2022年奥数四级行程问题.pdf

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1、奥数四年级行程问题第三部分行程问题第一讲行程基础【专题知识点概述】行程问题就是一类常见的重要应用题, 在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括 : 相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大, 辐射面广 , 但根本在于距离、速度与时间三个基本量之间的关系 , 即: 距离速度时间, 时间距离速度 , 速度距离时间。 在这三个量中 , 已知两个量 , 即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式, 就是解决行程问题的关键。在解答行程问题时, 经常采取画图分析的方法, 根据题意画出线段图, 来帮助我们分析、理解题意, 从而解决问题。一、行程基本量我们把研究路程、速

2、度、时间以及这三者之间关系的一类问题, 总称为行程问题、我们已经接触过一些简单的行程应用题, 行程问题主要涉及时间(t) 、速度 (v) 与路程 (s) 这三个基本量 , 它们之间的关系如下 : (1) 速度时间 =路程可简记为 :s = vt (2) 路程速度=时间可简记为 :t = sv (3) 路程时间=速度可简记为 :v = st 显然, 知道其中的两个量就可以求出第三个量、二、平均速度平均速度的基本关系式为: 平均速度总路程总时间 ; 总时间总路程平均速度 ; 总路程平均速度总时间。【重点难点解析】1. 行程三要素之间的关系2. 平均速度的概念3. 注意观察运动过程中的不变量【竞赛考

3、点挖掘】1、注意观察运动过程中的不变量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【习题精讲】【例 1】(难度等级) 邮递员早晨7 时出发送一份邮件到对面山里, 从邮局开始要走12 千米上坡路 ,8 千米下坡路。她上坡时每小时走4 千米 , 下坡时每小时走5 千米 , 到达目的地停留1 小时以后 ,又从原路返回 , 邮递员什么时候可以回到邮局? 【分析与解】法一 : 先求出去的时间, 再求出返回的时间, 最后转化为时刻。邮

4、递员到达对面山里需时间:12 4+85=4、 6( 小时 ); 邮递员返回到邮局共用时间:8 4+125+1+4、 6 =2+2、 4+1+4、6 = l0(小时 ) 邮递员回到邮局时的时刻就是:7+10-12=5(时) 、邮递员就是下午5 时回到邮局的。法二 : 从整体上考虑, 邮递员走了 (12+8) 千米的上坡路, 走了 (12+8) 千米的下坡路, 所以共用时间为 :(12+8) 4+(12+8) 5+1=10( 小时 ), 邮递员就是下午7+10-12=5( 时 ) 回到邮局的。 . 【例 2】(难度等级) 甲、乙两地相距100 千米。下午3 点, 一辆马车从甲地出发前往乙地, 每小

5、时走10 千米 ; 晚上 9 点, 一辆汽车从甲地出发驶向乙地, 为了使汽车不比马车晚到达乙地, 汽车每小时最少要行驶多少千米？、【分析与解】马车从甲地到乙地需要10010=10 小时 , 在汽车出发时, 马车已经走了9-3=6( 小时 ) 。依题意, 汽车必须在10-6=4 小时内到达乙地, 其每小时最少要行驶1004=25( 千米 ). 【例 3】(难度等级)小明每天早晨6:50 从家出发 ,7:20到校 , 老师要求她明天提早6 分钟到校。 如果小明明天早晨还就是 6:50 从家出发 , 那么 , 每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问:小明家到学校多远？( 第六届小数报

6、数学竞赛初赛题第1 题) 【分析与解】原来花时间就是30 分钟 , 后来提前6 分钟 , 就就是路上要花时间为24 分钟。这时每分钟必须多走25 米, 所以总共多走了2425=600 米, 而这与 30 分钟时间里 , 后 6 分钟走的路程就是一样的, 所以原来每分钟走6006=100 米。总路程就就是=10030=3000米。【例 4】(难度等级) 韩雪的家距离学校480米, 原计划 7 点 40 从家出发 8 点可到校 , 现在还就是按原时间离开家,不过每分钟比原来多走16 米, 那么韩雪几点就可到校？【分析与解】原来韩雪到校所用的时间为20 分钟 , 速度为 :480 20=24( 米/

