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1、人教版八年级数学(上)11.3.1角平分线角平分线的性质（的性质（1）ADBCEADCB 实验中学八年级数学组实验中学八年级数学组自学提纲1.角平分仪为什么能平分一个角？ P192.如何画一个角的平分线？P194.角的平分线的性质是什么？如何证明？用几何符号如何表示？P203.如何通过作一个平角的平分线得到直线的垂线？P19练习5.证明一个几何命题的步骤是什么？P21AOBC活活 动动1（对折对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,
2、AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角
3、的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM已知已知： (如图)求作求作： 的角平分线OC.在OMC和ONC中OM=ONMC=NCOC=OCOMC ONC(SSS)AOC=BOC即:OC 是的角平分线. 1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在AOB内部交于点C。MN213、作射线OC，射线OC即为所求。作法作法：ABOCNM证明证明:连结MC,NC由作法知:1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反
4、向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角
5、的两边的距离相等两边的距离相等. .证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBP
6、EOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE活活 动动5(3)验证猜想验证猜想(4)得到角得到角平分线的平分线的性质：性质：活活 动动5 利用此性质怎利用此性质怎样书写推理过程样书写推理过程?(几何符号语言）几何符号语言） 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121= 2,PD OA ，PE OBPD=PE.题设：一个点在一个角的平分
7、线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等BOACDPE1.如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线， PD=PEPDOA，PEOB2.如图如图,在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE= CM.EDCBA43.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DEAB于于E，则：，则：图中相等的线段有图中相等的线段有 ;相等的角有：相等的角有： 。哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBABE
8、=BC,DE=DCABD= CBDBED= AED= C6810 如 图 ： 在 如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写
9、证明。你一证明。你一定行！定行！证明证明: AD平分平分C, D是是AD上一点（已知）上一点（已知） 如图：在如图：在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBDEAB,DCAC（已知）（已知）在在RTCDF和和RTBDE 中中 BD=DF （已知）（已知） DC=DE（已证）（已证）RT CDF RTFDB (HL)CFB（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）ACDEBFDCD(角平分线的性质）角平分线的性质）2.2.定理定理 角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相
10、等. .w OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,w P P是是OCOC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等).).小结 拓展OCB1A2PDE1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；作业：作业：1、课本习题、课本习题11.3 第第1、2题题2、已知一个角已知一个角AOB，你能否只，你能否只用一块三角板画出用一块三角板画出AOB的角平分的角平分线？说出画法和理由线？说出画法和理由.再再 见见