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1、1.1.2 余弦定理余弦定理一、复习回顾：一、复习回顾：1 1.正弦定理：正弦定理：.sinsinsinCcBbAa中，ABC2 2. 运用正弦定理解三角形的条件：运用正弦定理解三角形的条件：已知已知 ，解三角形解三角形已知已知 ，解三角形解三角形两角两角及任意及任意一边一边两边两边及及其中一边的对角其中一边的对角二、课题引入二、课题引入实际情景：实际情景：我校某研究性学习小组研究三角函数在实际生活我校某研究性学习小组研究三角函数在实际生活中的应用，在其中一次实践活动中，他们在烈士中的应用，在其中一次实践活动中，他们在烈士公园年嘉湖畔选定公园年嘉湖畔选定A、B、C三点，借助测量工具三点，借助测
2、量工具测得测得C点与点与A、B两点的距离分别约为两点的距离分别约为300米、米、500米，米，ACB 约为约为120，他们将利用数学知识，求，他们将利用数学知识，求得得两两点点A、B 之间的距离之间的距离.CB300500A120ABC中中，AC=300，BC=500，ACB =120，求，求AB长长.问题：问题：在已知三角形在已知三角形ABC的两边的两边a、b及及其夹角其夹角C的条件下的条件下，能否利用，能否利用已学的已学的正弦正弦定理定理解出三角形呢？解出三角形呢？二、课题引入二、课题引入数学问题：数学问题：CB300500A1201.2.1 余弦定理余弦定理AbaCBcABC中中，已知已
3、知a，b，及，及C，求，求c边边.三、定理探索及证明：三、定理探索及证明：如图，设如图，设=a2+ b22abcosC .,cABbCAaCB, bac那么那么)()(|2babacccbabbaa2c2= a2+ b22abcosC .ABabCAbaCBcbacc2= a2+ b22abcosC，三、定理证明：三、定理证明：余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和于其它两边平方的和减去减去这两边与它这两边与它们夹角的余弦的积的们夹角的余弦的积的两倍两倍.即即：在在ABC中，中，a2= b2+ c22bccosA，b2= a2+ c22accosB.余
4、弦定理的推论余弦定理的推论： ，. .,cosbcacbA2222三、定理证明：三、定理证明：,cosacbcaB2222.cosabcbaC2222四、定理剖析：四、定理剖析：2. 2. 运用余弦定理解三角形的条件：运用余弦定理解三角形的条件： 1. 余弦定理余弦定理与勾股定理的关系：与勾股定理的关系：勾股定理勾股定理，指出了，指出了 直角直角 三角形中三边平方三角形中三边平方之间的关系；之间的关系；余弦定理余弦定理指出了指出了 任意任意 三角形三角形中三边平方之间的关系中三边平方之间的关系余弦定理是勾股定理的推广余弦定理是勾股定理的推广. .（1）已知）已知两边及其夹角两边及其夹角，求第三
5、边；，求第三边；（2）已知）已知三边三边，求任意内角（或其余弦），求任意内角（或其余弦）.五、余弦定理的运用：五、余弦定理的运用：A300500CB120【例【例1】我校某研究性学习小组研究三角函数在】我校某研究性学习小组研究三角函数在实际生活中的应用，在其中一次实践活动中，他实际生活中的应用，在其中一次实践活动中，他们在烈士公园年嘉湖畔选定们在烈士公园年嘉湖畔选定A、B、C三点，借助三点，借助测量工具测得测量工具测得C点与点与A、B两点的距离分别约为两点的距离分别约为300米、米、500米，米，ACB 约为约为120，请利用余弦定，请利用余弦定理，求得点理，求得点A、B 的距离的距离.（1
6、1） ； 【例例2】在在ABC中，中，a=3，b=4，c=求三角形的最大内角求三角形的最大内角.37（2 2）解三角形）解三角形. . （解决的方法）（解决的方法）（2）【方法一）【方法一】余弦定余弦定理理 角角B(或或A). cosA(或或 cosB)计算器计算器 A(或或B)CAB180CBA180（1 1） ； 【例例2】在在ABC中，中，a=3，b=4，c=求三角形的最大内角求三角形的最大内角.37（2 2）解三角形）解三角形. . （解决的方法）（解决的方法）（2）【方法二）【方法二】正弦正弦定定理理 角角B(或或A). sinA(或或 sinB)计算器计算器 A(或或B)CAB18
7、0CBA180【练习】【练习】1在在ABC中，下面说法不正确的是中，下面说法不正确的是（ ） A若若a2+b2=c2，则，则ABC为直角三角形为直角三角形 B若若a2+b2c2，则，则ABC为锐角三角形为锐角三角形 D若若ABC为锐角三角形，则为锐角三角形，则a2+b2c2C【总结】【总结】 在在ABC中，中，a2+b2=c2 C为直角；为直角；a2+b2c2 C为锐角为锐角.2.在在ABC中，若已知中，若已知a2b2c2+b bc=0，则则A= . .60六、正弦定理、余弦定理的选用：六、正弦定理、余弦定理的选用：【例【例3 3】在在ABC中，已知中，已知 a=2, ,6c, 60C求求b边
8、长边长.【变式】【变式】在在ABC中，已知中，已知 a=2，c=3， , 60C求求b边长边长.ACBac【方法总结方法总结】解三角形时如何选择正弦定理、解三角形时如何选择正弦定理、余弦定理：余弦定理：1.1.运用正弦定理的条件运用正弦定理的条件： 已知已知两角两角与与一边一边； 已知已知两边两边及及其中一边的对角其中一边的对角. .2.2.运用余弦定理的条件运用余弦定理的条件： 已知已知两两边及边及夹角夹角； 已知三边；已知三边；已知已知两边两边及及其中一边的对角其中一边的对角（解方程）（解方程）. . 在在ABC中，角中，角A、B、C的的对边分别为对边分别为a、b、c， 求角求角B的大小的大小.cos)(cosBcaCb 2【思路一】利用正弦定理边化角；【思路一】利用正弦定理边化角；【思路二】利用余弦定理角化边【思路二】利用余弦定理角化边. .【综合提升综合提升】【课后练习课后练习】小小 结：结：一、余弦定理及其推论一、余弦定理及其推论. .二、选择正弦定理、余弦定理解三角形二、选择正弦定理、余弦定理解三角形. .三、正弦定理、余弦定理的综合运用三、正弦定理、余弦定理的综合运用. . ( (预习）预习）作作 业：业：学案第学案第2 2课时，习案第课时，习案第2 2课时课时. .