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1、第3章 导数的应用2（函数的单调性与极值）函数的单调性函数的单调性 定理定理：设函数：设函数 y=f(x)在在a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b) 可导可导 若若x (a,b)时，时，f (x)0，则，则f(x)在在a,b上单上单调增；调增； 若若x (a,b)时，时，f (x)0，则，则f(x)在在a,b上单上单调减；调减； 若若x (a,b)时，时，f (x)=0，则，则f(x)在在a,b上为上为常数。常数。 分析函数单调性的步骤：分析函数单调性的步骤： 确定函数的定义域；确定函数的定义域； 求函数的导数；求函数的导数； 找出函数导数等于零和导数不存在的点；找出函数导数等于零和
2、导数不存在的点； 列表分析。列表分析。例例 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间解解: 函数的定义域为（函数的定义域为（ -， + ） 令令y =0，得，得 x1=1，x2=3； x ( - ,1 ) 1 ( 1, 3) 3 ( 3 , + ) y 0 0 y 单调增单调增 单调减单调减 单调增单调增59623xxxy91232xxy) 3)(1( 3xx解解: 函数的定义域为（函数的定义域为（ -， + ） 令令f (x)=0，无解；，无解； 当当x=1时，时， f (x)不存在；不存在； x ( - , 1 ) 1 ( 1, +) y / y 单调减单调减 单调增单调增32) 1()(
3、xxf) 1()(32xxf3132x31) 1(32x练习（练习（P73） 5.求函数的单调区间：求函数的单调区间： 71862)(23xxxxf函数的极值函数的极值 定义定义：设函数：设函数 f(x)在在x0及其左右近旁有定义，若及其左右近旁有定义，若对点对点x0附近任一点附近任一点 x， 均有：均有： f(x)f(x0)，则称则称f(x0)为函数为函数 f(x)的的极小值极小值，称点称点x0为函数为函数 f(x)的的极小值点极小值点； 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的极值极值，极大，极大值点与极小值点统称为函数的值点与极小值点统称为函数的极值点极值点。 定
4、理定理：函数：函数 f(x)在在x0处有极值，则函数处有极值，则函数f(x)在在x0处处f (x0)=0或不可导。或不可导。 定理定理：设函数：设函数 f(x)在在x0处连续，在点处连续，在点 x0的附近可的附近可导（导（x0点可除外）点可除外） 如果在点如果在点x0的左侧附近的左侧附近 f (x)0，在点在点x0的右的右侧附近侧附近 f (x)0，则则f(x0)为函数为函数 f(x)的的极大值极大值； 如果在点如果在点x0的左侧附近的左侧附近 f (x)0，则则f(x0)为函数为函数 f(x)的的极小值极小值； 如果在点如果在点x0的左右两侧附近的左右两侧附近 f (x)同号同号，则则f(x
5、0)不为函数不为函数 f(x)的的极值。极值。 求函数极值的步骤：求函数极值的步骤： 确定函数的定义域；确定函数的定义域； 求函数的导数；求函数的导数； 找出函数导数等于零和导数不存在的点；找出函数导数等于零和导数不存在的点； 列表分析。列表分析。例例 求函数求函数 的极值的极值解解: 函数的定义域为（函数的定义域为（ -， + ） 令令f (x)=0，得，得 x1= 1，x2=3； x ( - ,-1 ) -1 ( -1, 3) 3 ( 3 , + ) f (x) 0 0 f(x) 单调增单调增 单调减单调减 单调增单调增3331)(23xxxxf32)(2xxxf) 3)(1(xx极大值极大值 -4/3极极 小值小值 -12练习（练习（P73）6. 求函数的极值：求函数的极值： 2634)(23xxxxf