7、 分), 现在每分钟比原来多走16 米, 即现在的速度为24+16=40( 米/ 分), 那么现在上学所用的时间为:480 40=12( 分钟 ),7点 40 分从家出发 ,12 分钟后 , 即 7 点 52 分可到学校 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【例 5】(难度等级) 王师傅驾车从甲地开往乙地交货、如果她往返都以每小时60 千米的速度行驶, 正好可以按时返回甲地、可就是,当到达乙地时 , 她发现从甲

8、地到乙地的速度只有每小时50 千米、如果她想按时返回甲地, 她应以多大的速度往回开? 【分析与解】假设甲地到乙地的路程为300, 那么按时的往返一次需时间300602=10( 小时 ), 现在从甲到 乙花 费了 时间300 50=6( 小 时 ), 所 以从 乙地返回到 甲地 时所 需的 时间 只 能 就 是10-6=4( 小时 ) 、即如果她想按时返回甲地, 她应以 3004=75( 千米 / 时) 的速度往回开. 【例 6】(难度等级) 刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访,以 10 千米 / 时的速度行进 , 下午 1 点到 ; 以 15 千米 / 时的速度行进 , 上午 11 点到、如果希

9、望中午12 点到 , 那么应以怎样的速度行进？【分析与解】这道题没有出发时间, 没有学校到韩丁家的距离, 也就就是说既没有时间又没有路程, 似乎无法求速度、这就需要通过已知条件, 求出时间与路程、假设有 A,B 两人同时从学校出发到韩丁家,A 每小时行10 千米 , 下午 1 点到 ;B 每小时行15千米 , 上午 11 点到、 B 到韩丁家时 ,A 距韩丁家还有102=20( 千米 ), 这 20 千米就是 B从学校到韩丁家这段时间B比 A多行的路程、因为B比 A每小时多行15-10=5( 千米 ), 所以 B从学校到韩丁家所用的时间就是20(15-10)=4(时) 、由此知 ,A,B就是上

10、午7 点出发的 , 学校离韩丁家的距离就是154=60( 千米 ) 、刘老师要想中午12 点到 , 即想(12-7=)5时行 60 千米 , 刘老师骑车的速度应为60(12-7)=12(千米 / 时). 【例 7】(难度等级 ) 小红上山时每走30 分钟休息10 分钟, 下山时每走30 分钟休息5 分钟、已知小红下山的速度就是上山速度的2 倍, 如果上山用了3 时 50 分, 那么下山用了多少时间？【分析与解】上山用了 3时 50 分, 即 603+50=230( 分), 由 230 (30+10)=5 30, 得到上山休息了5 次,走了 230-10 5=180(分) 、因为下山的速度就是上

11、山的2 倍, 所以下山走了1802=90( 分 ) 、由 9030=3 知, 下山途中休息了2 次, 所以下山共用90+52=100( 分 )=1 时 40 分、【例 8】(难度等级 ) 老王开汽车从A到 B为平地 ( 见右图 ), 车速就是 30 千米时 ; 从 B到C为上山路 , 车速就是 22、5 千米时 ; 从 C到 D为下山路 , 车速就是36 千米时、已知下山路就是上山路的2 倍, 从 A 到 D 全程为 72千米 , 老王开车从A到 D共需要多少时间？【分析与解】设上山路为x 千米 , 下山路为2x 千米 , 则上下山的平均速度就是:(x+2x) (x 22、5+2x36)=30

12、( 千米 / 时), 正好就是平地的速度, 所以行 AD总路程的平均速度就就是30 千米 / 时, 与平地路程的长短无关、因此共需要72302、4( 时 ). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【例 9】(难度等级 ) 汽车以 72 千米 / 时的速度从甲地到乙地, 到达后立即以48 千米 / 时的速度返回甲地。求该车的平均速度。【分析与解】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程总时间 , 在这道题目中如果我们知道汽

