灯、手电筒的等光源都为点光源。如图，眼睛的位置（图中的O点）叫做视点（vision-spot）。由视点发出的线叫做视线（vision-line）。由于CD段的遮挡，眼睛看不到的地方，叫做盲区（blind area）二、例题分析例1、校园里有一棵高大的雪松，你有什么办法测
5、得这棵大雪松的高度？分析：雪松在太阳光（平行光）的照射下，会有平行投影。根据在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成正比。我们可以通过测量雪松的影子长度，其它物体的高度及影子长度来测量雪松的高度。解：取一根皮尺、一根竹竿。在日照下测出雪松影子长度L，测出竹竿高度h，测出竖直放置的竹竿的影子长度 。根据平行投影的性质可得出： ，求出雪松高度 。 例2、在同一直线上的三根旗杆直立在地面上，第一、第二根旗杆在同一灯光下的影子如图，请在图中画出光源的位置，并画出第三根旗杆在该灯光下的影子。分析：物体在灯光下的投影为中心投影，影子末端与物体顶端的连线肯定过点光源，所以我们可以得出点光源位置，再画出第三
6、根旗杆在该灯光下的影子解析：连接影子末端与旗杆顶端连线，找出光源位置，再画出第三根旗杆的影子例3、如图所示两面墙高度分别为AB=6m，CD=8m，两墙之间的距离为AC=4m，小明沿着正对这两面墙的方向从左向右前进，如果小明的眼睛与地面的距离为1.6m，当小明与墙AB距离小于多少时，就不能看到墙CD的顶D？分析：当D点进入小明的视线盲区的时候，小明看不到D点。解析：AB/CD，所以EBFEDG ，即 ，解得EF=8.8m同步测试1、如图，将ABC的三边缩小为原来的 ，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得DEF，下列说法中正确的个数是（ ）ABC与DEF是位似图形；ABC与D
7、EF是相似形；ABC与DEF的周长之比为2：1；ABC与DEF面积比为4：1；A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，请用位似的方法把下面的图形放大一倍。3、利用位似的方法把图1868缩小一倍，要求所作的图形在原图内部。4、如图，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EHAD，HGDC，GFBC。试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由。5、为了测量学校旗杆的高度，身高1.65m的小明和小刚来到操场上，他让小刚到体育室借来皮尺，量出小明的影长为0.5m，旗杆的影长为2.3m运用这些数据，小明算出了旗杆的大约高度。6、为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显
8、标志的点A，再在所在的边找到两点B、C，使 构成直角三角形。如果测得 ，ABC70，求河的宽度AC。参考答案1、D2、依据位似的概念，先确定位似中心，再依据相似形的性质，把对应线段放大一倍。解答：如图1）任取一点O；2）以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD；3）分别在射线OA、OB、OC、OD上，取点 使 ；4）连结 ，得到所要画的多边形 。3、利用位似的方法作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确定位似中心，本题的位似中心必须取在原图的内部。解答：如图1）在五边形ABCDE内部任取一点O。2）以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE。3）分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上，取
9、点 ，使 。4）连结 ，得到所要画的多边形 4、 通过观察，我们可以猜想出四边形EFGH四边形ABCD，关键是如何说明两者是相似的。三角形相似只要有两对对应角相等或对应边成比例，而要说明多边形相似，则要同时满足两个条件：既要所有的对应角相等，又要所有的对应边成比例，二者缺一不可。从EHAD、HGDC、GFBC可得三对相似三角形，再找出角的关系，则能证明猜想。解答：四边形EFGH四边形ABCD。理由：EHAD，OEHOAD，1=A，2=3， ，又HGCD，OHGODC，45，67， ，2+43+5，即EHGADC。GFBC，OFGOBC，89，10B， ，6十87+9，即HGFDCB， ，OEkOA，OF=KOB ， 1A，EHGADC，HGFDCB，10B， 。四边形EFGH四边形ABCD。5、由于太阳光可以看作是一束平行光线，小明和旗杆又都垂直于地面所以由太阳光线、实物及实物的影子构成的三角形都是相似的(在同一时刻)。故ABC ，如图解答：ABC 又 即旗杆的高度为7.59m。6、只须按1：2000的比例在纸上把ABC画出来。由于ABC为直角三角形，C90，ABC70，所以画出的三角形 ，也是直角三角形，且 ， ，BC50m， 。如图，用刻度尺量出 的长度，就可以算出河宽AC。解答：画直角三角形 ，使 ，用刻度直尺量得 ，用刻度尺量得 。 AC98m。即河宽AC为98m。