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1、第3章 导数的应用4（函数的凹凸性与拐点）曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 定义定义：设函数：设函数 f(x)在开区间在开区间(a,b) 内各点都有切内各点都有切线：线： 若曲线弧都在切线的下方，则称曲线在区间若曲线弧都在切线的下方，则称曲线在区间(a,b)内是内是凸的凸的，区间，区间(a,b)为为凸区间凸区间； 若曲线弧都在切线的上方，则称曲线在区间若曲线弧都在切线的上方，则称曲线在区间(a,b)内是内是凹的凹的，区间，区间(a,b)为为凹区间凹区间； 曲线上凹与凸曲线上凹与凸(或凸与凹或凸与凹)的分界点称为曲线的分界点称为曲线的的拐点拐点。 定理定理：设函数：设函数 f(x)在开区间在
2、开区间(a,b) 内有二阶导数：内有二阶导数： 若在若在(a,b)内，内，f(x)0，则曲线，则曲线f(x)在在(a,b)内是凹的；内是凹的； 若在若在(a,b)内，内，f(x)0，则曲线，则曲线f(x)在在(a,b)内是凸的。内是凸的。求函数曲线的凹凸区间与拐点的步骤：求函数曲线的凹凸区间与拐点的步骤： 确定函数的定义域；确定函数的定义域； 求函数的二阶导数；求函数的二阶导数； 找出函数二阶导数等于零和二阶导数不存在找出函数二阶导数等于零和二阶导数不存在的点；的点； 列表分析。列表分析。 例例 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐的凹凸区间与拐点。点。解解: 函数的定义域为函数的定义域为(- ,+ ) 令令f(x)=0，解得：，解得：x=0，x=2 x (-,0) 0 (0,2) 2 （2,+）f(x) + 0 0 +f(x) 54)(34xxxf23124)(xxxfxxxf2412)(2 拐点拐点 5拐点拐点 -11)2(12xx练习（练习（P82）3. 求函数的凹凸区间和拐点：求函数的凹凸区间和拐点： 12)(23xxxf