13、车行驶的全程 , 进而就能求出总时间, 那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法, 这就是奥数里面非常重要的一种思想, 在很多题目中都有应用。把甲、乙两地的距离视为1 千米, 总时间为 :1 72+148, 平均速度 =2(1 72+148)=57 、6 千米 / 时。 我们发现中的取值在计算过程中不太方便, 我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为72,48=144千米 , 这样计算时间时就好计算一些, 平均速度 =1442(144 72+14448)=57 、6 千米 / 时。【例 10】( 难度等级)如图 , 从 A到 B就是 12 千米下坡路

14、, 从 B到 C就是 8 千米平路 , 从 C到 D就是 4 千米上坡路、小张步行, 下坡的速度都就是 6 千米 / 小时, 平路速度都就是4 千米 / 小时 , 上坡速度都就是2 千米 / 小时、问小张从A到 D的平均速度就是多少? 【分析与解】从 A到 B的时间为 :12 6=2( 小时 ), 从 B到 C的时间为 :8 4=2( 小时 ), 从 C到 D的时间为:4 2=2( 小时), 从 A到 D的总时间为 :2+2+2=6( 小时 ), 总路程为 :12+8+4=24( 千米 ),那么从 A到 D 的平均速度为 :24 6=4( 千米/ 时). 【例 11】( 难度等级)有一座桥 ,

15、过桥需要先上坡, 再走一段平路 , 最后下坡 , 并且上坡、 平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时,上坡、走平路与下坡的速度分别为米/ 秒、米/ 秒与米/ 秒 , 求她过桥的平均速度。【分析与解】假设上坡、走平路及下坡的路程均为24 米, 那么总时间为:24 4+246+248=13( 秒), 过桥的平均速度为 (米/ 秒). 【例 12】( 难度等级)汽车往返于A,B 两地 , 去时速度为40 千米时 , 要想来回的平均速度为48 千米时 ,回来时的速度应为多少？【分析与解】假设 AB两地之间的距离为480 2=240 千米, 那么总时间 =48048=10(小时 ), 回来时的速度=2

16、40(10-240 40)=60( 千米 / 时). 【例 13】( 难度等级)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题有一座桥 ,过桥需要先上坡, 再走一段平路 , 最后下坡 , 并且上坡、 平路及下坡的路程相等、某人骑电动车过桥时,上坡、走平路与下坡的速度分别为11 米秒、 22 米秒与33 米秒 ,求她过桥的平均速度、 、【分析与解】假设上坡、平路及下坡的路程均为66 米, 那么总时间 =6611+6622+66

17、33=6+3+2=11( 秒),过桥的平均速度=66311=18(米 / 秒) 【例 14】( 难度等级)一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A 点开始爬行一周、在三条边上它每分钟分别爬行50cm,20cm,40cm(如右图 ) 、它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？【分析与解】假 设 每 条 边 长 为200 厘 米 , 则 总 时 间 =200 50+200 20+200 40=4+10+5=19( 分钟), 爬行一周的平均速度=200319=( 厘米 / 分钟 ) 、【例 15】( 难度等级)甲、 乙两地相距6 千米, 某人从甲地步行去乙地, 前一半时间平均每分钟行80 米, 后一半时间平均每分

18、钟行70 米、问她走后一半路程用了多少分钟？【分析与解】全程的平均速度就是每分钟(80+70) 2=75 米, 走完全程的时间就是6000/75=80 分钟 , 走前一半路程速度一定就是80 米, 时间就是300080=37、5 分钟 , 后一半路程时间就是80-37 、5=42、5 分钟 . 第二讲相遇与追及精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【专题知识点概述】在今天这节课中 , 我们来研究行程问题中的相遇与追及

19、问题. 这一讲就就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解, 使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题, 其中最常见的就是相遇问题与追及问题、一、相遇甲从 A地到 B地, 乙从 B地到 A地, 然后两人在途中相遇 , 实质上就是甲与乙一起走了 A,B 之间这段路程 , 如果两人同时出发 , 那么相遇路程 =甲走的路程 +乙走的路程=甲的速度相遇时间 +乙的速度相遇时间=(甲的速度 +乙的速度 ) 相遇时间=速度与相遇时间、一般地 , 相遇问题的关系式为 : 速度与 相遇时间 =路程与 , 即二、追及有两个人同时行走 , 一个走得快 , 一个走得慢 ,

