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1、12.312.3角平分线的性质角平分线的性质 知识回顾：知识回顾：三角形三角形 全等的条件：全等的条件：1 1）定义（重合）法；）定义（重合）法；SSSSSS；SASSAS；ASAASA；AAS.AAS.2 2）解题）解题中常用的中常用的4 4种方法种方法3）HL直角三角形全等用直角三角形全等用复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念oBCA12下图中能表示点下图中能表示点P到直线到直线l的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长思考：思考：复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离: :从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段 的的长度长度，叫做叫做
2、点到直线的距离。点到直线的距离。PABO我的我的长度长度尺规作角的平分线尺规作角的平分线画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明： PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=P
3、E（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DP PEAOBC证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说用符号语言表示为：用符号语言表示为： 1= 2 1= 2 PD OA
4、PD OA ，PE OBPE OBPD=PEPD=PE( (角角的的平分线上的点到角的两边平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等) )推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不它们不是角平分线上任一点这个角两是角平分线上任一点这个角两边的距离边的距离,所以不一定相等所以不一定相等角平分线的性质角平分线的性质BADOPEC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的
5、条件： （1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上； （3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。 1、如图，、如图， AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） 2、如图，、如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）3、 AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已（已知
6、）知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等4、如图，、如图， OC是是AOB的平分线，的平分线， 又又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等w已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.w求证:EB=FC. BAEDCF证明： DEAB,DFAC BED=CFD=90 AD平分BAC， DE=DF【角平分线上的点到两边的距离相等角平分线上的点到两
7、边的距离相等】又 在RtBDE和RtCDF中 BD=CD DE=DFRtBDE RtCDF（HL）EB =FC 在在ABC中，中， C=90 ，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，BC7，DE3.求求BD的长。的长。EDCBA3.已知已知ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE你会吗？你会吗？ 如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的的平分线，平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF1、如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
8、求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F BM为为ABC的角平分线PD=PE同理同理,PE=PF. PDPE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等你能得出什么结论？你能得出什么结论？结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上分线上如图，的如图，的的外角的平分线与的外角的平分线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线求证：点到三边，所在直线的距离相等的距离相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！思
9、考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路回味无穷回味无穷w 定理（文字语言）定理（文字语言）: : 角平分线上的点角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到这个角的两边的距离相等. .w 符号语言：符号语言：w 1 12 PDOA,PEOB(2 PDOA,PEOB(已知）已知） PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边距离相等两边距离相等).).w 用尺规作角的平分线用尺规作角的平
10、分线. .OCB1A2PDE，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ABCDE 2 2、如图、如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,点点P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用1 . 1 . 如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F， DE =DFDE =DF， EDB= EDB= 6060，则，则 EBF=EBF= 度，度，BE=BE= 。ABCDCEF60BF2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm练习练习