20、 当走得慢的在前 , 走得快的过了一些时间就能追上她、 这就产生了 “追及问题”、实质上 , 要算走得快的人在某一段时间内 , 比走得慢的人多走的路程 , 也就就是要计算两人走的路程之差( 追及路程) 、如果设甲走得快 , 乙走得慢 , 在相同的时间 (追及时间 ) 内: 追及路程 =甲走的路程 - 乙走的路程=甲的速度追及时间 - 乙的速度追及时间=(甲的速度 -乙的速度 ) 追及时间=速度差追及时间、一般地 , 追击问题有这样的数量关系: 追及路程 =速度差追及时间 , 即【重点难点解析】1. 直线上的相遇与追及精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

21、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题2. 环线上的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1、 多人多次相遇与追及【习题精讲】【例 1】(难度等级) 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出, 客车每小时行46 千米 ,货车每小时行 48 千米。 3、 5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程就是多少千米？【分析与解】(46+48) 3、5=943、5=329( 千米 ). 【例 2】(难度等级) 两地间的路程有255 千米 , 两辆汽车同时从两地相对开出, 甲车每小时行45 千米 , 乙车每小时行 4

22、0 千米。甲、乙两车相遇时, 各行了多少千米？【分析与解】255(45+40)=255 85=3( 小时 ) 。45 3=135( 千米 ) 。40 3=120( 千米 ) 。. 【例 3】(难度等级)两地相距3300 米, 甲、乙二人同时从两地相对而行, 甲每分钟行82 米, 乙每分钟行83 米, 已经行了 15 分钟 , 还要行多少分钟两人可以相遇？【分析与解】3300-(82+83)15 (82+83) =3300-165 15 165 =3300-2475165 =825165 =5(分钟 ) 【例 4】(难度等级) 甲、乙二人都要从北京去天津, 甲行驶 10 千米后乙才开始出发, 甲

23、每小时行驶15 千米 ,乙每小时行驶10 千米 , 问: 乙经过多长时间能追上甲？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【分析与解】出发时甲、乙二人相距10 千米 , 以后两人的距离每小时都缩短15-10 5( 千米 ), 即两人的速度的差 ( 简称速度差 ), 所以 10 千米里有几个5 千米就就是几小时能追上、10 (15-10) 1052( 小时 ). 【例 5】(难度等级) 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地

24、s 城的方向各执一词, 于就是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南与往北驶去, 二人的速度分别为50 千米 / 时,60 千米 / 时, 那么北辙先生出发 5 小时她们相距多少千米?. 【分析与解】两人虽然不就是相对而行, 但就是仍合力完成了路程,(50+60)5=550(千米 ). 【例 6】(难度等级) 军事演习中 , “我”海军英雄舰追击“敌”军舰, 追到 A岛时 , “敌”舰已在10 分钟前逃离 ,“敌”舰每分钟行驶1000 米, “我”海军英雄舰每分钟行驶1470 米, 在距离“敌”舰600米处可开炮射击, 问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰? 【分析与解】“我”舰追

25、到A岛时 , “敌”舰已逃离10 分钟了 , 因此 , 在 A岛时 , “我”舰与“敌”舰的距离为 10000 米(=1000 10) 、又因为“我” 舰在距离 “敌” 舰 600 米处即可开炮射击, 即“我”舰只要追上“敌”舰9400(=10000米-600 米) 即可开炮射击、所以, 在这个问题中, 不妨把9400 当作路程差 , 根据公式求得追及时间、即(1000 10-600) (1470-1000)=(10000-600)470=9400470=20( 分钟 ), 所以 , 经过 20 分钟可开炮射击“敌”舰. 【例 7】(难度等级 ) 小红与小蓝练习跑步, 若小红让小蓝先跑20 米

26、, 则小红跑5 秒钟就可追上小蓝; 若小红让小蓝先跑 4 秒钟 , 则小红跑6 秒钟就能追上小蓝、小红、小蓝二人的速度各就是多少？【分析与解】小红让小蓝先跑20 米, 则 20 米就就是小红、小蓝二人的路程差, 小红跑 5 秒钟追上小蓝,5秒就就是追及时间, 据此可求出她们的速度差为205=4(米/ 秒); 若小红让小蓝先跑4 秒,则小红6 秒可追上小蓝, 在这个过程中, 追及时间为6 秒, 根据上一个条件, 由追及差与追及时间可求出在这个过程中的路程差, 这个路程差即就是小蓝4 秒钟所行的路程, 路程差就等于 4 6=24( 米), 也即小蓝在4 秒内跑了24 米, 所以可求出小蓝的速度,

27、也可求出小红的速度、综合列式计算如下: 小蓝的速度为:20 5 64=6( 米/ 秒), 小红的速度为:6+4=10( 米/秒) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【例 8】(难度等级 ) 小明步行上学 , 每分钟行 70 米、离家 12 分钟后 ,爸爸发现小明的文具盒忘在家中, 爸爸带着文具盒, 立即骑自行车以每分钟280 米的速度去追小明、问爸爸出发几分钟后追上小明？【分析与解】爸爸要追及的路程:70 12=

28、840( 米), 爸爸与小明的速度差:280-70=210(米/ 分 ), 爸爸追及的时间 :840 210=4( 分钟 ). 【例 9】(难度等级 ) 上午 8 点 8 分, 小明骑自行车从家里出发,8 分钟后 , 爸爸骑摩托车去追她, 在离家 4 千米的地方追上了她、然后爸爸立即回家, 到家后又立刻回头去追小明, 再追上小明的时候, 离家恰好就是 8 千米 ,这时就是几点几分？【分析与解】画一张简单的示意图: 图上可以瞧出 , 从爸爸第一次追上到第二次追上, 小明走了8-4 4( 千米 ) 、而爸爸骑的距离就是 4 8 12( 千米 ) 、这就知道 , 爸爸骑摩托车的速度就是小明骑自行车速

29、度的 12 43( 倍) 、按照这个倍数计算, 小明骑 8 千米 , 爸爸可以骑行8324( 千米 ) 、但事实上 , 爸爸少用了8 分钟 , 骑行了 41216( 千米 ) 、少骑行 24-16 8( 千米 ) 、摩托车的速度就是88=1( 千米 / 分), 爸爸骑行16 千米需要16 分钟、881632、所以这时就是8 点 32 分。【例 10】( 难度等级)甲车每小时行40 千米 , 乙车每小时行60 千米。两车分别从A,B 两地同时出发 , 相向而行 , 相遇后 3 时,甲车到达 B地。求 A,B 两地的距离。【分析与解】相遇后甲行驶了403=120 千米 , 即相遇前乙行驶了120

30、千米 , 说明甲乙二人的相遇时间就是 12060=2 小时 , 则两地相距 (40+60) 2=200 千米 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【例 11】( 难度等级)小红与小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52 米, 小强每分钟走70 米, 二人在途中的 A处相遇。若小红提前 4 分钟出发 , 但速度不变 , 小强每分钟走90米, 则两人仍在A处相遇。小红与小强的家相距多远? 【分析与解】因为小红的

31、速度不变, 相遇地点不变, 所以小红两次走的时间相同, 推知小强第二次比第一次少走 4 分。由 (70 4) (90-70)=14(分), 推知小强第二次走了14 分, 第一次走了18 分,两人的家相距(52+70) 18=2196( 米). 【例 12】( 难度等级)甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出,4 小时后两车相遇, 然后各自继续行驶3 小时 , 此时甲车距 B地 10 千米 ,乙车距 A地 80 千米 .问 : 甲车到达B地时 , 乙车还要经过多少时间才能到达 A地? 【分析与解】由 4 时两车相遇知,4 时两车共行A,B 间的一个单程.相遇后又行3 时, 剩下的路程之与1080

32、90( 千米 ) 应就是两车共行431( 时) 的路程 . 所以 A,B 两地的距离就是(10 80) (43) 4360( 千米 ) 。 因为 7 时甲车比乙车共多行801070( 千米 ), 所以甲车每时比乙车多行 70 710( 千米 ), 又因为两车每时共行90 千米 , 所以每时甲车行 50 千米 , 乙车行40千米 . 行一个单程 , 乙车比甲车多用360403605097.2 1.8( 时) 1 时 48 分. 【例 13】( 难度等级)甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发 , 如果两人同向而行, 甲 26 分钟赶上乙 ; 如果两人相向而行 ,6 分钟可相遇 ,又已知乙每分钟行5

33、0 米, 求 A、B两地的距离、【分析与解】若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到 C用 6 分钟、而从 A到 D则用 26 分钟 , 因此 , 甲走 C到 D之间的路程时 , 所用时间应为:(26-6)=20(分) 。同时 , 由上图可知 ,C、D间的路程等于BC加 BD 、即等于乙在6 分钟内所走的路程与在26 分钟内所走的路程之与, 为 50(26 6)=1600( 米 ) 、所以 , 甲的速度为160020 80( 米/ 分 ),由此可求出A、B间的距离。50(26+6) (26 - 6)=503220 80( 米/ 分) ( 80+50)61306=78

34、0 ( 米)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【例 14】( 难度等级)小张从甲地到乙地,每小时步行5 千米 , 小王从乙地到甲地, 每小时步行4 千米、两人同时出发, 然后在离甲、乙两地的中点1 千米的地方相遇, 求甲、乙两地间的距离？【分析与解】画一张示意图 ( 可让学生先判断相遇点在中点哪一侧, 为什么？ ) 离中点 1 千米的地方就是A点, 从图上可以瞧出, 小张走了两地距离的一半多1 千米 , 小王走

35、了两地距离的一半少1 千米、从出发到相遇, 小张比小王多走了2 千米小张比小王每小时多走(5-4) 千米 , 从出发到相遇所用的时间就是2(5-4) 2( 小时 ) 、因此 , 甲、乙两地的距离就是(5 4) 218( 千米 ) 、【例 15】( 难度等级)甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出 , 第一次在离A地 95 千米处相遇 . 相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回, 第二次在离 B地 25 千米处相遇 . 求 A、B两地间的距离？【分析与解】画线段示意图 ( 实线表示甲车行进的路线, 虚线表示乙车行进的路线): 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B 两地间距离 , 第二次相遇意

36、味着两车共行了三个 A、B两地间的距离 . 当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时, 甲车行了95 千米 ,当它们共行三个A 、B两地间的距离时, 甲车就行了3 个 95 千米 , 即 953=285( 千米 ), 而这285 千米比一个A、B两地间的距离多25 千米, 可得 :95 3-25=285-25=260( 千米 ). 第三讲行程之流水行船精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【专题知识点概述】通常我

37、们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题 , 例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时, 这里的参考系便就是公路, 而公路本身就是没有速度的, 所以我们只需要考虑人本身的速度即可。但就是在流水行船问题中, 我们的参考系将不再就是速度为0 的参考系 , 因为水本身也就是在流动的 , 所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响、一、基本概念顺水速度 =船速+水速, 逆水速度 =船速- 水速、( 其中为船在静水中的速度 ,为水流的速度 ) 由上可得 : 船速=(顺水速度 +逆水速度 ) 2; 水速=(顺水速度 -逆水速度 ) 2、二、流水行船中的相遇与追及(1) 两只船在河流中

38、相遇问题、当甲、乙两船( 甲在上游、乙在下游 ) 在江河里相向开出 , 它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度与、这就是因为 : 甲船顺水速度 +乙船逆水速度 =(甲船速 +水速 ) ( 乙船速 - 水速)=甲船船速 +乙船船速、这就就是说 , 两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样 , 与水速没有关系、(2) 同样道理 , 如果两只船 , 同向运动 , 一只船追上另一只船所用的时间, 也只与路程差与船速有关 , 与水速无关、这就是因为 : 甲船顺水速度- 乙船顺水速度=(甲船速 +水速 )-( 乙船速 +水速)=甲船速 - 乙船速、也有 : 甲船逆水速度 - 乙船逆水速

39、度 =(甲船速 - 水速 )-( 乙船速 - 水速 )=甲船速-乙船速、这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样、由上述讨论知, 解流水行船问题, 更多地就是把它转化为已学过的相遇与追及问题来解答【重点难点解析】1 掌握流水行船的基本概念精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题2 掌握流水行船中的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1 流水行船中的相遇与追及【习题精讲】【例 1】(难度等级) 一艘轮船在两个港口间航行, 水速为

40、每小时6 千米 ,顺水下行需要4小时 , 返回上行需要7 小时 . 求: 这两个港口之间的距离? 【分析与解】( 船速 +6) 4=(船速 -6) 7, 可得船速 =22, 两港之间的距离为:(22+6)4=112 千米 . 【例 2】(难度等级) 两个码头相距352 千米 , 一船顺流而下, 行完全程需要11 小时、逆流而上, 行完全程需要16小时 , 求这条河水流速度。【分析与解】(352 11-352 16) 2=5( 千米 / 小时 ). 【例 3】(难度等级)甲、 乙两港间的水路长208 千米 , 一只船从甲港开往乙港,顺水 8 小时到达 , 从乙港返回甲港,逆水 13 小时到达 ,

41、 求船在静水中的速度与水流速度。【分析与解】顺水速度:208 8=26( 千米 / 小时 ), 逆水速度 :208 13=16( 千米 / 小时 ), 船速 :(26+16)2=21( 千米 / 小时 ), 水速 :(26 16) 2=5( 千米 / 小时 ) 【例 4】(难度等级) 船往返于相距180 千米的两港之间, 顺水而下需用10 小时 , 逆水而上需用15 小时。由于暴雨后水速增加 , 该船顺水而行只需9 小时 , 那么逆水而行需要几小时? 【分析与解】本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出、但就是由于暴雨的影响, 水速发生变化, 要求船逆水而行要几小时, 必须要

42、先求出水速增加后的逆水速度、船在静水中的速度就是:(180 10+18015) 2=15( 千米 / 小时 ) 、暴雨前水流的速度就是:(180 10-180 15) 2=3( 千米 / 小时 ) 、暴雨后水流的速度就是:180 9-15=5( 千米 / 小时 ) 、暴雨后船逆水而上需用的时间为:180 (15-5)=18(小时 ). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【例 5】(难度等级) 甲、乙两艘小游艇,

43、 静水中甲艇每小时行 2 、2 千米 , 乙艇每小时行 1 、 4 千米。现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发, 甲艇从下游上行, 乙艇从相距 18 千米的上游下行, 两艇于途中相遇后, 又经过 4 小时 , 甲艇到达乙艇的出发地。问航道上水流速度为每小时多少千米 ?. 【分析与解】18 (2 、2+1、4)=5( 小时 ), 所以经过 5 小时后两艇相遇。2、2-18 (5+4)=0 、2( 千米 / 小时 ), 所以航道上水流速度为每小时 0 、2 千米 . 【例 6】(难度等级) 乙船顺水航行2 小时 , 行了 120 千米 , 返回原地用了4 小时、甲船顺水航行同一段水路, 用了3 小

44、时、甲船返回原地比去时多用了几小时? 【分析与解】乙船顺水速度:120 2=60( 千米 / 小时 ) 、乙船逆水速度:120 4=30( 千米 / 小时 ) 。水流速度 :(60-30)215( 千米 / 小时 ) 、甲船顺水速度:12O34O(千米 / 小时 ) 。甲船逆水速度:40-2 15=10( 千米 / 小时 ) 、甲船逆水航行时间:120 10=12( 小时 ) 。甲船返回原地比去时多用时间:12-3=9( 小时 ). 【例 7】(难度等级 ) 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24 千米与每小时32 千米 , 两船从某河相距336 千米的两港同时出发相向而行, 几小时相遇？如果

45、同向而行, 甲船在前 , 乙船在后 , 几小时后乙船追上甲船？【分析与解】相遇时用的时间:336 (24+32)=6( 小时 ), 追及用的时间( 不论两船同向逆流而上还就是顺流而下 ):336 (32 24) 42(小时 ) 【例 8】(难度等级 ) 小刚与小强租一条小船, 向上游划去 , 不慎把水壶掉进江中, 当她们发现并调过船头时, 水壶与船已经相距2 千米 , 假定小船的速度就是每小时4 千米 , 水流速度就是每小时2 千米 , 那么她们追上水壶需要多少时间？【分析与解】此题就是水中追及问题, 已知路程差就是2 千米 , 船在顺水中的速度就是船速+水速、水壶飘流的速度只等于水速, 所以

46、速度差 =船顺水速度 - 水壶飘流的速度=( 船速 +水速 )- 水速 =船速、路程差船速=追及时间 ,2 4=0、5( 小时 ). 【例 9】(难度等级 ) 乙两船的船速分别为每小时22 千米与每小时18千米 . 两船先后从同一港口顺水开出,乙船比甲船早出发2 小时 ,如果水速就是每小时4 千米 , 问 : 甲船开出后几小时能追上乙船？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 奥数四年级行程问题【分析与解】要求甲船追上乙船所用的时间,

47、 根据公式 : 路程差 =速度差追及时间, 关键要求出路程差( 速度差由题干所给条件容易求出), 即甲出发时 , 乙已经行驶过的路程, 为顺水行程问题. 乙船先行的路程为:(18+4)x2=44(千米 ), 追及时间为 : 44(22 -18)=44+4=11( 小时 ) 。【例 10】( 难度等级)某河有相距45 千米的上、 下两码头 , 每天定时有甲、 乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行、一天甲船从上游码头出发时掉下一物, 此物浮于水面顺水飘下,4分钟后 ,与甲船相距1 千米、预计乙船出发后几小时可以与此物相遇? 【分析与解】船速 :1000 4=250(米/ 分), 相遇时

48、间 :45000 250=180( 分)=3( 小时 ). 【例 11】( 难度等级)甲、乙两船在静水中速度相同, 它们同时自河的两个码头相对开出,3小时后相遇 . 已知水流速度就是4 千米小时 . 求 : 相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米? 【分析与解】为了求出相遇时两船航行的距离相差多少, 若考虑将两船的各自航程分别求出的话, 需根据 :航程 =速度 时间 , 要求出两船的顺水速度或逆水速度, 即要求两船 ( 在静水中 ) 的船速 . 而由已知条件分析, 船速无法求出. 下面我们来分析一下, 在两船的船速相同的情况下, 一船顺水 ,一船逆水 , 它们的航程差就是什么造成的, 不妨设甲

49、船顺水, 乙船逆水 . 甲船的顺水速度=船速 +水速 , 乙船的逆水速度=船速一水速 , 故: 速度差 =( 船速 +水速 ) 一 ( 船速一水速 )=2 水速 , 即: 每小时甲船比乙船多走24=8( 千米).3小时的距离差为3 8=24(千米 ). 【例 12】( 难度等级)甲、乙两船从相距64 千米的 A、B、两港同时出发相向而行,2 小时相遇 ; 若两船同时同向而行, 则甲用 16 小时赶上乙 . 问: 甲、乙两船的速度各就是多少？【分析与解】两船的速度与=642=32 ( 千米小时 ), 两船的速度差=64 16=4 ( 千米小时 ), 根据与差问题 , 分别求甲、乙两船的速度:18

50、 与 14 千米小时 . 【例 13】( 难度等级)江上有甲、 乙两码头 , 相距 15 千米 , 甲码头在乙码头的上游, 一艘货船与一艘游船同时从甲码头与乙码头出发向下游行驶, 5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时 , 货船上有一物品落入江中 ( 该物品可以浮在水面上), 6 分钟后货船上的人发现了, 便掉转船头去找, 找到时恰好又与游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米、【分析与解】此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段就是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中, 两者的追及距离就是 15 千米 , 共用了 5 小时 , 故两者的速度差就是155=3 千米。 由于精品资料 -